四川省内江市第六中学2025-2026学年高三上学期第3次月考数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120分钟满分：150分
第Ⅰ卷选择题（满分58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则（）
A B. C. D.
2. 已知复数满足，则等于（）.
A. 1B. C. 2D.
3. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的高为（）
A. 3B. C. 4D. 5
4. 设为夹角是锐角的单位向量，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
5. 已知，则（）
A B. C. D.
6. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，B为上顶点，则（）
A. B. 的周长为14
C. E的长轴长为5D. E的离心率等于
7. 甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（）
A. B. C. D.
8. 已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列有关说法正确的有（）
A 设随机变量服从正态分布，若，则
B. 记两个变量的样本相关系数为，若越大，线性相关程度越强
C. 已知随机变量，则
D. 数据1，3，9，4，5，16，7，11的中位数为7
10. 对于函数，下列说法正确有（）
A. 在处取得极大值1
B. 在处的切线方程为
C 有两个零点
D. 若在上恒成立，则
11. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行
C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为
第Ⅱ卷非选择题（满分92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数，则___________．
13. 在△ABC中，且（），则__________．
14. 桌面上放有4个半径均为1的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为2的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到桌面的距离是__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知数列的首项且满足
（1）求证: 是等比数列；
（2）求数列的前n项和
16. 六盘水是贵州省地级市，因夏季平均气温被中国气象学会授予“中国凉都”称号．2025年暑假期间，来凉都六盘水旅游的人数达到新高，为了解游客对六盘水旅游项目的熟悉程度，某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来六盘水旅游的100名游客进行了有关六盘水旅游知识的调查．为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如图所示的频率分布直方图．

（1）求的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的中位数；
（3）该校学生采用分层抽样的方法从评分在和的两组中共抽取5人，再从5人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人评分分别在和内各1人的概率．
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E 是PC的中点，作交PB于点 F.
（1）求证: 平面EDB;
（2）求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值.
18. 设抛物线C：（）的焦点为F，点（）在C上，．
（1）求C的方程；
（2）已知点，过焦点F的直线与抛物线交于M，N两点，设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B．
(i)求证直线AB过定点T，并求出T的坐标；
(ii)设,的面积分别为,,求．
19. 已知函数．（为自然常数）
（1）若，证明：．
（2）若对任意实数x，均有．
①求a；
②设正整数，证明：．