四川省内江市第六中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省内江市第六中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷选择题（满分60分）
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜率公式求得，结合直线的方向向量的定义，即可求解.
【详解】由点，可得直线的斜率为，
因为经过两点的直线的一个方向向量为，所以.
故选：D.
2. 已知圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．
【详解】根据题意，圆锥的底面面积为，设底面半径为，圆锥母线为，
则，，底面周长为，
又，
∴圆锥的母线为2，则圆锥的高为，
所以圆锥的体积．
故选：B．
3. 若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合，则的值为（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据长轴端点确定焦点，再根据的关系可求得的值.
【详解】椭圆的长轴端点为，
所以双曲线的焦点为，
故.
故选：D.
4. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理可判断A；根据线面垂直的判定定理可判断B；根据线面平行的性质定理可判断C；根据面面平行以及线面垂直的性质可判断D.
【详解】对于A，，则内必存在直线，设为s，使得，
又，则，而，则，A正确；
B中，若，此时有可能是或或或m和相交不垂直，
未必一定是，则B说法不正确．
对于C，若，，，则，
根据线面平行的性质定理可知，C正确，
对于D，若，，则，又，故，D正确，
故选：B．
5. 已知圆与抛物线的准线相切，则（ ）
A B. C. 8D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的几何性质，直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】 抛物线 的准线为，
又圆 与该抛物线的准线相切,
圆心到准线 的距离：
.
故选： D.
6. 如图，在圆锥中，轴截面的顶角，设是母线的中点，在底面圆周上，且，则异面直线与所成角的大小为（ ）

A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】首先得出异面直线与所成的角即为（或其补角），在中求角即可.
【详解】因为是的中点，是的中点，所以，
所以异面直线与所成的角即为（或其补角）．
易知．因为，，平面，所以平面．
因为平面，所以．
又，，平面，所以平面，
而平面，所以．
因为，，所以为等边三角形，所以，所以．
故选：C．
7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（ ）
A. 5B. 16C. 21D. 26
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的定义分析求解.
【详解】由题意可知：，即，
所以的周长.
故选：D.
8. 已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据焦点求得，利用椭圆的定义求得的最大值.
【详解】由于椭圆的焦点为，所以且焦点在轴上，则，
且，，所以椭圆方程，
所以，设左焦点为，
根据椭圆定义得，
当是的延长线与椭圆的交点时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A

二、多选题（全选对得5分，少选得2分，选错不得分，每题5分，共20分）
9. （多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向上，焦点为B. 开口向上，焦点为
C. 焦点到准线的距离为4D. 准线方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论
【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．
故选：AC
10. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
B. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则
C. 已知向量，，则在方向上的投影向量为
D. 为空间中任意一点，若，且，则，，，四点共面
【答案】AD
【解析】
【分析】由空间向量基底的性质判断A；由线面平行的条件判定B；由投影向量的概念求C；由向量基本定理的推论判断D.
【详解】对于A，假设共面，则存在，使得，则，
因为是空间的一组基底，即不共面，与矛盾，
所以不共面，则也是空间的一组基底，故A正确；
对于B，当时，满足，但直线不平行于平面，故B错误；
对于C，因为，，
则在方向上的投影向量为，故C错误；
对于D，由空间向量基本定理的推论可知：
若，且，则，，，四点共面，故D正确.
故选：AD.
11. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过点B. 圆与圆有两条公切线
C. 直线被圆截得的最短弦长为D. 当时，圆存在无数对点关于直线对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】求解直线系所过的定点判断A；判断两圆位置关系判断B；求解直线被圆截的弦长判断C，利用圆的圆心与直线的位置关系判断D．
【详解】对A，直线，即，恒过点，所以A正确；
对B，圆的圆心坐标为，半径为，而圆的圆心为，半径为1，
则两圆心的距离为，半径和为3，半径差为1，则，则两圆相交，则两圆有两条公切线，B正确；
对C，圆的圆心坐标为，圆的半径为2．
直线，恒过点，代入圆方程得，则定点在圆内，则直线与圆必有两交点，
设圆心到直线的距离为，则弦长，若要弦长最短，则最大，
而圆心到直线的距离最大值即为圆的圆心到定点的距离为：，
所以直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确；
对D，当时，直线方程为：，代入圆心坐标，得，
则该直线经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．
故选：ABD．
12. 已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点．点是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为
B. 无论点在上怎么运动，都有
C. 当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且
D. 无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是
【答案】BD
【解析】
【分析】选项A：设为的中点，连接、，可得直线与平面的平面角为，求正切值即可；选项B：利用线面垂直的性质可证明即可判断；选项C：利用三角形中线的性质判断即可；选项D：由直线的平行关系构造线线角为，结合动点分析角度范围判断即可.
【详解】选项A：当点运动到中点时，设为的中点，连接、，如下图示，
因为直三棱柱，所以面，
又因为中中位线，所以面，
所以直线与平面所成的角的正切值，
因为，，所以，故说法A错误；
选项B中，连接，与交于，并连接，如下图示，
由题意知，为正方形，即有，
因为且为直三棱柱，平面，平面，
所以，
因为，面，所以面，
因为面，所以，
又，面，所以面，
因为面，所以，
连接，同理，面，
因为面，所以，
又，面，所以面，
因为面，所以，
又，面，
所以面，又面，即有，故B说法正确；
选项C：点运动到中点时，即在中、均为中线，所以为中线的交点，
所以根据中线的性质有：，故C错误；
选项D中，由于，直线与所成角即为与所成角，
由选项A可知面，因为面，所以，
所以，
点在上运动时，当在或上时，最大为，
当在中点上时，最小，此时为，，
所以不可能是，故D说法正确；
故选：BD
第Ⅱ卷非选择题（满分90分）
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 过椭圆的左顶点，且与直线平行的直线方程为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知求出椭圆左顶点，利用平行直线斜率相等结合点斜式方程可得答案.
【详解】由椭圆知，，所以左顶点为，
又所求直线与直线平行，
所以斜率，
故直线方程为，即.
故答案为：
14. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用 求解
【详解】数列的前n项和，
可得；
时，，不满足，
则，
故答案为：.
15. 若与有交点，则实数的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到曲线和直线恒过定点，画出图象，结合斜率公式，即可求解.
【详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为1的下半圆，
又由直线恒经过定点，
因为曲线与轴的交点分别为，
可得，
要使得与有交点，可得或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.

16. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意求出，结合双曲线定义以及角平线性质推出，从而推出，在中，利用余弦定理可求得，结合齐次式求解离心率，即可得答案.
【详解】由题意知，轴，故将代入中，
得，则，即，
不妨设P在双曲线右支上，则，故；

设为的平分线，由题意知，
则，即，而，
故，
由点圆上，得；
又，则，
在中，,
即，结合，
即得，即，
解得或（舍），故（负值舍去），
即的离心率为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：求解双曲线的离心率，关键是求出之间的数量关系式，因此解答本题时，要结合题中条件以及双曲线定义推出相关线段长，从而在中，利用余弦定理求出的关系，化为齐次式，即可求得答案.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，
（1）求双曲线标准方程；
（2）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.
【答案】（1）
（2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程求出a，b，c，然后可得标准方程；
（2）根据（1）中a，b，c，的值直接写出所求即可.
【小问1详解】
由题知，，解得，所以，
所以双曲线标准方程为：.
【小问2详解】
由（1）知，双曲线焦点在x轴上，
所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为，即.
18. 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中心，底面，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见详解

（2）
【解析】
【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可得，再由直线与平面的判定定理可判定平面；（2）取中点，连接，可得，且,易得平面，再由棱锥体积公式得解.
【小问1详解】
证明：连接，分别是，的中点，，
又平面，平面，
平面.
【小问2详解】
取中点，连接，
是的中点，
为的中位线，则，且，
又平面，平面，
所以三棱锥的体积为.
19. 已知圆过点和.
（1）求圆的方程；
（2）已知动圆和圆外切且过点，求圆心的轨迹方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)设圆：把点代入求解.
（2）根据点在圆上和两圆相外切可以找到，的关系，根据双曲线的定义求解双曲线方程.
【小问1详解】
设圆：，又因为在圆上
即
得：即
得：即
得即，，
所以圆：
【小问2详解】
设动圆的半径为，又因为动圆经过点，所以
动圆和圆外切，所以，即，根据双曲线的定义可知动点是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支.
由双曲线的定义知：，所以
所以动点的轨迹为：
20. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据点在抛物线上及焦半径公式，列方程组求解即可；
（2）设出坐标，代入抛物线方程，结合弦中点，利用点差法即可求得直线的斜率.
【小问1详解】
由题可知，，解得，故抛物线的方程为.
【小问2详解】
设，则，两式相减得，
即.因为线段的中点坐标为，所以，则，
故直线的斜率为2.

21. 如图1，在平面四边形中，，，，，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示：
（1）求证：平面；
（2）设线段的中点为，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知结合面面垂直的性质，即可得出平面，.进而即可根据线面垂直的判定定理得出证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据向量运算求解，即可得出答案.
【小问1详解】
由已知可得，，.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面.
因为平面，所以.
又，，所以.
因为，平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
如图，建立空间直角坐标系，
因为，，，
则，，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，则，
取，则.
又平面，所以即为平面的一个法向量.
设平面与平面所成的锐二面角为，
所以，所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
22. 如图，椭圆的离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线l交C于A、B两点，交直线于点P．若，，证明：为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析，定值为0.
【解析】
【分析】（1）由已知得，结合椭圆参数关系求得，即可得椭圆方程；
（2）令，，，联立椭圆方程并应用韦达定理得，，再由向量数量关系的坐标表示得到关于参数k的表达式，将韦达公式代入化简即可证.
【小问1详解】
由题设，又，则，
所以椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】
由题设，直线l斜率一定存在，令，且在椭圆C内，
联立直线与椭圆并整理得，且，
令，而，则，
由，则且，得，
同理
由，则且，得，
所以
又，，则.
所以为定值0.