江西省南昌市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试卷含解析（word版）

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考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4. 本卷命题范围: 北师大版选择性必修第一册.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 某学校开设 4 门球类课程、 5 门田径类课程和 2 门体操类课程供学生选修, 某位学生任选 1 门课程学习, 则不同的选法共有 ( )
A. 40 种 B. 20 种 C. 11 种 D. 9 种
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据分类加法计数原理得答案.
【详解】解析: 分类加法计数原理, 4+5+2=11 种.
故选: C.
2. 根据 3 对数据 A2,4,B4,m,C6,14 绘制的散点图呈直线趋势,且线性回归方程为 y=1.75x+2.5 ,则 m= ( )
A. 9.5 B. 10 C. 10.5 D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意,求得样本中心 4,4+m+143 ,将其代入回归方程,列出方程,求得 m 的值,得到答案.
【详解】由 3 对数据 A2,4,B4,m,C6,14 ,可得 x=2+4+63=4,y=4+m+143 , 将 4,4+m+143 代入回归直线方程 y=1.75x+2.5 ,
可得 4+m+143=1.75×4+2.5 ,解得 m=10.5 .
故选: C.
3. 若曲线 x25−t+y2t−3=1 表示椭圆,则实数 t 的取值范围是( )
A. 3,5 B. 3,4∪4,5 C. −∞,3∪5,+∞ D. 5,+∞
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程即可列不等式求解.
【详解】椭圆需满足 5−t>0t−3>05−t≠t−3 ,解得 3b>0 上的三点,直线 AB 、 AC、BC 的斜率分别为 k1、k2、k3 ,点 D、E、F 分别是线段 AB、AC、BC 的中点, O 为坐标原点, 直线 OD、OE、OF 的斜率分别为 k1​′、k2​′、k3​′ ,若 k1′+k2′+k3′=3 ,则 1k1+1k2+1k3= _____.
【答案】 -12
【解析】
【分析】由点差法以及离心率可得 1k1=−4k1′ ,同理 1k2=−4k2′,1k3=−4k3′ ,则可求 1k1+1k2+1k3 .
【详解】设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 Dx1+x22,y1+y22 ,
k1=y1−y2x1−x2,k1′=y1+y2x1+x2,
由于点 A、B 在椭圆上,则 x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1 ,
两式相减得 x1−x2x1+x2a2+y1−y2y1+y2b2=0 ,
同时乘以 b2x1−x2x1+x2 得 b2a2+y1−y2y1+y2x1−x2x1+x2=0 ,
即 b2a2+k1k1′=0 ,
由于 e=ca=1−b2a2=32 ,则 b2a2=14 ,
则 14+k1k1′=0 ,即 1k1=−4k1′ ,
同理 1k2=−4k2′,1k3=−4k3′ ,
由于 k1′+k2′+k3′=3 ,
则 1k1+1k2+1k3=−4k1′+k2′+k3′=−12 ,
故答案为: -12 .
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
17. 已知两点 P3,−4,Q−2,6 ,直线 l:3x−y−2=0 .
(1)若直线 l1 经过点 P ,且 l1⊥l ，求直线 l1 的方程；
(2)若圆 C 的圆心在直线 l 上，且 P,Q 两点在圆 C 上，求圆 C 的方程.
【答案】(1) x+3y+9=0
(2) x−11102+y−13102=31710
【解析】
【分析】( 1 )根据垂直关系可得斜率, 根据点斜式即可求解直线方程,
(2)根据两点距离公式列方程求解 t ，即可求解.
【小问 1 详解】
直线 l 斜率为 3,l1 斜率为 −13 ,且过 P3,−4 ,
直线 l1 的方程为 y+4=−13x−3 ,即 x+3y+9=0 ;
【小问 2 详解】
设圆心 Ct,3t−2 ，
由 CP=CQ 得 t−32+3t+22=t+22+3t−82 ，解得 t=1110 ，
故圆心 C 的坐标为 1110,1310 ，半径 3−11102+−4−13102=31710 ，
圆的方程为 x−11102+y−13102=31710 .
18. 从 0∼7 这 8 个数字中取出 4 个数字,试问:
(1)能组成多少个没有重复数字的四位数?
(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数?
【答案】(1)1470
(2)750
【解析】
【分析】(1) 根据首位不排 0 结合排列知识求解即可;
(2)分个位为 0 和个位不为 0 的偶数两种情况讨论.
【小问 1 详解】
首位不排 0,共 A71 A73=7×7×6×5=1470 个;
【小问 2 详解】
个位为 0 的四位数偶数: A73=210 ;
个位不为 0 的四位数偶数: C31 A61 A62=3×6×30=540 ,
总计 210+540=750 个.
19. 某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布 N75,81 ,规定: 分数高于 93 分为优秀.
(1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例;
(2)若该市有 60000 名高二年级考生,估计全市数学成绩在 (66,93] 内的学生人数.
参考数据:
若 X∼Nμ,σ2 ,则 Pμ−σ