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2023-2024学年江西省上饶市高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江西省上饶市高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−8A. {−1,0,1,2,3}B. {0,1}C. {−1,0,1}D. {−1,0,1,2}
2.已知数列{an}是等差数列，若a3+a7=14，则a1+a5+a9=( )
A. 14B. 21C. 28D. 42
3.“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.设f(x)为R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=3x−1，则f(0)+f(4)=( )
A. 12B. −12C. 13D. −13
5.函数f(x)=lnx+csπ3的导数f′(x)=( )
A. 1xB. 1x+sinπ3C. 1x−sin13D. x−π3
6.已知函数f(x)=lgax,x>1(2a−1)x+4a,x≤1在R上为减函数，则实数a的取值范围是( )
A. (0,12)B. (0,16]C. [16,+∞)D. [16,12)
7.己知a=0.4，b=e0.4−1，c=ln1.4，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>c>bB. a>b>cC. b>a>cD. c>b>a
8.意大利数学家斐波那契(1175年∼1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即an+2=an+1+an(n∈N∗)，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为an=1 5[(1+ 52)n−(1− 52)n]，设n是不等式lg2[(1+ 5)n−(1− 5)n]>n+5的正整数解，则n的最小值为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数y=fx的导函数f′x的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数fx在2,+∞上单调递增B. 函数fx在1,3上单调递减
C. 函数fx在x=1处取得极大值D. 函数fx有最大值
10.下列说法正确的是( )
A. 设已知随机变量X,Y满足Y=3X−1,EY=5，则EX=2
B. 若X∼B10,15，则DX=2
C. 若X∼N2,σ2，设PX≥1=0.6，则PX≥3=0.4
D. 若事件A,B相互独立且011.已知函数f(x)=lnx−1−2x−1，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的单调递增区间是(0,1)∪(1,+∞)
B. f(x)的值域为R
C. f(lg20232024)+f(lg20242023)=1
D. 若f(a)=eb+1eb−1−b，a∈(0,1)，b∈(0,+∞)，则aeb=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某种产品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
根据上表数据得到y关于x的经验回归方程y=4.5x+a，则a的值为 ．
13.若f(x)=ln|a+11−x|+b是奇函数，则b= ．
14.数列{an}中，a1=1，a2=2.设x=0是函数f(x)=an−1e2x+(an−an+1)x−2(n≥2且n∈N∗)的极值点.若[x]表示不超过x的最大整数，则[2024a1(a1+1)(2a1+1)+2024a2(a2+1)(2a2+1)+⋯+2024a2024(a2024+1)(2a2024+1)] = ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=alnx+bx2−7x+12在点(1,f(1))处的切线方程为2x+y+3=0．
(1)求a，b;
(2)求f(x)的单调区间和极值．
16.(本小题15分)
求下列函数的最值．
(1)求函数y=x+1x−1(x>1)的最小值．
(2)已知017.(本小题15分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N+，且Sn=32an−12．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=nan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题17分)
二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：
下面是z关于x的折线图：
(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明;
(2)求y关于x的回归方程并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少?(b、a小数点后保留两位有效数字)
(3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年?
参考数据：i=16xiyi=187.4，i=16xizi=47.64，i=16xi2=139， i=16(xi−x)2≈4.18， i=16(yi−y)2=13.96， i=16(zi−z)2=1.53，ln1.46≈0.38，ln0.7118≈−0.34．
参考公式：回归直线方程y=bx+a中b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=i=1nxiyi−nx yi=1n(xi−nx)2，a=y−bx.r=i=1n(xi−x)(yi−y) i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2，x、y为样本平均值．
19.(本小题17分)
函数f(x)=lnx−a(x−1)x+1．
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，曲线y=f(x)上两点(x1,f(x1))，(x2,f(x2))连线斜率记为k，求证：k>2−aa−1;
(3)盒子中有编号为1∼100的100个小球(除编号外无区别)，有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：p<1e2．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：A={x|−8所以A∩B={−1,0,1}，
故选C
2.【答案】B
【解析】解：由题知数列{an}是等差数列，
∵a3+a7=14，
∴a5=7，
∵a1+a5+a9=3a5，
∴a1+a5+a9=21；
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：充分性，
因为a+c>b+d，
不一定能得到a>b且c>d，
如a=1，b=2，c=3，d=0，故充分性不成立；
必要性，
当a>b且c>d成立时，
两个不等式相加得a+c>b+d，故必要性成立，
故“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：因为fx为R上的奇函数，所以f0=0，f4=−f−4=13，
所以f0+f4=13．
故选：C
5.【答案】A
【解析】
解：根据题意，函数f(x)=lnx+csπ3=lnx+12，
其导数f′(x)=(lnx)′+(12)′=1x．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=lgax,x>1(2a−1)x+4a,x≤1在R上为减函数，
所以0故选：D．
由已知结合一次函数及对数函数的单调性及分段函数的性质即可求解．
本题主要考查了一次函数，对数函数的单调性的应用，还考查了分段函数性质的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：设fx=ex−x−1，
则f′x=ex−1，
当x>0时，f′x>0，函数f(x)单调递增，
所以fx>f0=0，
当x=0.4时，b=e0.4−1>0.4=a，
设gx=ln(x+1)−x(x>0)，
则g′x=1x+1−1=−xx+1，
当x>0时，g′x<0，函数g(x)单调递减，
所以当x>0时，gx所以当x=0.4时，ln1.4<0.4，即a>c，
所以b>a>c．
8.【答案】C
【解析】
解：由lg2[(1+ 5)n−(1− 5)n]>n+5，
得lg2[(1+ 5)n−(1− 5)n]−n>5，
得lg2[(1+ 5)n−(1− 5)n]−lg22n>5，
得lg2(1+ 5)n−(1− 5)n2n>5，
得lg2[(1+ 52)n−(1− 52)n]>5，
∴(1+ 52)n−(1− 52)n>25，
所以1 5[(1+ 52)n−(1− 52)n]>25 5，
令an=1 5[(1+ 52)n−(1− 52)n]，
则数列an即为斐波那契数列，且数列an单调递增，
∴an>25 5，则an2>2105，
且数列an2为递增数列，
由a1=a2=1，得a3=a1+a2=2，
a4=a2+a3=3，a5=a3+a4=5，
a6=a4+a5=8，a7=a5+a6=13，a8=a6+a7=21，
因为a72=132=169<2105=204.8，
a82=212=441>2105=204.8，
所以使得an2>2105成立的n的最小值为8．
故选：C．
9.【答案】BC
【解析】解：由题意可知：当x∈(−∞,−1)∪(1,3)时，f′(x)≤0(不恒为0)，f(x)单调递减，
当x∈(−1,1)∪(3,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
对于A，当23时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(2,+∞)上先减后增，故A错误；
对于B，当1对于C，因为f(x)在(−1,1)单调递增，在(1,3)单调递减，所以函数f(x)在x=1处取得极大值，故C正确；
对于D，从导数的图像可知，函数f(x)在3,+∞上单调递增，在−∞,−1上单调递减，
所以函数f(x)可能没有最大值，故D错误．
故选：BC．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A中，由EY=3EX−1，所以EX=EY+13=2，所以 A正确；
对于B中，由X∼B10,15，所以DX=10×15×45=85，所以 B错误；
对于C中，由X∼N2,σ2，所以PX≥3=PX≤1=1−PX≥1=0.4，所以 C正确；
对于D中，因为A,B相互独立，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)P(B)=P(A)，
且P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)−P(AB)P(B)=P(A)−P(A)P(B)1−P(B)=P(A)，所以 D正确．
故选：ACD．
11.【答案】BD
【解析】解：A选项，f(x)=lnx−1−2x−1的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，
f′(x)=1x+2(x−1)2>0在定义域上恒成立，
所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，(1,+∞)，故A错误；
B选项，当x趋向于0时，f(x)趋向于−∞，当x趋向于+∞时，f(x)趋向于+∞，
所以f(x)的值域为R，故B正确；
C选项，x>0，f(1x)+f(x)=−lnx−1+2xx−1+lnx−1−2x−1=−2+2=0，
又lg20232024=1lg20242023，所以f(lg20232024)+f(lg20242023)=0，故C错误；
D选项，f(x)=lnx−x+1x−1， f1x=−lnx+x+1x−1，
则 f1eb=eb+1eb−1−b=fa，
因为 b∈0,+∞，所以 1eb∈0,1，
又 a∈0,1，函数 fx在 0,1上单调递增，
所以 a=1eb，即 aeb=1，故D正确．
故选：BD．
12.【答案】12
【解析】解：x=15(1+3+4+5+7)=4，
y=15(15+20+30+40+45)=30，
故回归直线方程过点(4,30)，
代入y=4.5x+a，可得30=4.5×4+a，故a=12．
13.【答案】ln2
【解析】解：f(x)=ln|a+11−x|+b，
若a=0，则函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，
∴a≠0，
由函数解析式有意义可得，x≠1且a+11−x≠0，
∴x≠1且x≠1+1a，
∵函数f(x)为奇函数，∴定义域必须关于原点对称，
∴1+1a=−1，解得a=−12，
∴f(x)=ln|1+x2(1−x)|+b，定义域为{x|x≠1且x≠−1}，
由f(0)=0得，ln12+b=0，
∴b=ln2，
经验证a=−12，b=ln2，符合题意，
故答案为ln2．
14.【答案】1011
【解析】解：因为函数f(x)=an−1e2x+(an−an+1)x−2，
所以f′(x)=2an−1e2x+an−an+1，
又x=0是f(x)的极值点，所以f′(0)=2an−1+an−an+1=0，
即an+1−2an=−(an−2an−1)，
又a2−2a1=2−2=0，所以an−2an−1=0，即an=2an−1(n≥2);
数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an=2n−1;
所以2024an(an+1)(2an+1)=2024×2n−1(2n−1+1)(2n+1)=2024×(12n−1+1−12n+1)，
所以[2024a1(a1+1)(2a1+1)+2024a2(a2+1)(2a2+1)+⋯+2024a2024(a2024+1)(2a2024+1)]
=[2024×(120+1−121+1+121+1−122+1+⋯+122023+1−122024+1)]
=[2024×(12−122024+1)]=[1012−202422024+1]=1011．
故答案为1011．
15.【答案】解：(1)定义域为(0,+∞)，f′(x)=ax+2bx−7，
将点(1,f(1))代入2x+y+3=0中，
2×1+f(1)+3=0，∴f(1)=−5．
f(1)=b−7+12=5f′(1)=a+2b−7=−2⇒a=2b=32
(2)f(x)=2lnx+32x2−7x+12，
f′(x)=2x+3x−7=2+3x2−7x=(x−2)(3x−1)x，
f(x)的单调递增区间为(0,13)，(2,+∞)，单调递减区间为(13,2)；
f(x)的极大值为f(13)=−53−2ln3，极小值为f(2)=−152+2ln2．
【解析】
(1)计算出f(1)=−5，求导，根据切线斜率得到方程，求出a，b的值；
(2)在(1)的基础上，解不等式，得到函数单调区间和极值．
本题主要考查了导数集合意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵x>1，∴x−1>0，
∴y=(x−1)+1x−1+1⩾2 (x−1)⋅1x−1+1=3，
故函数y的最小值为3，当且仅当(x−1)2=1，即x=2时取得；
(2)∵0∴1−3x>0，
∴y=x(1−3x)
=13×3x(1−3x)
≤13[3x+1−3x2]2
=112，
当且仅当3x=1−3x,即x=16时，等号成立，y有最大值112．
【解析】
(1)分析出y=(x−1)+1x−1+1是解题关键；
(2)分析出y=x(1−3x)=13x(1−3x)是解题关键，注意一正，二定，三相等即可．
17.【答案】解：(1)当n=1时，a1=32a1−12，得a1=1，
当n≥2时，Sn−Sn−1=an=32an−an−1 ，得an=3an−1，
∴数列an是公比为3的等比数列，
∴ an=3n−1(n∈N∗).
(2)由(1)得：bn=n3n，
又Tn=13+232+⋯+n3n，①
∴13Tn=132+233+⋯+n3n+1，②
两式相减得：23Tn=13+132+⋯+13n−n3n+1 ，
故23Tn=13(1−13n)1−13−n3n+1，
∴ Tn=34−3+2n4×3n．
【解析】
(1)根据题中所给条件，即可推出结果．
(2)根据题中所给条件，结合(1)中结论，即可推出结果．
18.【答案】解：(1)由题意，x−=16×(2+3+4+5+6+7)=4.5，
z−=16×(3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2，
且i=16xizi=47.64， i=16(xi−x−)2≈4.18， i=16(zi−z−)2≈5.13，
∴r=i=16(xi−x−)(zi−z−) i=16(xi−x−)2i=16(zi−z−)2=47.64−6×4.5×24.18×1.53=−≈−0.99．
∴z与x的相关系数大约为−0.99，说明z与x的线性相关程度很高；
(2)∵b=i=16xizi−6x−z−i=16xi2−6x−2=47.64−6×4.5×2139−6×4.52=−6.3617.5≈−0.36，
a=z−−bx−=2+0.36×4.5=3.62，
∴z关于x的线性回归方程是z=−0.36x+3.62，
又z=ln y，
∴y关于x的回归方程是y=e−0.36x+3.62．
令x=9，解得y=e−0.36×9+3.62≈1.46，
即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约1.46万元；
(3)当y≥0.7118时，e−0.36x+3.62≥0.7118=eln 0.7118=e−0.34，
∴−0.36x+3.62≥−0.34，解得x≤11，
因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年．
【解析】
(1)由已知结合相关系数公式求得z与x的相关系数得结论；
(2)求出b与a的值，则线性回归方程可求，再由z=ln y，可得y关于x的回归方程，令x=9，解得y值即可；
(3)由y≥0.7118，得e−0.36x+3.62≥0.7118，求解指数不等式得答案．
19.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x−a(x+1)−a(x−1)(x+1)2=x2+(2−2a)x+1x(x+1)2，
对于方程x2+(2−2a)x+1=0，△=(2−2a)2−4=4(a2−2a)，
当Δ≤0，即0≤a≤2时，x2+(2−2a)x+1≥0，f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当△>0，即a<0或a>2时，方程x2+(2−2a)x+1=0有两个不等根，
x1=a−1− a2−2a，x2=a−1+ a2−2a，而x1+x2=2(a−1)，x1x2=1，
所以当a<0时，x10在(0,+∞)上恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>2时，00，x∈(x1,x2)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减．
综上，当a≤2时，f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>2时，f(x)在(0,a−1− a2−2a)和(a−1+ a2−2a,+∞)上单调递增，
在(a−1− a2−2a,a−1+ a2−2a)上单调递减．
(2)由题，
所以要证k>2−aa−1，即证lnx1−lnx2x1−x2−1>1a−1−1，即证lnx1−lnx2x1−x2>2x1+x2，
也即证lnx1x2−2(x1−x2)x1+x2=lnx1x2−2x1x2−1x1x2+1<0(∗)成立．
设t=x1x2∈(0,1)，函数ℎ(t)=lnt−2(t−1)t+1，
由(1)知ℎ(t)在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(1)=0，
所以t∈(0,1)时，ℎ(t)<0，所以(∗)成立，原不等式得证．
(3)由题，p=A1002010020=100×99×⋯×82×8110020，
因为99×81=902−92<902，98×82=902−82<902，⋯，91×89=902−12<902，
所以p<(910)19，
又由(2)知t∈(1,+∞)，ℎ(t)=lnt−2(t−1)t+1>0，
取t=109，有ln109−2(109−1)109+1=ln109−219>0，即ln(109)19>2，也即(109)19>e2，
所以p<(910)19<1e2．
【解析】
(1)对函数求导，对a的范围分类讨论，利用导数判断或证明已知函数的单调性即可；
(2)转化问题为要证k>2−aa−1，即证lnx1−lnx2x1−x2−1>1a−1−1，即证lnx1−lnx2x1−x2>2x1+x2求解即可；
(3)p=A1002010020=100×99×⋯×82×8110020，所以p<(910)19，又由(2)知t∈(1,+∞)，ℎ(t)=lnt−2(t−1)t+1>0求解即可．x
1
3
4
5
7
y
15
20
30
40
45
使用年数x
2
3
4
5
6
7
售价y
20
12
8
6.4
4.4
3
z=lny
3.00
2.48
2.08
1.86
1.48
1.10
x
(0,13)
13
(13,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
1.已知集合A={x|−8
2.已知数列{an}是等差数列，若a3+a7=14，则a1+a5+a9=( )
A. 14B. 21C. 28D. 42
3.“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.设f(x)为R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=3x−1，则f(0)+f(4)=( )
A. 12B. −12C. 13D. −13
5.函数f(x)=lnx+csπ3的导数f′(x)=( )
A. 1xB. 1x+sinπ3C. 1x−sin13D. x−π3
6.已知函数f(x)=lgax,x>1(2a−1)x+4a,x≤1在R上为减函数，则实数a的取值范围是( )
A. (0,12)B. (0,16]C. [16,+∞)D. [16,12)
7.己知a=0.4，b=e0.4−1，c=ln1.4，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>c>bB. a>b>cC. b>a>cD. c>b>a
8.意大利数学家斐波那契(1175年∼1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即an+2=an+1+an(n∈N∗)，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为an=1 5[(1+ 52)n−(1− 52)n]，设n是不等式lg2[(1+ 5)n−(1− 5)n]>n+5的正整数解，则n的最小值为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数y=fx的导函数f′x的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数fx在2,+∞上单调递增B. 函数fx在1,3上单调递减
C. 函数fx在x=1处取得极大值D. 函数fx有最大值
10.下列说法正确的是( )
A. 设已知随机变量X,Y满足Y=3X−1,EY=5，则EX=2
B. 若X∼B10,15，则DX=2
C. 若X∼N2,σ2，设PX≥1=0.6，则PX≥3=0.4
D. 若事件A,B相互独立且0
A. f(x)的单调递增区间是(0,1)∪(1,+∞)
B. f(x)的值域为R
C. f(lg20232024)+f(lg20242023)=1
D. 若f(a)=eb+1eb−1−b，a∈(0,1)，b∈(0,+∞)，则aeb=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某种产品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
根据上表数据得到y关于x的经验回归方程y=4.5x+a，则a的值为 ．
13.若f(x)=ln|a+11−x|+b是奇函数，则b= ．
14.数列{an}中，a1=1，a2=2.设x=0是函数f(x)=an−1e2x+(an−an+1)x−2(n≥2且n∈N∗)的极值点.若[x]表示不超过x的最大整数，则[2024a1(a1+1)(2a1+1)+2024a2(a2+1)(2a2+1)+⋯+2024a2024(a2024+1)(2a2024+1)] = ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=alnx+bx2−7x+12在点(1,f(1))处的切线方程为2x+y+3=0．
(1)求a，b;
(2)求f(x)的单调区间和极值．
16.(本小题15分)
求下列函数的最值．
(1)求函数y=x+1x−1(x>1)的最小值．
(2)已知0
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N+，且Sn=32an−12．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=nan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题17分)
二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：
下面是z关于x的折线图：
(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明;
(2)求y关于x的回归方程并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少?(b、a小数点后保留两位有效数字)
(3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年?
参考数据：i=16xiyi=187.4，i=16xizi=47.64，i=16xi2=139， i=16(xi−x)2≈4.18， i=16(yi−y)2=13.96， i=16(zi−z)2=1.53，ln1.46≈0.38，ln0.7118≈−0.34．
参考公式：回归直线方程y=bx+a中b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=i=1nxiyi−nx yi=1n(xi−nx)2，a=y−bx.r=i=1n(xi−x)(yi−y) i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2，x、y为样本平均值．
19.(本小题17分)
函数f(x)=lnx−a(x−1)x+1．
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，曲线y=f(x)上两点(x1,f(x1))，(x2,f(x2))连线斜率记为k，求证：k>2−aa−1;
(3)盒子中有编号为1∼100的100个小球(除编号外无区别)，有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：p<1e2．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：A={x|−8
故选C
2.【答案】B
【解析】解：由题知数列{an}是等差数列，
∵a3+a7=14，
∴a5=7，
∵a1+a5+a9=3a5，
∴a1+a5+a9=21；
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：充分性，
因为a+c>b+d，
不一定能得到a>b且c>d，
如a=1，b=2，c=3，d=0，故充分性不成立；
必要性，
当a>b且c>d成立时，
两个不等式相加得a+c>b+d，故必要性成立，
故“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：因为fx为R上的奇函数，所以f0=0，f4=−f−4=13，
所以f0+f4=13．
故选：C
5.【答案】A
【解析】
解：根据题意，函数f(x)=lnx+csπ3=lnx+12，
其导数f′(x)=(lnx)′+(12)′=1x．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=lgax,x>1(2a−1)x+4a,x≤1在R上为减函数，
所以0
由已知结合一次函数及对数函数的单调性及分段函数的性质即可求解．
本题主要考查了一次函数，对数函数的单调性的应用，还考查了分段函数性质的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：设fx=ex−x−1，
则f′x=ex−1，
当x>0时，f′x>0，函数f(x)单调递增，
所以fx>f0=0，
当x=0.4时，b=e0.4−1>0.4=a，
设gx=ln(x+1)−x(x>0)，
则g′x=1x+1−1=−xx+1，
当x>0时，g′x<0，函数g(x)单调递减，
所以当x>0时，gx
所以b>a>c．
8.【答案】C
【解析】
解：由lg2[(1+ 5)n−(1− 5)n]>n+5，
得lg2[(1+ 5)n−(1− 5)n]−n>5，
得lg2[(1+ 5)n−(1− 5)n]−lg22n>5，
得lg2(1+ 5)n−(1− 5)n2n>5，
得lg2[(1+ 52)n−(1− 52)n]>5，
∴(1+ 52)n−(1− 52)n>25，
所以1 5[(1+ 52)n−(1− 52)n]>25 5，
令an=1 5[(1+ 52)n−(1− 52)n]，
则数列an即为斐波那契数列，且数列an单调递增，
∴an>25 5，则an2>2105，
且数列an2为递增数列，
由a1=a2=1，得a3=a1+a2=2，
a4=a2+a3=3，a5=a3+a4=5，
a6=a4+a5=8，a7=a5+a6=13，a8=a6+a7=21，
因为a72=132=169<2105=204.8，
a82=212=441>2105=204.8，
所以使得an2>2105成立的n的最小值为8．
故选：C．
9.【答案】BC
【解析】解：由题意可知：当x∈(−∞,−1)∪(1,3)时，f′(x)≤0(不恒为0)，f(x)单调递减，
当x∈(−1,1)∪(3,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
对于A，当2
所以函数f(x)在(2,+∞)上先减后增，故A错误；
对于B，当1
对于D，从导数的图像可知，函数f(x)在3,+∞上单调递增，在−∞,−1上单调递减，
所以函数f(x)可能没有最大值，故D错误．
故选：BC．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A中，由EY=3EX−1，所以EX=EY+13=2，所以 A正确；
对于B中，由X∼B10,15，所以DX=10×15×45=85，所以 B错误；
对于C中，由X∼N2,σ2，所以PX≥3=PX≤1=1−PX≥1=0.4，所以 C正确；
对于D中，因为A,B相互独立，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)P(B)=P(A)，
且P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)−P(AB)P(B)=P(A)−P(A)P(B)1−P(B)=P(A)，所以 D正确．
故选：ACD．
11.【答案】BD
【解析】解：A选项，f(x)=lnx−1−2x−1的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，
f′(x)=1x+2(x−1)2>0在定义域上恒成立，
所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，(1,+∞)，故A错误；
B选项，当x趋向于0时，f(x)趋向于−∞，当x趋向于+∞时，f(x)趋向于+∞，
所以f(x)的值域为R，故B正确；
C选项，x>0，f(1x)+f(x)=−lnx−1+2xx−1+lnx−1−2x−1=−2+2=0，
又lg20232024=1lg20242023，所以f(lg20232024)+f(lg20242023)=0，故C错误；
D选项，f(x)=lnx−x+1x−1， f1x=−lnx+x+1x−1，
则 f1eb=eb+1eb−1−b=fa，
因为 b∈0,+∞，所以 1eb∈0,1，
又 a∈0,1，函数 fx在 0,1上单调递增，
所以 a=1eb，即 aeb=1，故D正确．
故选：BD．
12.【答案】12
【解析】解：x=15(1+3+4+5+7)=4，
y=15(15+20+30+40+45)=30，
故回归直线方程过点(4,30)，
代入y=4.5x+a，可得30=4.5×4+a，故a=12．
13.【答案】ln2
【解析】解：f(x)=ln|a+11−x|+b，
若a=0，则函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，
∴a≠0，
由函数解析式有意义可得，x≠1且a+11−x≠0，
∴x≠1且x≠1+1a，
∵函数f(x)为奇函数，∴定义域必须关于原点对称，
∴1+1a=−1，解得a=−12，
∴f(x)=ln|1+x2(1−x)|+b，定义域为{x|x≠1且x≠−1}，
由f(0)=0得，ln12+b=0，
∴b=ln2，
经验证a=−12，b=ln2，符合题意，
故答案为ln2．
14.【答案】1011
【解析】解：因为函数f(x)=an−1e2x+(an−an+1)x−2，
所以f′(x)=2an−1e2x+an−an+1，
又x=0是f(x)的极值点，所以f′(0)=2an−1+an−an+1=0，
即an+1−2an=−(an−2an−1)，
又a2−2a1=2−2=0，所以an−2an−1=0，即an=2an−1(n≥2);
数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an=2n−1;
所以2024an(an+1)(2an+1)=2024×2n−1(2n−1+1)(2n+1)=2024×(12n−1+1−12n+1)，
所以[2024a1(a1+1)(2a1+1)+2024a2(a2+1)(2a2+1)+⋯+2024a2024(a2024+1)(2a2024+1)]
=[2024×(120+1−121+1+121+1−122+1+⋯+122023+1−122024+1)]
=[2024×(12−122024+1)]=[1012−202422024+1]=1011．
故答案为1011．
15.【答案】解：(1)定义域为(0,+∞)，f′(x)=ax+2bx−7，
将点(1,f(1))代入2x+y+3=0中，
2×1+f(1)+3=0，∴f(1)=−5．
f(1)=b−7+12=5f′(1)=a+2b−7=−2⇒a=2b=32
(2)f(x)=2lnx+32x2−7x+12，
f′(x)=2x+3x−7=2+3x2−7x=(x−2)(3x−1)x，
f(x)的单调递增区间为(0,13)，(2,+∞)，单调递减区间为(13,2)；
f(x)的极大值为f(13)=−53−2ln3，极小值为f(2)=−152+2ln2．
【解析】
(1)计算出f(1)=−5，求导，根据切线斜率得到方程，求出a，b的值；
(2)在(1)的基础上，解不等式，得到函数单调区间和极值．
本题主要考查了导数集合意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵x>1，∴x−1>0，
∴y=(x−1)+1x−1+1⩾2 (x−1)⋅1x−1+1=3，
故函数y的最小值为3，当且仅当(x−1)2=1，即x=2时取得；
(2)∵0
∴y=x(1−3x)
=13×3x(1−3x)
≤13[3x+1−3x2]2
=112，
当且仅当3x=1−3x,即x=16时，等号成立，y有最大值112．
【解析】
(1)分析出y=(x−1)+1x−1+1是解题关键；
(2)分析出y=x(1−3x)=13x(1−3x)是解题关键，注意一正，二定，三相等即可．
17.【答案】解：(1)当n=1时，a1=32a1−12，得a1=1，
当n≥2时，Sn−Sn−1=an=32an−an−1 ，得an=3an−1，
∴数列an是公比为3的等比数列，
∴ an=3n−1(n∈N∗).
(2)由(1)得：bn=n3n，
又Tn=13+232+⋯+n3n，①
∴13Tn=132+233+⋯+n3n+1，②
两式相减得：23Tn=13+132+⋯+13n−n3n+1 ，
故23Tn=13(1−13n)1−13−n3n+1，
∴ Tn=34−3+2n4×3n．
【解析】
(1)根据题中所给条件，即可推出结果．
(2)根据题中所给条件，结合(1)中结论，即可推出结果．
18.【答案】解：(1)由题意，x−=16×(2+3+4+5+6+7)=4.5，
z−=16×(3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2，
且i=16xizi=47.64， i=16(xi−x−)2≈4.18， i=16(zi−z−)2≈5.13，
∴r=i=16(xi−x−)(zi−z−) i=16(xi−x−)2i=16(zi−z−)2=47.64−6×4.5×24.18×1.53=−≈−0.99．
∴z与x的相关系数大约为−0.99，说明z与x的线性相关程度很高；
(2)∵b=i=16xizi−6x−z−i=16xi2−6x−2=47.64−6×4.5×2139−6×4.52=−6.3617.5≈−0.36，
a=z−−bx−=2+0.36×4.5=3.62，
∴z关于x的线性回归方程是z=−0.36x+3.62，
又z=ln y，
∴y关于x的回归方程是y=e−0.36x+3.62．
令x=9，解得y=e−0.36×9+3.62≈1.46，
即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约1.46万元；
(3)当y≥0.7118时，e−0.36x+3.62≥0.7118=eln 0.7118=e−0.34，
∴−0.36x+3.62≥−0.34，解得x≤11，
因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年．
【解析】
(1)由已知结合相关系数公式求得z与x的相关系数得结论；
(2)求出b与a的值，则线性回归方程可求，再由z=ln y，可得y关于x的回归方程，令x=9，解得y值即可；
(3)由y≥0.7118，得e−0.36x+3.62≥0.7118，求解指数不等式得答案．
19.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x−a(x+1)−a(x−1)(x+1)2=x2+(2−2a)x+1x(x+1)2，
对于方程x2+(2−2a)x+1=0，△=(2−2a)2−4=4(a2−2a)，
当Δ≤0，即0≤a≤2时，x2+(2−2a)x+1≥0，f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当△>0，即a<0或a>2时，方程x2+(2−2a)x+1=0有两个不等根，
x1=a−1− a2−2a，x2=a−1+ a2−2a，而x1+x2=2(a−1)，x1x2=1，
所以当a<0时，x1
当a>2时，0
所以f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减．
综上，当a≤2时，f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>2时，f(x)在(0,a−1− a2−2a)和(a−1+ a2−2a,+∞)上单调递增，
在(a−1− a2−2a,a−1+ a2−2a)上单调递减．
(2)由题，
所以要证k>2−aa−1，即证lnx1−lnx2x1−x2−1>1a−1−1，即证lnx1−lnx2x1−x2>2x1+x2，
也即证lnx1x2−2(x1−x2)x1+x2=lnx1x2−2x1x2−1x1x2+1<0(∗)成立．
设t=x1x2∈(0,1)，函数ℎ(t)=lnt−2(t−1)t+1，
由(1)知ℎ(t)在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(1)=0，
所以t∈(0,1)时，ℎ(t)<0，所以(∗)成立，原不等式得证．
(3)由题，p=A1002010020=100×99×⋯×82×8110020，
因为99×81=902−92<902，98×82=902−82<902，⋯，91×89=902−12<902，
所以p<(910)19，
又由(2)知t∈(1,+∞)，ℎ(t)=lnt−2(t−1)t+1>0，
取t=109，有ln109−2(109−1)109+1=ln109−219>0，即ln(109)19>2，也即(109)19>e2，
所以p<(910)19<1e2．
【解析】
(1)对函数求导，对a的范围分类讨论，利用导数判断或证明已知函数的单调性即可；
(2)转化问题为要证k>2−aa−1，即证lnx1−lnx2x1−x2−1>1a−1−1，即证lnx1−lnx2x1−x2>2x1+x2求解即可；
(3)p=A1002010020=100×99×⋯×82×8110020，所以p<(910)19，又由(2)知t∈(1,+∞)，ℎ(t)=lnt−2(t−1)t+1>0求解即可．x
1
3
4
5
7
y
15
20
30
40
45
使用年数x
2
3
4
5
6
7
售价y
20
12
8
6.4
4.4
3
z=lny
3.00
2.48
2.08
1.86
1.48
1.10
x
(0,13)
13
(13,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
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