河北定州中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题含答案

这是一份河北定州中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 3−4i5i= ( )
A. 35−45i B. 45+35i C. −45−35i D. −45+35i
2. 集合 A={1,2,3},B={x∣x0 ，若曲线 y=fx 关于点 π3,0 中心对称， 则 ω 的最小值为_____.
14. 一个盒子里装有六张卡片,分别标记有数字1,2,3,4,5,6,这六张卡片除标记的数字外完全相同. 随机有放回抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a ， b,c ，则满足 a−b+b−c+c−a=6 的情况有_____种.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 某兴趣小组调查了某校 100 名学生 100 米短跑成绩的情况, 其中有 60 名学生的短跑成绩合格.这 100 名学生中有 45 名学生每周的锻炼时间超过 5 小时, 60 名短跑成绩合格的学生中有 35 名学生每周的锻炼时间超过 5 小时.
(1)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值 α=0.005 的 χ2 独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过 5 小时有关?
单位:人
(2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力. 现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训, 已知每周的锻炼时间超过 5 小时的学生参加跑步技巧培训后, 学生的短跑成绩合格的概率为 56 ,每周的锻炼时间不超过 5 小时的学生参加跑步技巧培训后,
学生的短跑成绩合格的概率为 34 . 用频率代替概率,从短跑成绩不合格的学生中随机抽取 1 名学生 (记为甲) 进行跑步技巧培训, 求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率.
参考公式与数据: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ,其中 n=a+b+c+d .
16. 已知数列 an,bn 满足 a1=3,b1=1,an=an−1−bn−1+2n,bn=bn−1−an−1+2n,n≥2 .
(1)证明:数列 an−bn 是等比数列；
(2)求 an 的通项公式，并求 an 的前 n 项和 Sn .
17. 已知椭圆 C 的焦点为 −15,0,15,0 ,且椭圆 C 过点 M4,1 ,直线 1:y=x+m 不过点 M ,且与椭圆交于不同的两点 A,B .
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)求证:直线 MA，MB 与 x 轴总围成一个等腰三角形.
18. 设 a∈R ,已知函数 fx=ex−asinx,gx=lnx+acsx .
(1)若 a=1 ，判断 fx 在区间 0,+∞ 上的单调性；
(2)若 00 ,解得 −51≥csx,f′x=ex−csx>0 ,
所以 fx 在区间 0,+∞ 上单调递增.
(2) gx=lnx+acsx ，则 g′x=1x−asinx,00 恒成立.
综上,若 0223−32>0 ,
所以, x>23 时, N′x>N′23>0,Nx 在 23,+∞ 上单调递增.
又 23