2026届河北省百师联盟一模数学试题含答案

这是一份2026届河北省百师联盟一模数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集为 U ,若 B∩∁UA=⌀ ,则 A∪B= ( )
A. A B. B C. ∁UA D. ∁UB
2. 设 a,b∈R,i 是虚数单位,则 “复数 z=a+bi 为纯虚数” 是 “ ab=0 ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
3. 已知 x,y 为正实数，且 x+y=1 ，则 x+2y+1xy 的最小值为( )
A. 22+1 B. 22−1 C. 26+5 D. 26−5
4. 已知圆台上底面直径为 2，下底面直径为 4，母线长为 3，则该圆台的体积为( )
A. 1423π B. 1453π C. 2823π D. 2853π
5. 一组从小到大排列的数据: 1,2,3,4,6,8,x,18,22 ,23 . 若它们的 70 百分位数是中位数的两倍,则 x 的值为 ( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 14
6. 数列 an 的通项公式为 an=2n−11,Sn 为其前 n 项和,则 Sn 的最小值为( )
A. -9 B. -7 C. -3 D. -19
7. 已知函数 fx=sinωx+π3+csωx+π2ω>0 ,若 y=fx 在 x∈0,2π 部分的图象与直线 y=−12 恰好产生了三个交点,则 ω 的取值范围为( )
A. 1312,74 B. 76,53 C. 54,1912 D. 43,32
8. 已知直线 l1:a2x+y−3a2−5=0 与 l2:x−a2y+3a2−5=0 相交于点 P ，点 Q 在圆 x2+y2=2 上，则( ).
A. PQ 有最大值 62 B. PQ 有最大值 52
C. PQ 有最小值 32 D. PQ 有最小值 22
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 如果平面向量 a=2,−4,b=−6,12 ,那么下列结论中正确的是 ( )
A. b=3a B. a//b
C. a 与 b 的夹角为 30∘ D. a 在 b 方向上的投影为 25
10. 设函数 fx 的定义域为 R ,且满足 fx=f2−x,fx=−fx+2 ,当 x∈(0,1] 时, fx=2x2−x ,则 ( )
A. fx 是奇函数
B. f2024=0
C. fx 的最小值是 −18
D. 方程 fx=18 在区间 0,2024 内恰有 1012 个实数解
11. 已知 F1,F2 分别是椭圆 C:x24+y23=1 的左、右焦点, O 为坐标原点, P 为 C 上异于左、 右顶点的一点, H 是线段 PF2 的中点,则( )
A. OH+HF2=2 B. OH>1
C. △OHF2 内切圆半径的最大值为 36 D. △HF1F2 外接圆半径的最小值为 1
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若圆 x2+y2+6x−8y+25=λ 与 x 轴相切，则实数 λ 的值是_____.
13. 已知二面角 α−l−β 为直二面角, A∈α,B∈β,A∉l,B∉l ,则 AB 与 α,β 所成的角分别为 π6,π4,AB 与 l 所成的角为_____.
14. 已知函数 fx=alnxa>0 ,若函数 gx=fx−2025 ,则 gx 的所有零点之积为_____；方程 fx=x 有三个不同的解，则实数 a 的范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知 fx=ax2+bx+ca,b,c∈R ,且 fx0 对一切实数恒成立，求实数 a 的取值范围.
16. 已知平面向量 a=3,4,b=9,x,c=4,y ,且 a//b,a⊥c
(1)求 b 在 c 方向上的投影向量；
(2) 求 m=2a−b 与 n=a+c 的夹角；
17. 在三棱柱 OAB−O1A1B1 中， P ， Q 为 AA1 的三等分点，侧面 OBB1O1 为正方形， OA⊥OB,BP⊥OO1 .

(1)证明:平面 OBB1O1⊥ 平面 OAA1O1 ；
(2)证明: PO⊥ 平面 OBB1O1 ；
(3)正方形 OBB1O1 边长为 3, OA=2 ，求直线 O1Q 与平面 OAB 所成角的正弦值.
18. 已知 F 为抛物线 C:x2=2pyp>0 的焦点,点 A 在 C 上, FA=3,−14 . 点 P(0 ,
-2), M,N 是抛物线上不同两点,直线 PM 和直线 PN 的斜率分别为 k1,k2 .
(1)求 C 的方程；
(2)存在点 Q ，当直线 MN 经过点 Q 时， 3k1+k2−2k1k2=4 恒成立，请求出满足条件的所有点 Q 的坐标;
(3)对于(2)中的一个点 Q ，当直线 MN 经过点 Q 时， MN 存在最小值，试求出这个最小值.
19. 已知 fx=x+1lnx+1+asinx,a∈R
(1) a=0 时,证明: fxx+1≤x ;
(2)若对任意的 x∈0,π ， fx>0 恒成立，求 a 的取值范围；
(3)证明:对任意的正整数 n ，总有 12sin1+23sin12+⋯+nn+1sin1n8π32πω+π6≤10π3⇒543,y≤5,
已知圆 x2+y2=2 的圆心 O0,0 ,半径 r2=2 ,则圆心 O0,0 与点 P 轨迹圆的圆心 4,4 的距离为 OC=4−02+4−02=16+16=42 .
PQ 的最大值为圆心加上两圆半径,即 PQmax=42+2+2=62 .
由于轨迹不包含点 3,3 ,故不存在最小值.
故选: A.
9. AB
因为 a=2,−4,b=−6,12 ,所以 b=−3a .
在 A 中,由 b=−3a ,可得 b=3a ,故 A 正确;
在 B 中,由 b=−3a ,可得 a//b ,故 B 正确;
在 C 中,由 b=−3a ,可得 a 与 b 的夹角为 180∘ ,故 C 错误;
在 D 中, a 在 b 方向上的投影为 a⋅bb=2,−4⋅−6,12−62+122=−25 ,故 D 错误.
故选:AB.
10. AB
对于选项 A,因为函数 fx 的定义域为 R ,又 fx=f2−x ,所以 f−x=f2+x,
又 fx=−fx+2 ,得到 f−x=−fx ,所以 fx 是奇函数,故选项 A 正确,
对于选项 B ,因为 fx=−fx+2 ,所以 fx+4=−fx+2=fx ,得到 fx 的周期为 4,
所以 f2024=f0=0 ,故选项 B 正确,
对于选项 C ,当 x∈(0,1] 时, fx=2x2−x∈−18,1 ,又 fx 是奇函数,
所以当 x∈[−1,0) 时, fx∈−1,18 ,所以选项 C 错误,
对于选项 D ,当 x∈[−1,0) 时, −x∈(0,1] ,则 f−x=2−x2+x ,得到 fx=−2x2−x , 因为 fx=f2−x ,所以函数 fx 关于直线 x=1 对称,所以 fx 在 −1,3 上的图像如图所示,
由图知, fx=18 在 −1,3 有 4 个交点,又 fx 的周期为 4,且在区间 0,2024 上共有 506 个周期,
所以方程 fx=18 在区间 0,2024 内恰有 2024 个实数解,故选项 D 错误,

故选: AB.
11. ACD

对于 A,OH+HF2=12PF1+PF2=12×2a=a=2 ,故 A 正确;
对于 B ,由三角形中位线得 OH=12PF1 ,因为当点 P 在第二三象限时, PF10⇔2axx−2>2−2⇔ax2−2ax+2>0 的解集为 R .
当 a=0 时,满足题意;
当 a≠0 时,由 a>0Δ=4a2−8a0 恒成立;
(ii) 当 −1≤a0 ,则 f′x 单调递增, f′x>f′0=1+a≥0 , fx 单调递增, fx>f0=0 .
(iii) 当 a0 ,则 f′x 单调递增, f′0=1+a0 ,则必然存在一个 x0∈0,π2 ,使得 f′x0=0 ,
且有 x∈0,x0 时, f′x0 ,对任意的 x∈0,π 恒成立,
即 x+1lnx+1>sinx ,变形可得 1x+1⋅sinx