河北保定市蠡县蠡县中学2025-2026学年高二下学期开学测试数学试题含答案

这是一份河北保定市蠡县蠡县中学2025-2026学年高二下学期开学测试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了 本试卷主要考试内容， 已知 F 是双曲线 C等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容:人教 A 版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四 章.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 在公差不为 0 的等差数列 an 中, a1+am=a3+a12 ,则 m= ( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
2. 若直线 2x+m−1y−3=0 与 mx+3y+3=0 互相垂直，则 m= ( )
A. -2 B. 3 C. -2 或 3 D. 35
3. 数列 an 为单调递减的等比数列,且 a3+a5=13,a2a6=36 ,则公比 q= ( )
A. 23 B. −23 C. −32 D. 49
4. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, AB=2AE,CF=2FC1 ,则 EF=
A. 12AB+AD+12AA1 B. 12AB+AD+23AA1
C. AB+12AD+12AA1 D. 12AB+AD+13AA1
5. 设等差数列 an,bn 的前 n 项和分别为 Sn,Tn ,若 SnTn=n+43n+2 ,则 a6b6= ( )
A. 12 B. 819 C. 37 D. 34
6. 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度, 曲率半径越大, 则曲线在该点处的弯曲程度越小,已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上点 Px0,y0 处的曲率半径公式为
R=a2b2x02a4+y02b432 ,若椭圆 C 上所有点相应的曲率半径的最大值为 92 ,最小值为 43 ,则椭圆 C 的标准方程为( )
A. x29+y26=1 B. x26+y22=1 C. x28+y24=1 D. x29+y24=1
7. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S6S3=6 ,则 S12S6= ( )
A. 6 B. 16 C. 26 D. 36
8. 已知 F 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点,直线 y=kx 与双曲线 C 交于 M,N 两点,其中 M 在第一象限, NF=4MF ,且 ∠MFN=2π3 ,则双曲线 C 的离心率为 ( )
A. 133 B. 2 C. 72 D. 3
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知点 A9,9,6 在平面 α 内,点 B1,1,0 在平面 α 外,且平面 α 的一个法向量为 n=2,1,1 , 则下列选项正确的是( )
A. 向量 AB 在向量 n 上的投影向量为 5n
B. 向量 AB 在向量 n 上的投影向量为 −5n
C. 点 B 到平面 α 的距离为 56
D. 点 B 到平面 α 的距离为 65
10. 已知数列 an 的首项 a1=45,an+1=2an−anan+1 ,则()
A. 1an+1 是等比数列
B. an=2n+12n+1+1
C. 数列 1an 的前 n 项和为 n+12−12n
D. 数列 an2n+2+1 的前 n 项和为 15−12n+2+1
11. 已知圆 C:x2+y2+2x+2y−2=0 与直线 l:a−1x−y−a+3=0 ,点 P 在圆 C 上,点 Q 在直线 l 上,则下列选项正确的是 ( )
A. 直线 l 过定点 1,2
B. 若直线 l 与圆 C 相切,则 a=1712
C. 若 a=0 ,则 PQmin=522
D. 当 a=0 时,从 Q 点向圆 C 引切线,切线长的最小值是 342
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若数列 an 满足 a1=3,anan+1an+an+1=2 ,则 a2026= _____.
13. 抛物线 y2=−28x 上有一动点 P ,其焦点为 F,A−9,5 ,则 PF+PA 的最小值为_____.
14. 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中, AB=2AD=3AA1=6,∠A1AB=∠DAB=∠A1AD=60∘ , 则 BD1= _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 经过 △ABC 的三个顶点， A6,6 ，且直线 AB,AC 的倾斜角互补.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)求直线 BC 的斜率.
16. 已知数列 an 满足 13a1−1+23a2−1+33a3−1+⋯+n3an−1=n2 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)求 an 的前 n 项和 Sn ；
(3)求数列 an⋅3n+1 的前 n 项和 Tn .
17. 在四棱锥 P−ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, △PCD 为等边三角形, PA=22,E 为 PD 的中点.

(1)证明:平面 PCD⊥ 平面 ABCD .
(2)求平面 ABE 与平面 BCE 夹角的余弦值.
18. 在平面直角坐标系中,已知 m=x+2,y,n=x−2,y ,且 m+n=42 ,记动点 Tx,y 的轨迹为曲线 C .
(1)求曲线 C 的方程；
(2)已知点 P 是曲线 C 上的一动点，不过原点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 M,N 两点，记直线 PM,PN,MN,OP 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4 ,若 k3+k4=0 ,求 k1k2 的值.
19. 已知 Sn 为正项数列 an 的前 n 项和,且 1−qSn=q1−an .
(1)求 an 的通项公式.
(2)已知数列 bn 满足:① bn>0,b1q≥1,b2q=1 ，② bm+n∈bmbnq,2bmbnq ，③ b4m−1b>0 上,故 y02=b21−x02a2 ,
代入曲率半径公式中括号部分: t=x02a4+y02b4=x02a4+b21−x02a2b4=x021a4−1a2b2+1b2 ,
由于 a>b>0 ,系数 1a4−1a2b22=r ,
所以直线与圆相离,所以 PQmin=d−r=522−2 ,故 C 错误;
从 Q 点向圆 C 引切线,设切点分别为 M,N ,连接 CM,CQ ,则 CM⊥MQ ,
则 MQ=CQ2−CM2=CQ2−4 ,
当 CQ⊥l 时， CQ 取得最小值，此时 MQ 取得最小值，
所以 MQmin=5222−4=342 ,故 D 正确.

12. 6
因为 a1=3,anan+1an+an+1=2 ,若存在 an=2 ,则 2an+12+an+1=2 ,则 0=4 ,矛盾,故 an≠2 , 所以 an+1=2anan−2 .
因为 a1=3 ,所以 a2=2×33−2=6,a3=2×66−2=3,⋯ ,
所以 an 是周期为 2 的数列,故 a2026=a1012×2+2=a2=6 .
13. 16
由题意得 p=−14 ,准线为 x=7 ,过 P 向准线作垂线,垂足为 Q ,且有 xQ=7 , 因为 PF=PQ ,则 PF+PA=PQ+PA ,
所以当 P,Q,A 三点共线时, PF+PA 最小,如图:

即 PF+PAmin=AQ=xA+xQ=9+7=16 .
14. 5
设 AB=a,AD=b,AA1=c ,则 a=6,b=3,c=2,a⋅b=6×3×cs60∘=9 , a⋅c=6×2×cs60∘=6,b⋅c=3×2×cs60∘=3.
因为 BD1=b−a+c ,所以 BD1=b−a+c=a2+b2+c2−2a⋅b−2a⋅c+2b⋅c=5 .
15. (1) y2=6x
(2) −12
(1) 因为抛物线 C:y2=2pxp>0 过 A6,6 ,所以 62=12p , 所以 p=3 ,即抛物线 C 的方程为 y2=6x .
(2)易知直线 BC 的斜率存在，设 Bx1,y1,Cx2,y2 ，则 y12=6x1y22=6x2 ，
两式相减得 y12−y22=6x1−x2 ,所以 y1−y2x1−x2=6y1+y2 ,
因为直线 AB,AC 的倾斜角互补,所以 AB,AC 的斜率存在,
且 kAB+kAC=y1−6x1−6+y2−6x2−6=y1−6y126−6+y2−6y226−6=6y1+6+6y2+6=0 ,
所以 y1+y2=−12 ,故 kBC=y1−y2x1−x2=6y1+y2=−12 .

16. 1an=2n+13
(2) Sn=n2+2n3
(3) Tn=n⋅3n+1
(1)因为 13a1−1+23a2−1+33a3−1+⋯+n3an−1=n2 ,
所以当 n=1 时, a1=1 ,
当 n≥2 时, 13a1−1+23a2−1+33a3−1+⋯+n−13an−1−1=n−12 ,②
由 ① - ② 整理得 an=2n+13n≥2 ，
因为 a1=1 符合上式,所以 an=2n+13 .
(2)由(1)知 an−an−1=2n+13−2n−1+13=23 ，
所以数列 an 是以 1 为首项, 23 为公差的等差数列,
所以 Sn=1×n+nn−12×23=n2+2n3 .
(3)因为 an⋅3n+1=2n+1⋅3n ，所以 Tn=3×31+5×32+7×33+⋯+2n+1⋅3n .
因为 3Tn=3×32+5×33+7×34+⋯+2n+1⋅3n+1 ,
所以 −2Tn=3×31+232+33+⋯+3n−2n+1⋅3n+1=9+2×91−3n−11−3−2n+1⋅3n+1=−2n⋅3n+1 , 所以 Tn=n⋅3n+1 .
17.(1)

证明: 取 CD 的中点 O ,连接 OP,OA .
因为四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,所以 OA=AD2+OD2=5 .
因为 △PCD 是边长为 2 的等边三角形,所以 OP=PD2−OD2=3 ,
因为 PA=22 ,所以 PA2=OA2+OP2 ,所以 OP⊥OA .
因为 OP⊥CD,CD∩OA=O,CD⊂ 平面 ABCD,OA⊂ 平面 ABCD ,所以 OP⊥ 平面 ABCD . 因为 OP⊂ 平面 PCD ,所以平面 PCD⊥ 平面 ABCD .
(2)设 AB 的中点为 Q ，连接 OQ ，则 OQ//AD . 结合(1)可知 OP,OQ,OC 两两垂直. 以 O 为原点,以 OQ,OC,OP 的方向分别为 x,y,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ,
则 A2,−1,0,B2,1,0,D0,−1,0,P0,0,3,E0,−12,32 .
设 n=x,y,z 是平面 ABE 的法向量,因为 AB=0,2,0,AE=−2,12,32 ,
所以 n⋅AB=2y=0n⋅AE=−2x+12y+32z=0 ,令 z=4 ,得 n=3,0,4 .
因为 BC⊥ 平面 PCD ,所以 BC⊥PD .
因为 CE⊥PD ,且 CE∩BC=C ,所以 PD⊥ 平面 BCE ,
所以 PD=0,−1,−3 为平面 BCE 的一个法向量.
因为 cs⟨PD,n⟩=PD⋅nPDn=−432×19=−25719 ,
所以平面 ABE 与平面 BCE 夹角的余弦值为 25719 .
18. 1x28+y26=1
(2) 34
(1)设 F1−2,0,F22,0 ，
则 m=x+22+y2=TF1,n=x−22+y2=TF2 ,
则 TF1+TF2=m+n=42 ,
由椭圆的定义可知 T 的轨迹是以 F1−2,0,F22,0 为焦点,以 42 为长轴长的椭圆, 所以曲线 C 的方程为 x28+y26=1 .
(2)设 Px0,y0,Mx1,y1,Nx2,y2 ，则 k4=y0x0 .
因为 k3+k4=0 ,所以 k3=−y0x0 . 设直线 MN 的方程为 y=−y0x0x+mm≠0 ,
由 y=−y0x0x+m,x28+y26=1, 整理得 3x02+4y02x2−8mx0y0x+4x02m2−6=0 .
因为 P 在椭圆 C 上,所以 3x02+4y02=24 ,所以上式可化为 6x2−2mx0y0x+x02m2−6=0 ,
所以 x1+x2=mx0y03,x1x2=m2x026−x02,Δ=4x02m2y02−6m2+36>0 ,
所以 y1+y2=−y0x0x1+x2+2m=m6−y023=mx024 ,
y1y2=−y0x0x1+m−y0x0x2+m=y02x02x1x2−my0x0x1+x2+m2
=m21−y026−y02=m2x028−y02.
因为 y1−y0y2−y0=y1y2−y0y1+y2+y02
=m2x028−y02−mx02y04+y02=m2x02−2mx02y08 ,
x1−x0x2−x0=x1x2−x0x1+x2+x02=m2x02−2mx02y06,
所以 k1⋅k2=y1−y0x1−x0⋅y2−y0x2−x0=34 .

19. (1) an=qn
(2)(i) b1=1q,b2=1q,b3=1q,b4=2q ；(ii)证明见解析；(iii) q∈25062027,22531013
(1) 将 n=1 代入 1−qSn=q1−an ,得 a1=q .
由 1−qSn=q1−an ,得 1−qSn−1=q1−an−1n≥2 ,
两式相减得 1−qan=qan−1−an ,即 an=qan−1 ,
因为 an 为正项数列,所以 q>0 ,则 an 为等比数列,且首项和公比均为 q ,
所以 an=a1qn−1=qn .
(2)(i) b2∈b12q,2b12q,b2q=1 ，若 b2=2b12q ，则 b2q=2b12q2=1 ，得 b12q2=12 ，这与 b1q≥1 矛盾,
所以 b2=b12q ,则 b2q=1=b12q2 ,又 bn>0,q>0 ,所以 b1q=1 ,得 b1=b2=1q .
同理得 b3=b1+2∈1q,2q,b4=b2+2∈1q,2q ,
又因为 b4m−1