吉林省梅河口市第五中学2026届高三上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份吉林省梅河口市第五中学2026届高三上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点所属象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．已知集合和集合，则（ ）
A．或B．或
C．D．
3．甲，乙，丙三人玩踢毽子游戏，每个人接到毽子都等可能地把毽子传给另外两个人中的一个人，从甲开始踢，则经过3次传递后，毽子传回到甲的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，则十名护旗手身高的分位数为（ ）
A．177.5B．178C．178.5D．179
5．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．3
7．已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线，切点分别为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
8．已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A．的长度为B．的长度为
C．的长度为D．的长度为
二、多选题
9．已知正项等比数列的公比为，前项和为，则（ ）
A．B．
C．数列是递减数列D．
10．已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的单调递增区间为
C．的极小值为
D．若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为
11．已知正数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ．
13．已知函数 为奇函数，则 的最小值为 .
14．实数满足，设点，动点满足.点为线段的中点，当且面积取得最大值时，点坐标为 .
四、解答题
15．已知函数（a为常数）.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的取值范围.
16．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点.
(1)若直线平面，求证：为的中点；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
18．某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到丙练习的概率为，每次丙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，直到这天练习结束，一共练习了n（，）轮，已知练习从甲开始.
(1)当时，求甲一共参与练习次数X的分布列与期望；
(2)求第n轮为甲练习的概率.
19．设A，B分别是直线和上的动点，，O为坐标原点，动点P满足，记动点P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设C与x轴正半轴的交点为D，与y轴正半轴的交点为E，当点P在第一象限时，直线PD交y轴于点M，直线EP交x轴于点N.
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）求面积的最大值.
参考答案
1．A
【详解】由题可得，
故的共轭复数，它在复平面上对应的点为，位于第一象限，
故选：A.
2．C
【详解】因为，，故易知，解得，
因此集合，
则或，
由，解得，故，
因此.
故选：C.
3．A
【详解】将甲、乙、丙三人用表示，由题意可知，传毽子的方式有以下形式：
，
则经过3次传递后，毽子传回到甲的事件有与，
因此经过3次传递后，毽子传回到甲的概率为，
故选：A.
4．C
【详解】先将这十名护旗手的身高进行从小到大排序，得：
174，175，175，176，176，177，178，178，179，180，
因为，为整数，故取第个数与第个数的平均数，
即十名护旗手身高的分位数为，
故选：C.
5．B
【详解】因为，则，①
又因为，则，
故①式整理可得，，解得或（舍去），
故，所以．
故选：．
6．B
【详解】根据题意得，
又因为函数在区间上单调递增，此时，
所以，解得，所以的最大值为.
故选：B.
7．D
【详解】由题意可知，当点到圆心的距离最小时，最大.
圆心原点到直线的距离为.所以点到圆心的距离最小值为.
所以，的最大值为.
故选：D
8．A
【详解】如图所示，
连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点，
交的延长线于点，连接，交于点，连接，
则即为，即为，
由，得，所以，，
由，得，则，
所以，故C，D项错误；
由，得，
又易知，得，所以，
所以，故A项正确，B项错，
故选：A.
9．AC
【详解】由正项等比数列的公比为可得：，，.
因为
所以，解得
则.
故选项A 正确；
对于选项B，，故选项B错误；
对于选项C，因为，所以，即，
故数列是递减数列，故选项C正确；
对于选项D，，故选项D错误.
故选：AC
10．ACD
【详解】由函数，可得，
对于A中，由，定义域为关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，所以A正确；
对于B中，由，解得或，
即函数的递增区间为，所以B不正确；
对于C中，由，解得，所以函数的递减区间为，
所以，当时，函数取得极小值，极小值为，所以C正确；
对于D中，由函数在上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以极大值为，极小值为，
且时，；时，；
又由关于的方程恰有3个不等的实根，
即函数与的图象有3个不同的交点，可得，
所以实数的取值范围为，所以D正确.
故选：ACD.
11．BC
【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，所以不恒成立，故错误；
对于B：因为且，所以，
所以，当且仅当时取等号，故正确；
对于C：因为，所以，
所以，所以，当且仅当时取等号，故正确；
对于D：由C可知错误；
故选：BC.
12．
【详解】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接.
，
由于，，得：，，
因此可得：，
如图易知：由于为三角形内一点（包括边界），
因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为，
综上可得：，即.
故答案为：
13．
【详解】为奇函数，所以，
代入得，在定义域内，
化简得：，
即，由得：，
因为奇函数的定义域关于原点对称，由可知，
定义域端点为和，
为使定义域关于原点对称，必有，即，
又，，
所以，
当且仅当b2a=2ab即，，即时成立；
综上 的最小值为.
故答案为：
14．
【详解】变形为，
则，即，
令，则，所以在上单调递增，
又，所以，从而点在直线上，
因为为线段的中点，，所以，
从而在以为直径的上，所以有，
此时，所以，
可得直线的斜率为，
因为满足，可知点在以为直径的上，方程为.
若面积最大，由圆的对称性可知，此时直线垂直于，
所以直线的斜率为，点在优弧上，从而可知直线.
联立，可得（负值舍去），
所以，所求点坐标为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
则，，则，
故曲线在点处的切线方程为；
（2）的定义域为，
，由对勾函数可知，，
当，即时，，
则在上单调递增，则无极值，不符合题意；
当，即时，，
又，，
则由零点存在性定理可知，存在，，使得，
则得或；得，
则在，上单调递增，在上单调递减，
则的极大值点和极小值点分别为，，
故，是方程即的两根，
则，
则
令，，
则，则在上单调递减，
因时，，，则，
故的取值范围为.
16．(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，所以，
则，
所以曲线在点处的切线方程为
（2），
则
当时，，则在上单调递增.
当时，由得出 ，则在上单调递增；
由 得出，所以在上单调递减；
综上所述：若时，在上单调递增，
若时，在上单调递增，在上单调递减.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接交于点，再连接，
由直线平面，平面，平面平面，，又为的中点，为的中点；
（2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
设，则
设，，
设平面的法向量为，则，即
取，则.
设平面的法向量，则，即，
可得平面的法向量，
设平面与平面夹角为
，整理得，
18．(1)分布列见解析，
(2)
【详解】（1）根据题意得，X的可能取值分别为1，2，3，
则时，表示第1轮为甲，第2轮为乙，第3轮为丙，即，
时，表示第1轮为甲，第2轮为甲，第3轮为乙，或第1轮为甲，第2轮为乙，第3轮为甲，
即，
时，表示第1轮为甲，第2轮为甲，第3轮为甲，即，
所以X的分布列如下表
.
（2）设第n轮练习为甲，乙，丙的概率分别为，，，
由题意得 ， ①
， ②
由②得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
，则代入①中，
得，故第n轮为甲练习的概率为.
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）设，，，
由，，得 ， ①
， ②
联立①②消去，可得C的方程为；
（2）

（ⅰ）设（，），，，
由三点共线可知，得，
由三点共线可知，得，
所以，，
所以，
因为，所以代入上式得.
（ⅱ）由图知，的面积为
，
即X
1
2
3
P