吉林省梅河口市第五中学2026届高三上学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份吉林省梅河口市第五中学2026届高三上学期开学考试数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
详解】由已知，，所以,
故选：B.
2. 方程的根所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】令，
故函数为定义在上的连续函数，且显然为增函数，
因为，，，
由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为.
故选：C.
3. 离散型随机变量X的分布列如下：
若，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】由题设，则，A对；
由，则，联立，
所以，则，D错；
，B对；
，C对.
故选：D
4. 已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】令，
因，则，
故曲线和直线无交点，
，则，令，解得，
则曲线上的点到直线的距离，
则的最小值为.
故选：A
5. 如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）

A. 96B. 144C. 480D. 600
【答案】B
【详解】第一步涂陕西有4种选择，第二步涂湖北有3种选择，第三步涂安徽有3种选择，第四步涂江西有2选择，第五步涂湖南有2种选择，
所以共有种涂色方案.
故选：B
6. 为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元．
A. 2.48B. 2.58C. 2.68D. 2.88
【答案】C
【详解】由，
可得数据可得样本中心点为：
代入回归方程，解得：，
所以当时，．
故选：C
7. 小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择一个游玩．记事件“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件“两人选择的景区不同”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意可得，，
所以.
故选：A.
8. 已知函数，下列命题正确的有（ ）
A. 可能有2个零点
B. 没有极小值
C. 时，
D. 若存在极大值点，其中，则
【答案】D
【详解】函数的定义域为，.
当时，，根据二次函数性质可知最低点坐标为，此时函数与轴无交点，即函数无零点；
当时，令，或.
当时，在时，，在上，即在上单调递增，在和上单调递减.
故此时有极小值点，极小值，存在极大值点，极大值为；，所以有一个零点.
当时，在时，，在上，即在和上单调递增，在上单调递减.
故此时有极小值点，极小值为，存在极大值点，极大值为；，所以有一个零点.
对于A，当时，函数无零点；和时有一个零点；故A错误；
对于B，当时，函数有极小值，故B错误；
对于C，时，，此时在上单调递减，又，所以，故C错误；
对于D，由上述分析可知，则，，即.
已知方程已有一根为，故可因式分解得，解得与相异的根，则，故D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】BC
【详解】因为在等比数列{}中，，
设等比数列的公比为，则，所以，
故选：.
10. 已知是定义在上的可导函数，则（ ）
A. 若，则是增函数
B. 若，则0是的极值点
C. 若，则
D. 若，则是减函数
【答案】AD
【详解】若，则是增函数，故A正确；
当时，0不一定是的极值点，如，，但没有极值，故B错误；
若，则，故C错误；
因为，所以，
所以在上是减函数，故D正确.
故选：AD.
11. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
B. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强
C. 决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好.
D. 若随机变量，满足，则
【答案】BD
【详解】对于A，残差图中残差点分布带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，A错误；
对于B，相关系数很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强，故B正确；
对于C，因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，所以模型甲的拟合效果更好，故C错误；
对于D，由随机变量方差的性质知加减不改变方差，缩放后方差变为平方倍，故，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，则________．
【答案】
【详解】,
故答案为：
13. 将2名女生和3名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各1人，则不同的分法种数为________．
【答案】12
【详解】每个小组安排一个女生，有种方法，
每个小组安排一名男生，有种方法，
故每个兴趣小组分配男生女生各1人，共有种方法，
故答案为：12
14. 将（）的展开式中第m项的系数记作，则________（用数字作答）．
【答案】
【详解】由题意可得，
则
.
故答案为：.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前n项和（）．
（1）求的值；
（2）证明：；
（3）证明：．
【答案】（1）65 （2）证明见解析
（3）证明见解析
【小问1详解】
当时，，
又，
所以.
【小问2详解】
因为，所以（时取“”）.
所以，
即（当且仅当时取“”）.
【小问3详解】
由（2）（当且仅当时取“”）.
所以，，，…，.
各式相加得：.
即.
16. 如图，在三棱锥中，，，，．

（1）证明：平面PAB；
（2）过的中点作平面与平面ABC平行，并分别交，于点，，且E为的中点，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
在中，，，所以.
在中，，，，因为，所以.即，
又，平面，，所以平面.
因为平面，所以，
又，平面，，
所以平面.
【小问2详解】
如图：以为原点，建立如图空间直角坐标系.
因为平面平面，且为中点，则为中点.
则,,,,,.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，取；
设平面的法向量为，
则，取.
设二面角为，则，
所以.
17. 抓娃娃游戏一直以来吸引着小朋友和成年人，它不仅是一种娱乐活动，更是一种充满策略与技巧的挑战.已知某游戏厅有，，三台抓娃娃机，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，中奖结果与否互不影响.
（1）若小张分别操作，，抓娃娃机各一次，求小张中奖的概率；
（2）已知小张准备抓娃娃三次，现有两种方案供选择：
方案一：操作，，抓娃娃机各一次；
方案二：操作抓娃娃机三次.
假设，，三台抓娃娃机中奖一次获得娃娃的价值为20元，请根据获得娃娃价值的期望，分析小张选择哪种方案较合适.
【答案】（1）
（2）选择哪种方案都一样.理由见解析.
【小问1详解】
记小张分别操作，，抓娃娃机能中奖为事件A，B，C，
则，，，，，．
因为每次的结果互不影响，所以小张分别操作，，抓娃娃机能中奖的概率为：．
【小问2详解】
选择方案一：X可能的取值为0，20，40，60，
，
，
，
所以，
所以
若选择方案二，设他所获奖品的总件数为Z，则，
，，，
因为，所以选择方案一和方案二一样．
18. 已知椭圆，的左右焦点分别是，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，且，的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由
【答案】（1）（2）面积为定值
【详解】（1）依题意有，
由及椭圆的定义得
由余弦定理得
即
又，
故椭圆的方程为.
（2）联立，
可得，
则①
又
由，
可得，
，
，满足①
设原点到直线距离为，，
为定值.
19. 已知函数.
（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）当时，求证在上恒成立.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【小问1详解】
函数，则，
对任意的恒成立，所以，
故，,，
所以，所以在上为单调递增函数，
所以，所以，
故实数的取值范围为；
【小问2详解】
证明：由题意知，要证上，，
令，则，
显然在上单调减，，
所以存在，则，
所以当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以，
因为，所以，则
故在上恒成立.
X
1
2
3
4
P
m
0.3
n
0.2
/万元
1
2
3
4
5
/万元
0.50
0.80
1.00
1.20
1.50