吉林省梅河口市第五中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份吉林省梅河口市第五中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知是虚数单位，，则（ ）．
A．B．C．3D．5
2．如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（ ）．
A．B．2C．D．4
3．在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面向量的夹角是， ，，则（ ）．
A．2B．C．D．
5．漳州市博物馆是了解漳州深厚文化底蕴的理想之地，博物馆共有三层，每个楼层都展示了不同的文化主题．现甲、乙两人各自选择一个楼层参观，假设每个人选择哪个楼层参观是等可能的，则甲乙在不同楼层参观的概率为（ ）．
A．B．C．D．
6．一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（ ）．
A．B．C．D．
7．如图，各棱长均为2的直三棱柱中，D为的中点，点到平面的距离为（ ）．
A．B．2C．D．
8．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（ ）．
A．B．
C．D．
二、多选题
9．抛掷一颗质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件M，“点数为奇数”记为事件N，“点数小于4”记为事件Q．下列说法正确的是（ ）．
A．M与N为互斥事件B．M与Q为对立事件
C．N与Q不为互斥事件D．N与Q为相互独立事件
10．已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．在方向上的投影向量为
C．D．当时，与的夹角为锐角
11．已知球的表面积为，一个正四面体的四个面都与球相切，且该正四面体的四个顶点都在球的球面上，则（ ）．
A．该正四面体的表面积为B．该正四面体的体积是
C．球的表面积是D．球与球的体积比是
三、填空题
12．一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为 .
13．2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为 ，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为 ．
14．在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则的最小值为 .
四、解答题
15．在中，.
(1)求；
(2)若为边的中点，且，求的值.
16．为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2018年在其扶贫基地投入万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.
（1）写出第年(2019年为第一年)该企业投入的资金数(万元)与的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）该企业从第几年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过万元?
（参考数据）
17．的内角的对边分别为，已知函数的一条对称轴为，且.
（1）求A的值；
（2）若，求边上的高的最大值.
18．如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证：
(1)平面；
(2)
(3)若平面与平面的交线为，求与平面所成的角.
19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
1．B
根据求出复数，再根据复数模的运算求解即可.
【详解】因为，所以，即，
所以.
故选：B
2．A
根据斜二测画法的规则，分析出原图形中的位置及数量关系，再根据三角形面积公式计算即可.
【详解】在直观图中，因为，，
所以
在直观图中，在轴上且，
所以在原图形中，在轴上，且，
在直观图中，在轴上且，，
所以在原图形中，在轴上，且，
并且在原图形中，，
所以.
故选：A
3．C
利用正方体的特点，将异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，角形 为等边三角形，故 与的夹角为，从而得出异面直线的夹角为.
【详解】
正方体中， ，异面直线AC与的所成角即为 与所成的角，而三角形 为等边三角形，故 与的夹角为 ，所以异面直线AC与的所成角为 .
故选：C
4．C
先求出及的值，再求出，然后根据求向量模的公式求解即可.
【详解】因为，所以.
因为平面向量，的夹角为，
所以.
因为，
所以.
故选：C
5．A
列举出所有情况，结合古典概型公式求解.
【详解】由题知，甲乙可能参观的可能是，共种情况，
在不同楼层的情况为，共种情况，
根据古典概型计算公式，甲乙在不同楼层参观的概率是.
故选：A
6．C
设航船方向与河岸夹角为，根据求出即可求解.
【详解】设航船方向与河岸夹角为，
所以，所以，
，
分钟.
故选：C.
7．A
利用，可求点到平面的距离.
【详解】由题意可得，平面，又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，所以，
又直三棱柱各棱长均为2，所以，
，
所以，，
设点到平面的距离为，
由，得，所以，
解得.
故选：A.
8．B
由正弦定理求出,再根据正切函数定义求解.
【详解】在中，，，，则夹，
由正弦定理可得：
故选：B.
9．AC
根据互斥事件、对立事件、以及独立事件的概念一一判断各选项，即得答案.
【详解】由于偶数点和奇数点不会同时发生，故M与N为互斥事件，A正确；
由于出现2点时，事件M与Q同时发生，故M与Q不为对立事件，B错误；
由于出现1、3点时，事件N与Q同时发生，N与Q不为互斥事件，C正确；
，,
则，即N与Q不为相互独立事件，D错误，
故选：AC
10．AB
利用向量模的知识即可求解A；利用投影即可求解B；利用数量积即可求解C；当时，与共线可求解D.
【详解】A：由，是夹角为的单位向量则，则对两边同时平方得，则，故A正确；
B：在方向上的投影向量为，故B正确；
C：由，，则，故C错误；
D：当时，，此时夹角不为锐角，故D错误；
故选：AB.
11．ACD
设正四面体的棱长为，内切球半径为，外接球半径为，利用体积分割法求得，将正四面体放入正方体可得，从而可逐项判断求解.
【详解】A：设正四面体的棱长为，如图所示正四面体，点在底面的投影为点且为底面重心，为内切球圆心，分别连接，，，
设内切球的半径为，则，则得，
因，，
又，
由
即，
解得：，则，所以该正四面体的表面积为，故A正确；
B：由A可得，故B错误；
C：将正四面体放到一个正方体内，则正方体的外接球就是正四面体的外接球，设外接球半径为，
则，解得：，
由A得，则，
所以球的表面积是，故C正确；
D：由，，则，所以球与球的体积比是，故D正确.
故选：ACD.
12．18
借助百分位数定义计算即可得.
【详解】将这组数据从小到大排列：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，
，则该组数据的第75百分位数为18.
故答案为：18.
13． /0.375
利用相互独立事件即可求得；
“粽队”在两轮活动中答对三个问题相当于事件“甲答对1个，乙答对2个”、事件“甲答对2个，乙答对1个”的和事件发生，根据独立事件和互斥事件概率的求法，即可求解.
【详解】因为每轮活动中甲答对问题的概率为，则每轮活动中甲答错问题的概率为，所以甲在两轮活动中答对1个问题的概率为.
设分别表示甲两轮答对1个，2个问题的事件，
分别表示乙两轮答对1个，2个问题的事件，根据独立事件的性质，可得，
，，
，，
设为 “粽队”在两轮活动中答对三个问题的事件，
则，因为与互斥，与，与分别相互独立，，
所以“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率.
故答案为：，.
14．50
根据向量的线性运算以及数量积的运算律可得，进而根据模长公式得，利用三角换元，即可结合三角恒等变换即可求解.
【详解】
＝
＝，
由，得，即，
即，即，
设，
则，（其中），
当时，即时，取到最小值50，即的最小值50，
故答案为：50
15．(1)；
(2).
（1）由正弦定理可得，结合三角和为及诱导公式可得，即可得答案；
（2）在中，由正弦定理可求得，从而可得，在中，利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
即，，
又因为，
所以，
解得，又因为，
所以；
（2）解：因为为边的中点，，
所以,
设,
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
又因为，所以，

在中，，
在中，，
由余弦定理可得：，
所以，
即.
16．（1），定义域为；
（2）从第8年开始，每年投入的资金数将超过400万元．
【解析】（1）根据题意可得万元，其定义域为，
（2）由，解得即可．
【详解】解：（1）第一年投入的资金数为万元，
第二年投入的资金数为万元，
第年年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式万元，其定义域为 ；
（2）由可得，即 ，
即企业从第8年开始年为第一年），每年投入的资金数将超过400万元．
17．（1）；（2）.
【详解】（1）是的对称轴，，
解得：，
又，，
，，
，，
，
解得：.
（2）设边上的高为，所以有，
则
由余弦定理得：
即得：（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），
，
此时边上的高取得最大值.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）连接 ，交于点，即证，利用线面平行的判断定理即可得证；
（2）由线面垂直的判断定理证面，再利用线面垂直的性质定理即可得证；
（3）延长交于，连接，则面，面，又面，面，即证 ，得为与平面所成的角，即可求.
【详解】（1）连接 ，交于点，
可知四边形是平行四边形，可得为 中点，
又是的中点，则，又平面，平面，
所以平面．
（2）根据题意，三棱柱为直三棱柱，则，
又由，则，
，面，面
则有面，又面，所以，
又由，则四边形为正方形，则，
又由，面，面，则有面，
面，则；
（3）延长交于，连接，则面，面，又面，面，
则直线即为直线．由，且，则，
又且，所以且，则四边形为平行四边形，故，故为与平面所成的角．
因为，所以．
即与平面所成的角为．
19．（1）；（2）；（3）.
（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【详解】（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为；
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
记事件甲赢，记事件丙赢，
则甲赢的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲赢的概率为.
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
C
A
C
A
B
AC
AB
题号
11









答案
ACD