广东省广州市白云区八校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含答案）

这是一份广东省广州市白云区八校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含答案），共24页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将学校等内容，欢迎下载使用。
1、本次学情调查分为问卷和答题卷两部分，试题卷全卷三大题共 25 小题，满分 120 分，考试时间为 120
分钟．
2、答卷前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在密封线内，用黑色钢笔、签字笔作答，作图题用
2B 铅笔作答；考试不能使用计算器．
3、所有试题答案都答在答题卷上，答在问卷上不给分，考试结束后，只交答题卷，不交问卷．
第一部分选择题（共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合
题目要求的．）
x  3
要使二次根式
有意义，则 x 的取值范围是（ ）
Ax  3
x  3
x  3
x  3
下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( )
A. 2，3，4
B. 3，4，5
C. 4，5，6
D. 5，6，7
3. 下列计算正确的是（
）
8
2
A. 4
B.C. 2  2
D.
5
3
2
3
3
2
3
6
4. 在▱ABCD 中，∠A=80°，∠B=100°，则∠C 等于（）
A. 60°B. 80°C. 100°D. 120°
矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）
对角相等B. 对角线相等C. 对边相等D. 对角线互相平分
下列条件中，能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）
A. AB ∥CD ， AD  BCB. A  B ， C  D
C. AB  AD ， CB  CDD. AB ∥CD ， AB  CD
如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点 O，点 E 为 BC 的中点，且OE  3cm ，则
AB 的长为（）
3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm
如图，在▱ABCD 中，AB＝BC＝5．对角线 BD＝8，则▱ABCD 的面积为（）
A. 20B. 24C. 40D. 48
如图，点 A 表示的实数是（）
3
A.B.
C.
D.
3
5
5
在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，AD=10．如图所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A′处，折痕为PQ．当点 A′在 BC 边上移动时，折痕的端点 P、Q 也随之移动．若限定点 P、Q 分别在 AB、AD 边上移动，则点 A′在 BC 边上可移动的最大距离为（ ）
A. 8cmB. 6cmC. 4cmD. 2cm
二、填空题（本大题共 6 小题，每小趍 3 分，满分 18 分．）
(5)2
计算：
．
如图，在ABC 中， C  90, D 为 AB 的中点， AB  6 ，则CD 的长是．
如图，在Y ABCD 中， DE 平分ÐADC ， AD  6 ， BE  2 ，则Y ABCD 的周长是
28n
若是整数，则正整数 n的最小值为．
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点
D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是．
如图， 在正方形 ABCD 中， E 是对角线 BD 上一点， 且满足 BE  BC ，连接CE 并延长交 AD 于点 F，连接 AE ， 过 B 点作 BG  AE 于点 G， 延长 BG 交 AD 于点 H． 在下列结论中∶ ①
AH  DF ； ② AEF  45 ； ③S四边形EFHG  S DEF  S AGH
； ④ AED≌CED 其中正确的结论有
(填正确的序号)．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程、或演算步骤．）
计算
 18 =．
24
1
3
如图，在Y ABCD 中，点 E、F 分别在 AD 、 BC 上，且 AE  CF ．求证：四边形 BFDE 是平行四边形．
如图四边形 ABCD 中， ABC  90, AB  3, BC  4, CD  12, AD  13 ，求四边形 ABCD 的面积．
7
7
已知 a  2 ， b  2 ，求下列各式的值．
（1） a2  2ab  b2 ．
（2） a2  b2 ．
如图，在离水面高度为 8 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 17 米，此人以 1 米
/秒的速度收绳，7 秒后船移动到点 D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）
如图，已知 E 为长方形纸片 ABCD 的边 CD 上一点，将纸片沿 AE 对折，点 D 的对应点 D¢恰好在线段
BE 上． 若 AD=3，DE=1．
求证：AB=BE；
求 AB 的长．
如图，在平行四边形 ABCD 中：
尺规作图：作 BC 的垂直平分线 EF，交 BC 于点 E，交 AD 与点 F；（不写作法，保留作图痕迹）
连接 DE 并延长交 AB 的延长线于点 G，求证：AG＝2BG．
如图， 在 Rt△ABC 中， ACB  90 ， 过点 C 的直线 MN∥AB ， D 为 AB 边上一点， 过点 D 作
DE  BC ，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接CD 、 BE ．
求证： CE  AD ；
当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；
若 D 为 AB 中点，则当ÐA 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由．
如图，在正方形OABC 中，边OA 、OC 分别在 x 轴、 y 轴上，点 B 的坐标为4, 4 ，点 D 在线段OA
上，以点 D 为直角顶点， BD 为直角边作等腰直角三角形 BDE ， BE 交 y 轴于点 F ．
当 AD  1 时，则点 E 坐标为；
连接 DF ，当点 D 在线段OA 上运动时， △ODF 的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变， 求出其周长；
连接CE ，当点 D 在线段OA 上运动时，求CE 的最小值．
2023 学年第二学期期中调研八年级数学
注意事项：
1、本次学情调查分为问卷和答题卷两部分，试题卷全卷三大题共 25 小题，满分 120 分，考试时间为 120
分钟．
2、答卷前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在密封线内，用黑色钢笔、签字笔作答，作图题用
2B 铅笔作答；考试不能使用计算器．
3、所有试题答案都答在答题卷上，答在问卷上不给分，考试结束后，只交答题卷，不交问卷．
第一部分选择题（共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合
题目要求的．）
x  3
要使二次根式
有意义，则 x 的取值范围是（ ）
x  3
x  3
x  3
x  3
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得，
x  3  0 ，
解得： x  3 ， 故选： B ．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( )
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 4，5，6D. 5，6，7
【答案】B
【解析】
【分析】当一个三角形中的三边满足较小两边的平方和等于最大边的平方，则这个三角形就是直角三角形．
【详解】解： 22  32  42 ，∴A 选项不符合题意；
∵ 32  42  52 ，∴B 选项符合题意；
∵ 42  52  62 ，∴C 选项不符合题意；
∵ 52  62  72 ，∴D 选项不符合题意； 故选 B
下列计算正确的是（）
8
2
A. 4
B.C. 2  2
D.
5
3
2
3
3
2
3
6
【答案】D
【解析】
2
4
【分析】根据合并同类二次根式，以及二次根式的乘除法法则逐项分析即可．
8
【详解】解：A．
 2 ，故不正确；
5
3
B．与
不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
3
C．2 与
不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
2
3
6
D．，正确；
故选 D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握合并同类二次根式，以及二次根式的乘除法法则是解答本题的关键．
4. 在▱ABCD 中，∠A=80°，∠B=100°，则∠C 等于（）
A. 60°B. 80°C. 100°D. 120°
【答案】B
【解析】
【详解】解：因为平行四边形的对角相等，所以∠C＝∠A＝80°. 故选 B
矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）
对角相等B. 对角线相等C. 对边相等D. 对角线互相平分
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形和菱形的性质判断即可.
【详解】解：矩形具有对角相等、对角线相等、对边相等与对角线互相平分的性质，而菱形具有对角相等、对边相等与对角线互相平分的性质，但不一定有对角线相等的性质；
故选：B.
【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，明确矩形的对角线相等是解题的关键.
下列条件中，能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）
A. AB ∥CD ， AD  BCB. A  B ， C  D
AB  AD ， CB  CD
【答案】D
【解析】
AB ∥CD ， AB  CD
【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、不能判断四边形 ABCD 是平行四边形，本选项不符合题意；
B、不能判断四边形 ABCD 是平行四边形，本选项不符合题意；
C、不能判断四边形 ABCD 是平行四边形，本选项不符合题意；
D、由对边平行且相等，能判断四边形 ABCD 是平行四边形，本选项符合题意； 故选：D
如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点 O，点 E 为 BC 的中点，且OE  3cm ，则
AB 的长为（）
3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm
【答案】B
【解析】
【分析】因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以OA  OC ；又因为点 E 是 BC 的中点，所以OE 是
ABC 的中位线，由OE  3cm ，即可求得 AB  6cm ．
【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA  OC ；
又∵点 E 是 BC 的中点，
∴ OE 是ABC 的中位线，
∴ AB  2OE  2  3  6 （cm）；故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质： 三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
如图，在▱ABCD 中，AB＝BC＝5．对角线 BD＝8，则▱ABCD 的面积为（）
A. 20B. 24C. 40D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】连接 AC 交 BD 于O ，判定四边形 ABCD 是菱形，即可得出 AC ^BD ，再根据勾股定理即可得
到 AO 的长，最后利用菱形 ABCD 的面积为 1 BD  AC 进行计算即可．
2
【详解】解：如图所示，连接 AC 交 BD 于O ， 在Y ABCD 中， AB  BC  5 ，
四边形 ABCD 是菱形，
 AC  BD ，
又 对角线 BD  8 ，
 BO  4 ，
AB2  BO2
在 Rt AOB 中， AO 
 3 ，
52  42
\ AC = 2 AO = 6 ，
菱形 ABCD 的面积为 1 BD  AC  1  8  6  24 ．
22
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，解题的关键要注意：有一组邻边相等的平
行四边形是菱形．
如图，点 A 表示的实数是（）
3
A.B.
C.
D.
3
5
5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．根据勾股定理可求得OA 的
5
长为，再根据点 A 在原点的左侧，从而得出点 A 所表示的数．
【详解】解：如图，
22 12
∵ OB 
， OA  OB ，
5
5
∴ OA ，
∵点 A 在原点的左侧，
5
∴点 A 在数轴上表示的实数是，故 C 正确． 故选：C．
在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，AD=10．如图所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A′处，折痕为
PQ．当点 A′在 BC 边上移动时，折痕的端点 P、Q 也随之移动．若限定点 P、Q 分别在 AB、AD 边上移动，则点 A′在 BC 边上可移动的最大距离为（）
A. 8cmB. 6cmC. 4cmD. 2cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据翻折的性质，可得 BA′与 AP 的关系，根据线段的和差，可得 A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：①当 P 与 B 重合时，BA′=BA=6，
CA′=BC﹣BA′=10﹣6=4cm，
②当 Q 与 D 重合时，由勾股定理，得
A'D2  CD2
CA′==8cm，
CA′最远是 8，CA′最近是 4，点 A′在 BC 边上可移动的最大距离为 8﹣4=4cm， 故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小趍 3 分，满分 18 分．）
(5)2
计算：
【答案】5
【解析】
．
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的相关知识．
(5)2
25
【详解】解： 故答案为： 5 ．
 5 ，
如图，在ABC 中， C  90, D 为 AB 的中点， AB  6 ，则CD 的长是．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查的是直角三角形的性质,掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：∵ ACB  90 ，D 是AB 中点， AB  6 ，
∴ CD  1 AB  1  6  3 22
故答案为：3．
如图，在Y ABCD 中， DE 平分ÐADC ， AD  6 ， BE  2 ，则Y ABCD 的周长是
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出
CDE  CED ，再根据等角对等边的性质可得CE  CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC
的长度，再求出Y ABCD 的周长．
【详解】解： DE 平分ÐADC ，
ADE  CDE ，
 ABCD 中， AD∥BC ，
ADE  CED ，
CDE  CED ，
CE  CD ，
在Y ABCD 中， AD  6 ， BE  2 ，
 AD  BC  6 ，
CE  BC  BE  6  2  4 ，
CD  AB  4 ，
 ABCD 的周长 6  6  4  4  20 ． 故答案为：20
28n
若是整数，则正整数 n 的最小值为．
【答案】7
【解析】
7n
28n
【分析】根据题意可得7n 是完全平方数，即可求解．
28n
【详解】解∶∵
 2，且
是整数，
7n
∴ 2是整数，即7n 是完全平方数，
∴ n  7 ，
即正整数 n 的最小值为 7． 故答案为：7
【点睛】主要考查了算术平方根，解题的关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点
D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是．
【答案】（5，4）
【解析】
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出 DO 的长，进而求出 C 点坐标．
【详解】解：∵菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点 D 在 y 轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点 C 的坐标是：（5，4）．故答案为：（5，4）．
如图， 在正方形 ABCD 中， E 是对角线 BD 上一点， 且满足 BE  BC ，连接CE 并延长交 AD 于点 F，连接 AE ， 过 B 点作 BG  AE 于点 G， 延长 BG 交 AD 于点 H． 在下列结论中∶ ①
AH  DF ； ② AEF  45 ； ③S四边形EFHG  S DEF  S AGH
； ④ AED≌CED 其中正确的结论有
(填正确的序号)．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性
质，三角形内角和等知识，先由 AED ≌CED 判断④正确，得出DCE  DAE  ABH ，从而证明 ABH≌DCF ，得出①正确；根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出BEA  BEC  67.5
即可求出AEF  45 ，得出②正确；连接 EH ，判断 S△EFH  S△EFD 得出③不正确．
【详解】解：∵ BD 是正方形 ABCD 的对角线，
∴ ABE  ADE  CBD  CDB  45 ， AB  BC  CD  AD ，
在V ADE 和CDE 中，

 AD  CD

∵ ADE  CDE ，

DE  DE
∴ AED ≌CED ，
故④正确；
∴ DCE  DAE ，
∵ BG  AE ，
∴ DAE  AHB  90 ，
∵ ABH  AHB  90 ，
∴ ABH  DAE  DCE ， 在 ABH 和DCF 中，
ABH  DCF

∵  AB  CD，

BAH  CDF
∴ ABH≌DCF ，
∴ AH  DF ，
故①正确；
∵ BE  BC ， AB  BC ，
∴ AB  BC  BE ，
∵ ABE  CBD  45 ，
∴ BAE  BEA  BEC  BCE  67.5 ，
∴ AEF  180  AEB  BEC  45 ， 故②正确；
连接 EH ，
∵ AB  BE ， BG  AE ，
∴ AG  GE ， BH 是线段 AE 的垂直平分线，
∴ AH  HE ， S△ AGH  S△EGH ，
∵ AH  DF ，
∴ HE  DF ，
∵ AD ∥ BC ，
∴ DFE  BCE ，
∵ BCE  BEC  DEF ，
∴ DFE  DEF ，
∴ DF  DE ，
∴ HE  DE ，
∴△HED 是等腰三角形，
∵ EF 不垂直 DH ，
∴ HF  DF ，
∴ S△EFH  S△EFD ，
∴ S四边形EFHG  S EFH  S EGH  S DEF  S AGH， 故③不正确；
故答案是①②④．
24
1
3
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程、或演算步骤．）
17 计算
 18 =．
6
【答案】
【解析】
24
6
【分析】化简第一个二次根式，计算后边的两个二次根式的积，然后合并同类二次根式即可求解：
【详解】解：
 18 
1 =2
6
3
 6 =．
6
故答案为：．
如图，在Y ABCD 中，点 E、F 分别在 AD 、 BC 上，且 AE  CF ．求证：四边形 BFDE 是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
由四边形 ABCD 是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得 AD  BC ， AD  BC ，又由AE  CF ，即可证得 DE  BF ，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形 BFDE 是平行四边形．
【详解】∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD  BC, AD ∥ BC
∵ AE  CF ，
∴ AD  AE  BC  CF ，即 DE  BF ．
∴ AD ∥ BC 且 DE  BF ．
∴四边形 BFDE 是平行四边形
如图四边形 ABCD 中， ABC  90, AB  3, BC  4, CD  12, AD  13 ，求四边形 ABCD 的面积．
【答案】36
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．根据勾股定理可求得 AC 的长，再根据勾股定理逆定理可求得 ACD 为直角三角形，ÐACD=90 ，即可求得结果．
【详解】解：∵ÐB = 90° ，
∴ ABC 为直角三角形， 又∵ AB  3, BC  4 ，
∴根据勾股定理得：
AC =
= 5 ，
AB2 + BC 2
又∵ CD  12, AD  13 ，
∴ AD2  132  169,CD2  AC2  122  52  144  25  169 ，
∴ CD2  AC 2  AD2 ，
∴ ACD 为直角三角形，ÐACD=90 ，
∴ S四边形ABCD
 S ABC
S ACD
 1 AB  BC  1 AC  CD  1  3  4  1  5 12  36 ． 2222
即四边形 ABCD 的面积是 36．
7
7
已知 a  2 ， b  2 ，求下列各式的值．
（1） a2  2ab  b2 ．
（2） a2  b2 ．
【答案】（1）16
7
（2） 8
【解析】
【分析】（1）直接利用已知得出 a  b ， a  b 的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
（2）结合平方差公式计算得出答案．
【小问 1 详解】
7
7
解：∵ a  2 ， b  2 ，
7
7
7
7
∴ a  b  2  2  2，
7
a  b  
 2 
 2  4 ，
∴ a2  2ab  b2
 a  b2
 42
 16 ；
【小问 2 详解】
a2  b2
 a  ba  b
 2 7  4
7
 8．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．正确运用乘法公式进行因式分解是解题关键．
如图，在离水面高度为 8 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 17 米，此人以 1 米
/秒的速度收绳，7 秒后船移动到点 D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）
【答案】船向岸边移动了 9 米
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在Rt△ABC 中，利用勾股定理计算出 AB 长，再根据题意可得
CD 长，然后再次利用勾股定理计算出 AD 长，再利用 BD  AB  AD 可得 BD 长．
【详解】解：在Rt△ABC 中：
CAB  90 ， BC  17 米， AC  8 米，
BC 2  AC 2
 AB 
 15 （米），
 此人以 1 米每秒的速度收绳，7 秒后船移动到点 D 的位置，
CD  17  1 7  10 （米），
CD2  AC 2
 AD 
 6 （米），
100  64
 BD  AB  AD  15  6  9 （米），答：船向岸边移动了 9 米．
如图，已知 E 为长方形纸片 ABCD 的边 CD 上一点，将纸片沿 AE 对折，点 D 的对应点 D¢恰好在线段
BE 上． 若 AD=3，DE=1．
求证：AB=BE；
求 AB 的长．
【答案】（1）见解析（2）5
【解析】
【分析】（1）由折叠可知：∠DEA＝∠ D¢EA，根据四边形 ABCD 是长方形，可得∠DEA＝∠EAB，即有
∠ D¢EA＝∠EAB，AB＝BE；
（2）由折叠可知：∠E D¢A＝∠D＝90°，A D¢＝AD＝3，DE＝ D¢E＝1，在 Rt△A D¢B 中，设 AB＝x， 则 BE＝x， D¢B＝x−1，可得 32＋（x−1）2＝x2，即可解得 AB 的长是 5．
【小问 1 详解】
证明：由折叠可知： DEA  DEA ，
∵四边形 ABCD 是长方形，
∴DC // AB，
∴∠DEA=∠EAB，
∴ DEA  EAB ，
∴AB=BE，
【小问 2 详解】
解：∵ 四边形 ABCD 是长方形，
∴∠D=90°
由折叠可知： EDA  D  90 ，
AD  AD  3 ，
DE  DE  1
∴ ADB  90 ，
在 Rt△ADB 中，设 AB= x ，则 BE= x ， 由勾股定理得： 32   x 12  x2 ，
解得 x  5 ．
DB  x 1，
【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理列方程．
如图，在平行四边形 ABCD 中：
尺规作图：作 BC 的垂直平分线 EF，交 BC 于点 E，交 AD 与点 F；（不写作法，保留作图痕迹）
连接 DE 并延长交 AB 的延长线于点 G，求证：AG＝2BG．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本作图作 BC 的垂直平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质得到 AB＝CD，AB // CD，再证明 BEG≌ CED 得到 BG＝CD，从而得到结论．
【详解】（1）解：如图，EF 为所作；
（2）证明：∵EF 垂直平分 BC，
∴BE＝CE，
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB＝CD，AB // CD，
∴∠G＝∠CDE，
在 BEG 和 CED 中，
 G  CDE

BEG  CED ，

BE  CE
∴ BEG≌ CED（AAS），
∴BG＝CD，
∴BG＝AB，
∴AG＝2BG．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图（作线段的垂直平分线）是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．
如图， 在 Rt△ABC 中， ACB  90 ， 过点 C 的直线 MN∥AB ， D 为 AB 边上一点， 过点 D 作
DE  BC ，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接CD 、 BE ．
求证： CE  AD ；
当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；
若 D 为 AB 中点，则当ÐA 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由．
【答案】（1）见解析（2）菱形，理由见解析
（3）∠A  45 °，理由见解析
【解析】
【分析】（1）结合 MN∥AB 再证明 AC∥DE ，即可求证四边形 ADEC 是平行四边形；
（ 2 ）证明CD  BD  1 AB ，即可求证四边形 BECD 是菱形；
2
（ 3 ）当A  45 时，四边形 BECD 是正方形．证明CDB  90 即可求证．
【小问 1 详解】
证明：DE  BC ，
DFB  90 ，
ACB  90 ，
ACB  DFB ，
 AC ∥ DE ，
 MN  AB ，即CE∥AD ，
四边形 ADEC 是平行四边形，
CE  AD ；
【小问 2 详解】
四边形 BECD 是菱形，理由是：
 D 为 AB 中点，
 AD  BD ，
CE  AD ，
 BD  CE ，
 BD ∥CE ，
四边形 BECD 是平行四边形，
ACB  90 ，D 为 AB 中点，
CD  BD ，
平行四边形 BECD 是菱形；
【小问 3 详解】
当A  45 时，四边形 BECD 是正方形，理由是：
ACB  90 ， A  45 ，
ABC  A  45 ，
 AC  BC ，
 D 为 BA 中点，
CD  AB ，
CDB  90 ，
 四边形 BECD 是菱形，
菱形 BECD 是正方形，
即当A  45 时，四边形 BECD 是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判定， 等腰三角形的性质，正方形的判定，掌握以上定理是解题的关键．
如图，在正方形OABC 中，边OA 、OC 分别在 x 轴、 y 轴上，点 B 的坐标为4, 4 ，点 D 在线段OA
上，以点 D 为直角顶点， BD 为直角边作等腰直角三角形 BDE ， BE 交 y 轴于点 F ．
当 AD  1 时，则点 E 坐标为；
连接 DF ，当点 D 在线段OA 上运动时， △ODF 的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变， 求出其周长；
连接CE ，当点 D 在线段OA 上运动时，求CE 的最小值．
2
【答案】（1） (1,1) ；（2）不变，8；（3） 2
【解析】
【分析】（1）如图，过点 E 作 EH  x 轴于 H ．证明EDH  DBA( AAS ) ，推出 DH  AB ，
EH  AD  1 ，可得结论．
结论： ODF 的周长不变．想办法证明 DF  CF  AD 即可．
由（1）可知， OE  OH  1 ，推出EOH  COE  45 ，推出点 E 的运动轨迹是射线OE ，过点C
作CT  OE 于T ，当点 E 与点T 重合时， EC 的值最小．
【详解】解：（1）如图，过点 E 作 EH  x 轴于 H ．
 四边形OABC 是正方形， B(4, 4) ，
OA  AB  4 ， BAD  90 ，
∵ BDE 是等腰直角三角形，
 DE  DB ， EDB  EHD  BAD  90 ，
EDH  BDA  90 ， BDA  ABD  90 ，
EDH  ABD ，
EDH  DBA( AAS ) ，
 DH  AB ， EH  AD  1 ，
OA  AB ，
 DH  OA ，
OH  DA  1 ，
 E(1,1) ．
故答案为： (1,1) ．
结论： ODF 的周长不变．
理由：将BCF 绕点 B 逆时针旋转90 得到BAJ ．
CBF  ABJ ，
CBA  FBJ  90 ，
QEBD  45 ，
DBF  DBJ  45 ，
 DB  DB ， BF  BJ ，
DBF  DBJ (SAS ) ，
 DF  DJ ，
 DJ  DA  AJ ， CF  AJ ，
 DF  CF  AD ，
ODF 的周长 OF  DF  OD  OF  CF  OD  AD  OC  OA  8 ．
由（1）可知， HE  OH ，
EOH  COE  45 ，
点 E 的运动轨迹是射线OE ，
过点C 作CT  OE 于T ，当点 E 与点T 重合时， EC 的值最小，
最小值CT 
2 OC  2，
2
2
2
 EC 的最小值为2．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴 题．