湖北云学联盟2025-2026学年高三下学期2月阶段训练数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置．
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效．
4.考试结束后，请将答题卡上交．
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的定义域化简集合 ，解不等式化简集合 ，再利用交集的定义求解.
【详解】依题意， 且 ， ，
所以 .
故选：C
2. 若复数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】复数 对应的点 的轨迹为 为圆心，半径 的圆，设 为坐标原点，求得 ，
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可求 的最大值.
【详解】设 ，由 ，可得 ，
所以复数 对应的点 的轨迹为 为圆心，半径 的圆，
设 为坐标原点，可得 ，所以 的最大值为 .
故选：C.
3. 若点 在圆 外，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. （－10，6） C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可.
【详解】点 在圆 外，即点到圆心的距离大于半径.
将圆方程化为标准形式得 ，圆心为 ，点 P 到圆心距离为 4，
故有 ，解得 ;
故选：B
4. 已知命题：“记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 为定值”为真命题，则可推
出 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，用 表示 即可
【详解】设 ，则 可化为 ，
整理得， ，即 ，
又 ，代入 得
若 为定值，则 ，即
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故选：A
5. 已知函数 及其导函数 定义域均为 ，则“ 图象关于 中心对称”是“ 图象关于
直线 轴对称”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用中心对称、轴对称的意义及复合函数求导法则，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由函数 图象关于 中心对称，得 ，求导得 ，
即 ，因此函数 图象关于直线 轴对称；
令函数 ，则 ，函数 图象关于直线 轴对称，
而函数 的图象是由函数 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位而得，
又函数 的图象关于点 中心对称，因此函数 图象关于 中心对称，
所以“ 图象关于 中心对称”是“ 图象关于直线 轴对称”的充分不必要条件.
故选：A
6. 记函数 ，其中 ，若 在 恰有两个零点，且 ，则函数
在 上的单调增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据零点个数得 ，再根据 ，结合三角函数的图象与性质，求得
， 或 ， ，从而得到 ，再根据三角函数在指定区间上的单调性得到答
案.
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【详解】因为函数 ，其中 ，若 在 恰有两个零点，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，即 ，
所以 或 ，
解得 ， 或 ， ，
结合 ，所以 符合题意，
所以 ，
又因为当 ，， ，即
所以 的单调增区间为
函数 在 上的单调增区间为 ，
故选：D.
7. 在三棱柱 中， ，点 在平面 的射影为点 ，
若点 在平面 上运动，则线段 长度的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】 的最小值即为点 到平面 的距离 h，利用 求解.
【详解】依题意， 的最小值即为点 到平面 的距离 h，
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因为 平面 ， 平面 ，故 ，
因为 ， ， ；
由余弦定理， ，
故 ，所以 ；
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
则 ， ，
又 ，故 为等边三角形，则 ，
故 ，
而 ，故 ．
故选：B.
8. 已知函数 的定义域是 ， 是 的导数． ，对 ，有
（ 是自然对数的底数）．不等式 的解集是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：因为 ，
令 ，则 ，令
，则 ，当 时， ，当 时， ，所
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以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以 ，
所以 ，所以函数 在区间 上单调递减，又 ，所以不等
式 ，即原不等式的解集为 ，故选 B.
考点：1.导数与单调性；2.函数与不等式.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分，每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 在某次联考中，全体物理方向高三学生数学成绩 ，此次联考物理方向数学一本线为 80
分，清北线为 140 分．已知：若 ，则 ，则下列说
法正确的是（ ）
A. 若随机变量 ，则 服从标准正态分布
B.
C. 从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为
D. 从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为
【答案】BCD
【解析】
【分析】借助正态分布中 的意义与标准正态分布的意义可判断 A；利用正态分布的性质计算即可得
的 值 可 判 断 B； 由 正 态 分 布 的 性 质 可 得 ，
，结合相互独立事件的概率公式及条件概率公式计算即可判断 CD.
【详解】对于 A，因为 ，则 ，
若随机变量 ，则 服从标准正态分布 ，
故 时， 才服从标准正态分布，故 A 错误；
对于 B， ，
，
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由正态分布的对称性可得 ，
所以 ，故 B 正确；
对于 C，由 ，
可得 ，
所以从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为：
，故 C 正确；
对于 D，由 ，可得 ，
所以 ，
又 ，所以由条件概率公式可得 ，
所以从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为 ，故
D 正确.
故选：BCD.
10. 已知抛物线 的焦点 ，直线 与抛物线交于 两点.分别作抛物线在 两点处的切
线，两切线交于点 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 过焦点 ，则 最小值为 4
B. 若 过焦点 ，则 一定为直角三角形
C. 若 中点 的横坐标为 4，则 最大值为 12
D. 若点 在直线 上，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】设出直线 方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求解判断 A；求出切线 方程并求出
切点坐标，利用向量垂直的坐标表示判断 BD；利用抛物线定义求出弦长最大值判断 C.
【详解】抛物线 的焦点 ，设 ，
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对于 A，直线 方程为 ，由 ，得 ，则 ，
，当且仅当 时取等号，A 正确；
对于 B，设抛物线 在点 处切线方程为 ，由 ，
得 ，则 ，解得 ，
该切线方程为 ，即 ，同理抛物线 在点 处切线方程为
，联立得点 ， ，
，因此 ， 为直角三角形，B 正确；
对于 C，由 中点 的横坐标为 4，得 ，则 ，
当且仅当点 共线时取等号，C 错误；
对于 D，由点 在直线 上，得 ，即 ，而 ，
，因此 ，D 正确.
故选：ABD
11. 若数列 满足： ，则称数列
为有限稳定数列，记 为数列 前 项和，下列结论正确的是（ ）
A. 首项为 1，公比为 的等比数列是有限稳定数列
B. 若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为（0，1）
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C. 若数列 满足 ，则数列 是有限稳定数列
D. 若数列 是有限稳定数列，则数列 是有限稳定数列
【答案】AD
【解析】
【分析】对 A，列出该数列相邻两项差绝对值和式子观察即可；对 B，找出该等比数列公比为 1 时，也满足
有限稳定数列条件，排除即可；对 C，取 ，计算该数列是否是有限稳定数列；对 D，数列
是有限稳定数列，则 有界，根据 证明即可.
【详解】对 A，设 ，
则相邻两项差的绝对值 ，
设 ，
则 ，故该数列是有限稳定数列，A 对；
对 B，若该等比数列公比为 1，则相邻两项差为 0，是有限稳定数列，
因此公比的取值范围应为 ，故 B 错；
对 C，取 ，满足 ，
但相邻两项差绝对值和 ，随 n 增大趋向于无穷大，无界，
因此该数列不是有限稳定数列，C 错；
对 D， 若数列 是有限稳定数列， 有界，进而 有界，
而 ，
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所以 有界，即数列 是有限稳定数列，D 对.
故选：AD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12. 已知平面向量 ，若 ，则 _____．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算求参数，进而分类求解即可.
【详解】根据题意 ，又 ，则 ，
所以 ，解得 或 .
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 .
故答案为： 或 .
13. 已知直线 与函数 的图象相切，则实数 _____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设函数 在点 处的切线为 ，根据导数的几何意义列式计算
可求得 .
【详解】设函数 在点 处的切线为 ，
函数 的定义域为 .
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，解得 （舍去）或 .
又 ，所以切点为 ，
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又切点在直线 上，所以 ，解得 .
故答案为： .
14. 已知 是双曲线 上不同的三点，点 关于坐标原点对称，且
，过点 作垂直于 轴的直线分别交双曲线 ，直线 于 两点，若
，则双曲线 的离心率为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】由双曲线第三定义得 ，分别找到直线 斜率计算即可
【详解】设 ， ，由题意得 ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，即 ，两边平方并整理得 ，
即 ，所以 ，
由双曲线第三定义得 ，
即 ，整理得 ，
解得
故答案为：2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图， 是圆 的直径， 垂直于圆 所在平面， 是圆周上不同于 ， 的任意一点， 为
的中点，且 ，
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（1）求证：平面 平面 ；
（2）若三棱锥 的外接球球心为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用已知可证得 平面 ，可得 ，进而可证 平面 ，可证结论；
（2）由（1）可得球心 为 的中点，以 为坐标原点， 所在直线为 轴，过 作 的平
行线为 轴建立空间直角坐标系，求得平面 的一个法向量与平面 的一个法向量，利用向量法可
求得平面 与平面 夹角的余弦值．
【小问 1 详解】
因为 是圆 的直径，所以 ，所以 ，
因为 垂直于圆 所在平面， 在圆 所在平面内，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以 ，
又因为 ， 为 的中点，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
【小问 2 详解】
由（1）知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
所以 与 是有公共斜边 的直角三角形，
所以 是三棱锥 的外接球的直径，所以球心 为 的中点，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴，过 作 的平行线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 ，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
，令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
因为平面 即为平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 所成的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
16. 已知 分别是锐角 三个内角 的对边，且 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 面积的取值范围．
【答案】（1） ，
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（2）
【解析】
分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出 ，再由已知条件结合正弦定理求得 ；
（2）先根据正弦定理求出 的关系式，然后根据 的范围求出 的范围，最后利用三角形面积公式即可
求得其面积的范围.
【小问 1 详解】
在锐角 中，由正弦定理得 ，
又 ，
∵ ，
所以 ，
则 ，
在锐角 中， ，
，即 .
，
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
由正弦定理： ，得
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因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故 面积的取值范围为 ．
17. 在篮球训练场上，教练甲指导三名学员 进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲
开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员 其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概
率为 ，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递．
（1）若四人进行了 4 次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望；
（2）设 表示经过 次传球后篮球在 手中的概率，求 ．
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）设教练甲接球次数为 ， 可取 ，再求出 、 的概率，根据
得到 的概率，写出分布列并计算期望即可；
（2）设 表示经过 次传球后篮球在教练甲手中的概率，则 ，即
，进而得到 ，再由传给学员 的概率相等，即可得到
．
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小问 1 详解】
设教练甲接球次数为 ， 可取 ，
球在学员手中，传给教练甲的概率为 ，传给其他学员的概率为 ，
，
，
分布列为：
0 1 2
数学期望 ；
【小问 2 详解】
设 表示经过 次传球后篮球在教练甲手中的概率，
，
且 ，
即 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，即 ，
又传给学员 的概率相等，
．
18. 在平面直角坐标系 中，椭圆 的左顶点为 ，焦距为 ，且离心率为
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．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于 两点．
（ⅰ）若 中点为 ，点 是椭圆 上的动点，且满足： ，证明 的面积为定值；
（ⅱ）若点 为 的外心，且 在直线 上，求点 到直线 的距离的最大值．
【答案】（1） ；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出 即可.
（2）（ⅰ）当直线 的斜率不为 0 时，设其方程为 ，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出
的面积关系式，再由已知结合三角形重心定理求得 ，进而求出 的面积，然后求出直线
的斜率为 0 的三角形面积即可；由（ⅰ）求出点 的横坐标，进而得到 及 范围，再利用点到
直线距离公式，结合函数单调性求出最大值.
【小问 1 详解】
依题意，椭圆 的半焦距 ，
由椭圆 的离心率为 ，得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）设点 ，当直线 的斜率不为 0 时，设其方程为 ，
由 ，得 ，
， ，
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，
原点 到直线 的距离 ， ，
由 中点为 ， ，得点 是 的重心，则点 ，
由点 在椭圆 上，得 ，又 ，
则 ，即 ，
整理得 ，即 ，则 ，
因此 的面积 ，
当直线 的斜率为 0 时，点 或 ，直线 的方程为 或 ，
线段 ，点 到直线 的距离为 ， ，
所以 的面积 为定值.
（ⅱ）当直线 的斜率为 0 时，线段 的中垂线为 轴，不符合题意，点 ，
由（ⅰ）得线段 的中点 ， 的中点 ， ，
线段 的中垂线方程为 ，即 ，
同理线段 的中垂线方程为 ，
，
由 的外心 在直线 上，得 ，解得 ，
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而 ，则 ，解得 或 ，
因此点 到直线 的距离为 ，
令 ，当 时， 在 上递减，
则当 ，即 时， ， ；当 时，
在 上递增， ，又 ，因此 ，
所以点 到直线 的距离的最大值 2.
19. 已知函数 ，
（1）求 的最小值；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若 且 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求函数 的定义域及导数 ，然后讨论函数的单调性，即可得到 的最小值.
（2）先根据题意构造函数 ，对其求导后，根据实数 的不用取值进行分
类验证，即可得到实数 的取值范围.
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（3）先根据 得到关于 的方程，然后根据得到的方程将要证明的不等式转
化为单变量不等式，再利用导数分析单调性即可证明.
【小问 1 详解】
已知 ，对其求导可得 ，
令 ，解得 .
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极小值
所以 ，
故 的最小值为 .
【小问 2 详解】
设 ，
则 .
令 ，则 .
（i）当 时，因为 ，则 ， ，
所以 在 上恒成立；
（ii）当 时， ，所以 在 上递增，
所以 ，所以 上递增，
所以 在 上恒成立；
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（iii）当 时， ，所以 在 上递增，
因为 ， ，
所以 在 上存在唯一零点 ， ，
所以当 时， ，则当 时， ，不满足条件.
综上所述，实数 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
证明：由 得 ，则 .
要证 ，可证 ，
即证 .
令 ，即证 ，
即证 .
先证明 ，
令 ，则只需证明 ，
又易证 ，
所以
，
所以 在 上单调递减，则 ，
即
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再证明 ，
令 ，则只需证明
因为 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
即 .
综上所述， .