福建厦门第一中学2026届高三下数学限时训练数学试卷含解析（word版+pdf版）

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数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合，.若，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由条件 ，可知 ：，又由 ， ， 得：.
2. 已知复数，则的虚部是
A．1B．C．5D．
【答案】A
【解析】由复数可得，所以其虚部为1.
3.若向量满足，则向量夹角的大小为
A．B．.C．D．
【答案】D
【解析】由两边取平方，，
设向量夹角为，则有，则，
因，故 .
4.已知函数，正数，满足，则的最大值为
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【解析】由题意，，
则，
所以函数为奇函数.
又，
所以在上单调递减.
又当时，，则，
当时，，则，
因为，则，
又知，则，
所以，
又在上单调递减.
所以，
即，
所以，当且仅当时，取等号，
即的最大值为4，
所以的最大值为2.
5.为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】根据诱导公式 ，所以为了得到的图象，只需将函数的图象向左平移个单位，即得到.
6.某种肉鸡出栏时平均重量可达3.5千克，在没有人工干预的情况下自然繁殖，其出栏时的平均重量会一代不如一代，最后跟普通肉鸡差别不大.某实验室为了得到这种肉鸡自然繁殖后前一代与后一代的平均重量间的关系，将此种肉鸡视为第1代且又繁殖了10代.最后得到前一代平均重量（千克）与后一代平均重量（千克）之间的线性回归方程.已知第2代至第10代的平均重量之和为20千克，则第11代的平均重量为
A．2.4千克B．2.1千克C．1.8千克D．1.5千克
【答案】C
【解析】设第1代至第11代的平均重量分别为，易知；
又，前一代平均重量，
后一代平均重量，
将代入回归方程可得，
解得.
7.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不等式 ，
可化为，
当，有 ，
因此原不等式恒成立等价于对任意恒成立，
因为，所以对任意恒成立，
设 ，则需 .
，
故 在 上单调递增， ，
因此，.
8.已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与其中一条渐近线垂直且垂足为.当面积最大时，双曲线的离心率为
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】易知，不妨取渐近线为，如下图：
因此可得到渐近线的距离为，
又易知，可得，
由可得；
又易知，即，所以；
因此可得，即，所以；
因为的面积为的面积的两倍，易知；
当且仅当时，的面积最大，也即的面积最大，
此时离心率为.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知点（，）与点（，）关于点对称，若的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则满足
A．，，，…，的方差为
B．，，，…，的极差为
C．，，，…，的平均数为
D．，，，…，的中位数为s
【答案】BC
【解析】由题意得，，则，
若的平均数为，中位数为，方差为，极差为，
则的平均数为，中位数为，方差为，极差为，
故，，，…，的方差为，极差为，故A错误，B正确；
，，，…，的平均数为，中位数为，故C正确，D错误.
10.正方体的棱长为为中点，为侧面内一动点，且平面，则
A．平面B．动点的轨迹长为
C．有且仅有一点，使得D．三棱锥外接球半径的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，所以，
即与不垂直，又平面，所以不垂直平面，故A错误；
对于B：如图分别取的中点H，G，连接，
由正方体的性质可得，平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
且，平面，所以平面平面，
而平面，所以平面，
又为侧面内一动点，所以点的轨迹为线段，
又，即动点的轨迹长为，故B正确；
对于C：由B可知，，，，设，
则，
，
若，则，
整理得，解得（舍去）或，
所以有且仅有一点，使得，故C正确；
对于D：依题意与不重合，又平面，
设外接圆的半径为，三棱锥外接球半径为，
则，要使取得最小值，则只需取得最小值，
又，所以当时，
此时，所以三棱锥外接球半径的最小值为，故D正确.
11.在平面直角坐标系中，已知且.若曲线：与曲线：恰好有个不同的交点，则下列说法正确的是
A．所有可能的取值为0，1，2B．若，则
C．若，则交点横坐标之和大于D．若，则
【答案】BCD
【解析】曲线：,即,与曲线：关于对称.
若,设,
则单调递增,
,
,
存在,,
则时,,单调递减,
则时,,单调递增,
且,
则有且仅有2个零点,,B正确;
若，设
则,
设,则,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
,,,
存在,,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
,
,
设,则,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
则,即,,
则,
则存在,使得,
此时,D正确,A错误;
当时, 由于曲线与曲线关于对称,且有唯一解,
则的解成对出现,此时,
当时,的解等价于的解,且在无解
设,则在单调递增,
,
则等价于,即,
当时,有两解,设为,
则
,,
设,,
则,
,
当时,, ,单调递增,
则,
则单调递减,,
则单调递增,,
则,
则,
由于,在单调递减,
则,
则,C正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是________.
【答案】
【解析】 二项式 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，
二项式系数最大值出现在中间项，
当 为偶数时，最大项为第 项，
因此有 ，解得 ，
展开式的通项公式为：
令 ，解得 ，
代入通项，得系数为：
因此，展开式中 的系数为 .
13.已知抛物线：的焦点为，过点作直线的垂线，垂足为，点是抛物线上的动点，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】设，依题意可得，
由（2）得： ，代入到（1）式中得：
，
化简得：，
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆.
抛物线：的准线方程为：，
过点作抛物线准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义，得：；
由圆上的点到定点距离的最值，得，
过点作准线的垂线，交抛物线于，交准线于，
所以.
当三点共线时，上式取等号，
所以的最小值为 .
14.在平面四边形中，，，，，和的面积分别为，，则的最小值为________.
【答案】
【解析】设，，则，，
因为，所以，，
在中，即，所以，
所以，
，
所以
，
因为，所以，所以，
则，
所以当，即，时取得最小值 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列的前项和为，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，若，求满足条件的最大整数 .
【解析】（1）由题意知，
当时，，可得，
即，当时，可得，满足；
所以数列是以为首项，公比的等比数列，
即数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
则，
若，则，
易知随着的增大而增大，
当时，，
当时，，
所以满足条件的最大整数为.
16.如图，三棱锥中，底面，平面平面，.
(1)求证：；
(2)若，当二面角的大小为时，求直线和平面所成角的正弦值.
【解析】（1）因为底面，底面，
所以，，
过作垂足为，因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，平面，
所以.
（2）由（1）可知为直角三角形，在平面内过点作，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，所以，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，取，
设平面的法向量为，则，取，
因为二面角的大小为，所以，
解得或（舍去），所以，
所以，，
设直线和平面所成角为，则，
即直线和平面所成角的正弦值为.
17.青岛文旅为了解天气状况对景点旅游满意度的影响，分别于晴天和阴雨天在栈桥景点共调查了100位游客，调查结果如下表.
(1)完善上述表格，并根据小概率值的独立性检验，能否认为天气状况对该景点旅游满意度有影响；
(2)从这100位游客中任选两人，在两人调查当天的天气状况一致的条件下，试求他们对该景点均满意的概率；
(3)天气多变，文旅部门根据以往数据，为游客发布如下天气信息：若第1天为晴天，则第2天为晴天的概率为，为阴雨天的概率为；若第1天为阴雨天，则第2天为阴雨天的概率为，为晴天的概率为.已知第1天是晴天.求第天仍是晴天的概率，并求前天晴天的天数的期望.
附录：，.
【解析】
（1）零假设 ：天气状况与满意度独立；
列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认为天气状况对该景点旅游满意度有影响；
（2）记事件A为两人调查当天的天气状况一致，事件B为他们对该景点均满意，
所以
（3）由题意知，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以.
某一天要么是晴天，要么是阴雨天，符合两点分布，记第i天为，
所以
所以．
18.已知椭圆：的（）一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，求的面积的最大值；
(3)试问平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
【解析】（1）依题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为．
（2）
由（1）得，设，直线．
由，得，显然，
所以
则，
设，则，（当且仅当时取等号，此时），
所以的面积的最大值为．
（3）设，则，，
由（2）可得
，
所以
，
依题意可得，解得，所以存在定点，使得为定值.
19.已知函数，.
(1)当时，求过原点且与曲线相切的直线方程；
(2)存在，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若（），当时，关于的方程有11个实数根，求的值.
（参考数据：）
【解析】（1）当时,,,
设切点为,则,
切线方程,
代入得,解得,
则切线方程,即.
（2）时,,
则当时，,
则只需时，即恒成立，
设,
则,
则恒成立,
则恒成立,
则恒成立,
由于在单调递增,则,
所以实数的取值范围为.
（3）当时, ,
,,即周期为,
,
对于,
当时, ,,,单调递减,
当时, ,,,单调递增,
当时, ,,,单调递减,
当时, ,,,单调递增,
综上,在单调递减, 在单调递增,
极小值,极大值,
由于单调递增,且,则在方程无解,
只需要在有个解即可,
由于每个周期最多有两个解,
当时,需要，
当时,需要,
即
,且
则或,或.满意
不满意
合计
晴天
40
阴雨天
20
合计
70
100
0.05
0.010
0.005
3.841
6.635
7.879
满意
不满意
合计
晴天
40
10
50
阴雨天
30
20
50
合计
70
30
100