福建省厦门第一中学2025-2026学年高三上学期数学限时训练试题与解析

这是一份福建省厦门第一中学2025-2026学年高三上学期数学限时训练试题与解析，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
2.数据3,7,8,9,12的第 60 百分位数是
A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9
【答案】C
3.设 为两条直线， 为两个平面，则下列命题中假命题是
A. 若 ,则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】C
4.已知向量 ，则 面积的最大值为
A. B. 1C. D.
【答案】A
5.已知 为等差数列 的前 项和， ，则下列数值中最大的是
A. B. C. D.
【答案】D
6.已知函数 ,且 ,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
7. 的内角 所对的边分别是 ,且 , 则
A. 25° B. 74° C. 82° D. 97°
【答案】C
【解析】因为 ,所以 即 ,所以 ,所以 所以 或 ( 舍去). 所以 .
8.正四面体 的体积为 4, 为其中心,正四面体 与正四面体 关于点 对称, 则这两个正四面体公共部分的体积为
A. 3 B. 2C. D.
【答案】B
【解析】解法 1: 将正四面体放进正方体中,如图构造正方体 则有正四面体 与正四面体 关于点 对称，其中各棱交点分别为正方体各个面的中心，即这两个正四面体公共部分多面体 ,设正方体棱长为 则
解法 2: 如图,点 分别是边 , 的中点，这两个正四面体公共部分为多面体 . 三棱锥 是正四面体，其棱长为正四面体 棱长的一半， 则 ，公共部分的体积为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设 为复数, ,下列命题正确的有
A. B.
D. 若 ,则 D. 若 ,则
【答案】ABC
10.下列各对事件中,互为相互独立事件的是
A. 掷一枚骰子一次，事件 “出现偶数点”， “出现 3 点或 6 点”
B. 袋中有 3 白、 2 黑共 5 个大小相同的小球，依次不放回地摸两次球，事件 “第一次摸到白球”， “第二次摸到白球”
C. 一个家庭中有两个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件 “一个家庭中既有男孩又有女孩”， “一个家庭中最多有一个女孩”
D. 甲组3 名男生, 2 名女生; 乙组2 名男生, 3 名女生, 现从甲、乙两组中各选1 名同学参加比赛,事件 “从甲组中选出 1 名男生”, “从乙组中选出 1 名女生”
【答案】AD
11.已知点 在圆 上,直线 与圆 的一个交点为 与 轴交于 ,圆 在 处的切线交 轴于 ,则
A. 点 的横坐标为 4
B. ∠OPB 的一个可能值 35°
C. , 外接圆的圆心距最小值为 2
D. 若 在 轴上的射影为 ,则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于 ,因为 ,由对称性可取 ,则圆
在 处的切线为 ,当 时, ,故 正确;
对于 ,设点 ,则 ,
因为 ,设 ,则 ,
当且仅当 时等号成立,所以 ,则 ,故 B 错误;
对于 ,设点 ,则 ,线段 的中垂线方程为 , 的中点为 ,则线段 的中垂线方程为 , 当 时 外心为 ,当 时 外心为 , 所以 ， 外接圆的圆心距为 ，
设 ,则 , 当且仅当 时,等号成立,所以 正确;
对于 ,因为 ,即 ,所以 ,
所以 ,
当点 位于线段 与圆 交点处,三点共线时取最小值,故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知 ,则 ________.
【答案】
13. 中, 是 的中点, 在边 上,且 ,若 , 则 的值为_______.
【答案】
14.已知 ，则 的取值范围为________.
【答案】
【解析】(齐次化) ,令 ,由 为等轴双曲线,
知 . 所以原式 .
法二: 令 ,则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知在平面四边形 中， ， ， .
(1)求 ；
(2)若 ，求四边形 的面积 .
【解析】( 1 )如图，在 中，由正弦定理可得 ，
在 中，由正弦定理可得 .
因为 ,所以 ,所以 .
而 ,故 ,
又 ,所以 .
因为 ，故 ，故 .
(2)因为 ，且 ，
故 ， 为等边三角形.
所以 ,
因为 ,所以 ,
故四边形 的面积 .
16.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是等腰梯形 ， 分别是 的中点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求四棱锥 的体积.
【解析】(1)连接 ，显然 且 ，
四边形 BCDM 为平行四边形,
且 ， 是正三角形， ，
又 平面 平面 ,
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 .
(2)连接 ，则 .
建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,
设 .
设平面 的法向量为 ，
,即 令 ;
而平面 的一个法向量为 ，
，解得 ，
所以 .
17.某种产品的质量按照其质量指标值 进行等级划分,具体如下表:
现从某企业生产的这种产品中随机抽取了 100 件作为样本，对其质量指标值 进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)记 表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件 的概率；
(2)已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为 10 元、6 元、2 元，试估计该企业销售10000 件该产品的利润;
(3)根据该产品质量指标值 的频率分布直方图，求质量指标值 的中位数的估计值(精确到 0.01)
【解析】
( 1 )记 表示事件“一件这种产品为二等品”， 表示事件“一件这种产品为一等品”， 则事件 互斥,且由频率分布直方图估计

又 ,故事件 的概率估计为 0.84 .
(2)由(1)知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为 0.19、0.65，
故任取一件产品是三等品的概率估计值为 0.16 ,
从而 10000 件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为 1900, 6500, 1600 件,
故利润估计为 元
(3)因为在产品质量指标值 的频率分布直方图中，
质量指标值 的频率为 ,
质量指标值 的频率为 ,
故质量指标值 的中位数估计值为 .
18.已知 为椭圆 与抛物线 的交点，设椭圆的左右焦点为 , 抛物线的焦点为 ，直线 将 的面积分为 9:7 两部分.
(1)求椭圆及抛物线的方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 两点，且 的重心恰好在圆 上，求 的取值范围.
【解析】 (1) 为椭圆与抛物线交点
又直线 将 的面积分为 两部分 ;
，解得 ，椭圆的方程为:
(2)设 ，由 得
由 ,得 (※),且
由 重心恰好在圆 上，得
即 ,即
化简得 ,代入 得 ,
又设 ,当且仅当 时取等号.
,则实数 的取值范围为 或 .
19.已知函数 .
(1)若 ，求证: ；
(2)若数列 满足 ，前 项和为 ，求证: ；
(3)若等差数列 的公差 ，前 项和为 ，且 ，求 .
【解析】(1)
(2)由(1)知
所以
所以
所以
(3) 为等差数列，所以 同理可得,
所以
令
设 ,所以
在 上单调递增,则方程 有且仅有一个解
法二: (3)
在 上单调递增 当 时,
同理当 时,
为等差数列,
若
,同理若
又设 时: 时 即 .质量指标值
等级
三等品
二等品
一等品