2026届高三数学二轮复习讲义：思维提升　培优点7　定比点差法策略（含解析）

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考点一 定比点差法的理解
一般地，若AP=λPB，则称点P为点A，B的λ定比分点.若λ>0，则点P在线段AB上，此时称点P为内分点；若λb，0b>0)的离心率e=12，且经过点1，32，点F1，F2为椭圆C的左、右焦点.
(1)求椭圆C的方程；(5分)
(2)过点F1分别作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与直线x=1交于点P.若AF1=λF1B(λ≠±1)，且点Q满足QA=λQB，求△PQF1面积的最小值.(12分)
解 (1)由e=ca=12，得2c=a，
因为a2=b2+c2，所以b2=3c2，
又点1，32在椭圆C上，
则1a2+94b2=1，14c2+912c2=1，
解得c2=1，则a2=4，b2=3，
故椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)设A(x1，y1)， B(x2，y2)，
因为AF1=λF1B，AQ=-λQB，
所以F1x1+λx21+λ，y1+λy21+λ，
Qx1-λx21-λ，y1-λy21-λ.
因为A，B在椭圆上，
所以 x124+y123=1, ①λ2x224+λ2y223=λ2, ②
由①-②得，
(x1-λx2)(x1+λx2)4(1-λ)(1+λ)+(y1-λy2)(y1+λy2)3(1-λ)(1+λ)=1，
即xQxF14+yQyF13=1，
又F1(-1，0)，则xF1=-1，yF1=0，所以xQ=-4.
设∠AF1F2=θθ≠π2，所以|F1P|=2|sinθ，|F1Q|=3|csθ，
所以S△PQF1=12×2|sinθ×3|csθ=6|sin2θ≥6，
所以△PQF1面积的最小值为6.