2026届高三数学二轮复习课件：专题5 解析几何 培优拓展10 抛物线中的阿基米德三角形（含解析）

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类型一　阿基米德三角形的性质
类型二　阿基米德三角形中的定点问题
目 录 索 引
阿基米德三角形是圆锥曲线的重要内容,也是高考常考内容之一.常在各类题型中出现,难度为中高档,重点考查逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.阿基米德三角形1.定义:如图所示,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),分别过A,B作抛物线的切线交于点P,称△PAB为阿基米德三角形,弦AB为阿基米德三角形的底边.
2.常用性质:(1)阿基米德三角形底边上的中线MQ(M为AB中点)平行(或重合)于抛物线的对称轴.(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线.(3)抛物线以C点为中点的弦平行于点Q的轨迹.
例1　(2021全国乙,理21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
例2　(2025河南安阳一模)设M,N是抛物线C:x2=8y上异于顶点的两点,过点M,N分别作C的切线,两条切线相交于点P.(1)若|PM|=|PN|,且∠MPN=90°,求直线MN的方程;(2)设A,B分别为直线PM,PN与x轴的交点,证明:△PAB的外接圆过定点.
【对点训练1】(多选题)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,在两点处的切线相交于点Q,则下列说法中正确的是(　 　)A.当阿基米德三角形的顶角为直角时,阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆B.若M为弦AB的中点,则MQ与x轴平行(或重合)C.若弦AB过抛物线的焦点,则点Q在抛物线的准线上D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点,M为弦AB的中点,则该三角形的面积最小值为2p
例3　已知直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB, D为垂足,O为坐标原点,点D的坐标为(1,1).(1)求C的方程;(2)若点E是直线y=x-4上的动点,过点E作抛物线C的两条切线EP,EQ,其中P,Q为切点,试证明直线PQ恒过一定点,并求出该定点的坐标.
(2)我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A,B处的两条切线所围成的△PAB (P为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”.抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”,当线段AB经过抛物线的焦点F时,△PAB具有以下性质:①P点必在抛物线的准线上;②PA⊥PB;③PF⊥AB.已知直线l:y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于A,B两点,若|AB|=8,则抛物线的“阿基米德三角形”△PAB的顶点P的坐标为　　　 　　. 
(-1,2)或(-1,-2)