四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2025-2026学年高一上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据并集的定义求解.
【详解】由题意得.
故选：B.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合正弦函数性质判断即可.
【详解】由，得；
反之，由，则或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 若，则的最小值为（ ）
A. B. C. 20D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即可.
【详解】由，得同号，且，
则，即，当且仅当时取等号，
所以的最小值为20.
故选：C
4. 如图，这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面.已知扇子扇形的圆心角为，则此扇面的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用扇形面积公式计算扇形和扇形的面积，最后相减即可.
【详解】扇子扇形的圆心角为，，
由扇形面积公式得，扇形的面积为，
扇形的面积为，
扇面的面积为.
故选：B.
5. 已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（ ）
A. 函数为偶函数B. 若，则
C. 设，则D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得，然后根据奇偶性定义判断A；根据单调性判断B，作差法判断C，求出函数值域判断D.
【详解】设，因为幂函数的图象经过点，所以，所以，所以，
因为的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误；
因为在上单调递增，
所以当时， ，故B错误；
设，则，
所以，故C正确；
因为任意，都有，故D错误．
故选：C
6. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得的图象，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的图象经过点求出，再利用平移变换即得所求函数解析式.
【详解】由图知，函数经过点，则得，
因，则有，解得，故，
依题意.
故选：C.
7. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合诱导公式进行求解即可.
【详解】因为，所以，
又，则，
所以，
则．
故选：B
8. 已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝( )
A. －3B. －2C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据g(x＋1)得到g(x)关于x＝1对称，得到，结合g(x)＝(x－1)和f(x)为偶函数即可得f(x)周期为4，故可求出f(2.5)＝2，则即可求值﹒
【详解】为偶函数，则关于对称，即，
即，即，
关于对称，又f(x)是定义域为R的偶函数，
∴，
∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)，
周期为，
∴，
.
故选：D.
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知为实数，若集合，且，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先解方程表示出集合，然后根据和进行分类讨论即可，由此可求结果.
【详解】由解得或，则，
当时，此时，满足；
当时，此时，则，
若，则或，所以或；
综上所述，的可取值为，
故选：ABC.
10. 下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 函数的最小值为5
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】举例说明判断A；利用对数函数性质判断B；利用正弦函数有界性，结合基本不等式求解判断C；利用同角公式，结合扇形面积比较判断D.
详解】对于A，取，满足，而，A错误；
对于B，当时，，B正确；
对于C，，
当且仅当时取等号，而，因此上述等号不能被取到，C错误；
对于D，，
如图所示，作一个半径为1，圆心角为x的扇形，且，，
扇形的面积为，的面积，
结合图形得，即，则，而，因此，D正确.
故选：BD
11. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 当时，的最小正周期为
B. 存在整数，使得的图象关于直线对称
C. 不存在整数，使得的最大值为2
D. 当时，上恰有四个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据二倍角公式和三角函数的性质逐项分析即可.
【详解】当时，，
，其最小正周期，
，其最小正周期，
是两个函数相加，故的最小正周期是的最小公倍数，
故的最小正周期为，故A正确.
的图象关于直线对称，则，
取，则，
，，
，故不存在整数，故B错误，
的最大值为2，需，
，
令，左边为奇数，右边为偶数，无整数解，
故不存在整数，使得的最大值为2，故C正确，
当时，为奇数，则，
令，则，
又均为奇数，根据奇数幂的性质可知，即，
当时，，
当时，不在上；当时，不在上；发现代入其他的值导致x更大或更小，故都不在区间内，
当时，，
当时，在上；
当时，在上；
当时，在上；
当时，在上；
当时，不在上，，
综上，发现只有4个值符合题意，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题（本大题共3小题，每小5分，共15分.把答案填写在答题卡上）
12. 已知角的终边经过点，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件结合任意角的三角函数的定义可得求解.
【详解】因为已知角α的终边经过点，且，
所以，显然，
解得，（舍去），
故答案为：
13. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为_____________.（精确到0.01，）
【答案】##
【解析】
【分析】将已知代入函数关系，利用对数运算求解可得.
【详解】由题知，当时，，
代入得，即，
所以，即.
故答案为：
14. 已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设，得到，结合，求得，把方程转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，得到和，即可求解.
【详解】因为函数是的单调函数，且对于任意的，都有，
所以为定值，设，可得，
又由可得，即，解得或（舍去），
所以，故，
方程即，即，
依题意，关于的方程恰有两个实数根，则函数和有两个交点，
设，则，即且，
则函数即，该函数的对称轴为直线，
当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
所以，且，当时，，
要使得方程恰有两个不等的实数根，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）将集合化简，然后进行集合运算；
（2）根据题意，将条件转化为集合是集合的真子集，列出不等式代入计算，即可得到结果．
【小问1详解】
当a=0时，
或
解不等式得集合，
所以或
【小问2详解】
由是的充分不必要条件，
可得：是的真子集，
当即时，，符合，
当时，则，二三式等号不能同时取到，
解得：，
综上：实数取值范围是.
16. 已知函数是上的奇函数.
（1）求的值，并用定义证明函数在上为增函数；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数，由求出的值并检验，利用函数的单调性定义证明函数单调性即可；
（2）法一：利用函数的奇偶性和上的单调性推得在上也是增函数，即得，即可求得答案；法二：由题设不等式等价于，分别求解两不等式，再求交集即得.
【小问1详解】
由题意，，解得，则，
因，关于原点对称，且，
即函数是奇函数.
任取，由，
因，则，，，
故，即，故函数在上为增函数.
【小问2详解】
法一：不等式等价于，
因函数在上为增函数，且为上奇函数，
则函数在上也是增函数，故有，解得，
即实数的取值范围为.
法二：由可得，
由①可得；
对于② ，因，则有，
设，则得，解得或，
即或，解得或.
综上可得，即实数的取值范围为.
17. 已知函数.
（1）当函数的最小正周期为时，求的值和的单调减区间；
（2）若在上恰有两条对称轴，求的取值范围；
（3）当时，在内有且仅有3个实数，使，求的值.
【答案】（1），单调减区间为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由周期求出的值，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的取值范围求出的范围，结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可；
（3）依题意可得，由的取值范围求出的范围，根据正弦函数的对称性求出的值，即可得解.
【小问1详解】
因为且最小正周期为，
所以，解得，所以，
令，，解得，．
所以的单调递减区间为，．
【小问2详解】
因为且，所以，
因为在上恰有两条对称轴，所以，
解得，所以的取值范围为；
【小问3详解】
当时，
由，则，
令，，
则在上有两条对称轴和，
又因为在内有且仅有3个实数，使，
则必有和关于对称，和关于对称，
所以有，即.
又因为，所以，，
即，
所以，
所以.
18. 若函数与对任意，总存在，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”：当时，则称为区间上的“阶自伴函数”.
（1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；
（2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的最小值；
（3）若是在区间上的“3阶伴随函数”，求实数的取值范围.
【答案】（1）是“2阶自伴函数”，理由见解析；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据的值域以及“2阶自伴函数”的定义，举反例即可证明不是“2阶自伴函数”；
（2）根据的值域，确定之间的关系，运用基本不等式即可；
（3）根据的值域确定的值域，再根据二次函数的性质即可确定的取值范围.
【小问1详解】
对于，有，
如果 ，使得，则必有，
因 ，则，，即，
故是“2阶自伴函数”；
【小问2详解】
由函数为区间（）上的“阶自伴函数”，
所以，且对任意，
总存在唯一的使得成立；
所以对任意，总存在使得，
因为函数为单调递增函数，
所以对任意，总存使得，
所以对任意，总存在使得，
所以，所以，即，
又因为，所以，
则，
，
所以的最小值为；
【小问3详解】
因为是在区间上的“3阶伴随函数”，
则对任意的，总存在，使得成立，
所以，因为，则，
即在区间上的值域必定包含区间，
因，其对称轴为，
① 当时，在上单调递增，
因为，则的值域为，
依题意需满足，解得，则；
② 当时，在处取得最小值，
则的值域为，
由，可得，
，，
即该区间不满足包含，故舍去；
③ 当时，在上单调递减，
因为，则的值域为，
依题意需满足，解得，无解.
综上所述，可得的范围为．
19. 已知偶函数和奇函数的定义域均为，且，令.
（1）分别求函数和的解析式；
（2）若关于的方程在上恰有3个解，求实数的取值范围：
（3）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，设，记，是否存在正整数，使关于的不等式恒成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，满足条件的正整数的值为1或2
【解析】
【分析】（1）由函数奇偶性可得，再解方程组即可；
（2）分析可得为奇函数且单调递增，进而得到，令，则，即，再结合根的分布求解即可．
（3）计算得，进而得到，再确定，得到即可求解．
【小问1详解】
为偶函数，为奇函数，且，
，
由解得；
【小问2详解】
，
在上单调递增，，
在上单调递增，且为奇函数，
，当且仅当时取等，
在单调递减，在单调递增，
，，
令，则，
当或时，有一个解，
当时，有2个解，
方程，
即，
又为增函数，所以，即，
整理得，
又关于的方程在上恰有3个解，
所以在和分别有一个解，
，解得；
【小问3详解】
把区间等分成份，则等分点的横坐标为，，又，
，
所以
所以
，
因为，
又，当且仅当时取等，
，
所以
即.
故存在正整数n=1或2，使不等式恒成立．