8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定（教学课件） -2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的垂直教学ppt课件，共66页。PPT课件主要包含了二面角的记法，二面角－AB－，二面角C－AB－D，二面角的取值范围，直二面角的定义，符号语言，题型强化训练，练习1，题型一求二面角，感悟提升等内容，欢迎下载使用。
1.通过实例直观感知二面角的概念，理解二面角及其平面角的定义，掌握二面角平面角的一般作法，会求简单二面角的平面角。2.类比直线与平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的定义，掌握平面与平面垂直的判定定理。3.能运用定义和判定定理证明空间中两个平面互相垂直，体会“线面垂直”到“面面垂直”的转化思想。4.经历“直观感知—操作确认—抽象概括”的探究过程，提升空间想象能力和逻辑推理能力，感受数学与生活的联系。
二面角以及二面角的平面角
8.6.3 平面与平面垂直(第1课时)平面与平面垂直的判定
像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义.那么，该如何定义呢？不妨回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程．在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直．所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础．在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况，类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直．
如图8.6-21，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(dihedral angle)．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．
二面角－ l－ 
如图 8.6-22，在日常生活中，我们常说"把门开大一些"，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢?
那么该如何定量地刻画两平面的位置关系呢？根据前面研究异面直线所成的角和直线与平面所成的角的经验，我们可以用一个平面角来度量二面角的大小．这样的平面角该如何建构呢？
在二面角的棱上任取一点，从该点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，可得一个平面角，这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗？为什么？如果不能，又该如何作图呢？
不能，因为角的大小会由于所作射线的位置不一样而不同，而度量一个量的基本要求是“唯一性”．
以棱上给定的一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线形成的角度是唯一确定的．
二面角的平面角的定义： 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
问题：∠AOB 的大小与点O在棱l上的位置有关吗？为什么？
根据空间等角定理，∠AOB的大小与点O在棱l上的位置无关．
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
二面角的平面角θ的取值范围为0≤θ≤180．
我们把平面角是直角的二面角叫做直二面角．
平面与平面垂直的定义和判定定理
教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数．
教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上.
两平面垂直的定义： 一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β．
如图 8.6-24，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．
建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面．这种方法说明了什么道理？
这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.
在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质.先研究平面与平面垂直的判定．
类似结论也可以在长方体中发现．如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面ADD'A'经过平面ABCD的一条垂线AA'，此时，平面ADD'A'垂直于平面ABCD．
平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
这个定理说明了，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.
证明平面与平面垂直的两个常用方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．
利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：
分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直．
在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC ⊥CD，你能在图中发现哪些平面互相垂直，为什么？
由AB⊥平面BCD可知：平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．
易证：CD⊥平面ABC，故：平面ACD⊥平面ABC．
教科书第158页的例8以及练习的第3题中出现的四面体在中国古代被称为“鳖臑”，即四个面都是直角三角形的三棱锥．“鳖臑”是用来展示空间垂直关系的经典素材，值得我们关注．
四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”；将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”；底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”．
两个堑堵组成一个长方体
一个阳马和一个鳖臑组成一个堑堵
1.求二面角的平面角的大小的步骤(1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线．(2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角．(3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小．(4)结论．
2.确定二面角的平面角的方法
题型二　用定义法证明平面与平面垂直
用定义证明两个平面垂直的步骤利用两个平面互相垂直的定义可以直接证明两个平面垂直，证明的步骤是：①找出两个相交平面的二面角的平面角；②证明这个二面角的平面角是直角；③根据定义，这两个平面互相垂直．
题型三 平面与平面垂直的定义和判定
在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E是PD中点，下列叙述正确的是（　　）A．CE∥平面PAB B．CE⊥平面PADC．平面PBC⊥平面PAB D．平面PBD⊥平面PAC
【详解】对于A，∵四边形ABCD是菱形，则CD∥AB，∵CD 平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB，若CE∥平面PAB，∵CE∩CD＝C，则平面PCD∥平面PAB，事实上平面PCD与平面PAB相交，假设不成立，故A错误；
对于B，过点C在平面ABCD内作CF⊥AD，垂足为点F，∵PA⊥平面ABCD，CF⊂平面ABCD，∴CF⊥PA，∵CF⊥AD，PA∩AD＝A，∴CF⊥平面PAD，∵过C作平面PAD的垂线有且只有一条，∴CE与平面PAD不垂直，故B错误；
对于C，过点C在平面ABCD内作CM⊥AB，垂足为点M，∵PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，则CM⊥PA，∵CM⊥AB，PA∩AB＝A，则CM⊥平面PAB，若平面PBC⊥平面PAB，过点C在平面PBC内作CN⊥PB，垂足为点N，∵平面PBC⊥平面PAB，
平面PAB∩平面PAB＝PB，CN⊂平面PBC，∴CN⊥平面PAB，∵过点C作平面PAB的垂线有且只有一条，∴CM，CN重合，∴平面ABCD∩平面PBC＝BC，∴CM，CN，CB重合，BC⊥AB，∵四边形ABCD是菱形，BC与AB不一定垂直，故C错误；
对于D，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC，故D正确．故选：D．
证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角．(2)利用面面垂直的判定定理，其实质归根结底还是找一条直线与平面内的两条相交直线垂直，一定要把定理用符号语言叙述完整．
题型四　利用判定定理证明面面垂直
1．知识清单：(1)二面角以及二面角的平面角．(2)平面与平面垂直的定义和判定定理．(3)平面与平面垂直的性质定理．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线， 与另一个平面垂直．
二面角的定义：如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
二面角的记法：①棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α-AB-β；②也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取 点P、 Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q；③棱记作l，这个二面角记作二面角α-l-β或P-l-Q．
二面角的平面角的定义： 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．二面角的平面角θ的取值范围为0≤θ≤180．我们把平面角是直角的二面角叫做直二面角．
两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.符号语言：
教材159页练习第4题，教材163页习题8.6第7,8题。
1．如图，检查工件的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了．这是为什么？
当曲尺的另一边在工件的另一个面上转动时，如果和另一个面密合，曲尺紧靠工件一个面的边就与另一个面内无 数条相交直线都垂直，从而这边就与另一个面垂直. 同时， 这边紧靠工件的一个面，可看成这边在这个面内，故这两个面垂直．