湖北省襄阳市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试题含解析

这是一份湖北省襄阳市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试题含解析，共17页。试卷主要包含了 已知全集，集合，则， 下列说法正确的是．， 已知命题，．则， 下列各组函数是同一个函数的是， 我国著名数学家华罗庚曾说过， 已知关于的不等式的解集为，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把全集和集合中的元素用列举法表示出来，再根据集合的补集的概念，即可求解.
【详解】由题意，，
，所以.
故选：B.
2. 下列说法正确的是（ ）．
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】取，可判断A；取，可判断B；用作差法及不等式的性质可判断C，D.
【详解】选项A：若，当时，，故A错误；
选项B：当时，满足，但，故B错误；
选项C：若，
所以，，，
所以，
所以，
两边同时除以，
则，故C错误；
选项D：因为，
所以，所以；
又因为，所以；
综上，，故D正确.
故选：D.
3. 已知命题，．则（ ）
A. p为真命题，，B. p为假命题，，
C. p真命题，，D. p为假命题，，
【答案】B
【解析】
【分析】利用根的判别式即可判断命题的真假，再根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可得出答案.
【详解】解：对于方程，即，
，所以方程无解，
故p为假命题，
，.
故选：B.
4. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】求出每个选项中两个函数的定义域，结合函数相等的概念逐项判断即可.
【详解】对于A选项，函数定义域为，函数的定义域为，
这两个函数定义域不相同，故A选项中的两个函数不相等；
对于B选项，函数与的定义域均为，
且，故B选项中的两个函数相等；
对于C选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
这两个函数的定义域不相同，故C选项中的两个函数不相等；
对于D选项，对于函数，有，解得或，
即函数的定义域为，
对于函数，有，解得，即函数的定义域为，
这两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不相等.
故选：B.
5. 函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数的定义，得到，再结合在上的单调性，即可得到答案.
【详解】因为是定义域为的偶函数，可得，
又因为在上单调递减，且，所以，
所以.
故选：D.
6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再由时函数的符号及排除法，即可得.
【详解】由，且函数的定义域为R，故为奇函数，排除B、C；
当时，恒成立，排除D.
故选：A
7. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：B.
8. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论去绝对值求解.
【详解】（1）当或时，，
不等式为，
若不等式恒成立，必需

所以；
（2）当时，，
不等式为即，
（ⅰ）当时，不等式对任意恒成立，
（ⅱ）当时，
不等式恒成立即恒成立，
所以，解得，
（ⅲ）当时，
不等式恒成立即恒成立，
所以，解得
综上，实数的取值范围是
【点睛】本题考查绝对值不等式，含参数的二次不等式恒成立. 含参数的二次不等式恒成立通常有两种方法：1、根据二次函数的性质转化为不等式组；2、分离参数转化为求函数最值.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式解集即可得，则可判断A；根据韦达定理得，代入计算即可判断BD；代入即可判断C.
【详解】对A，因为关于的不等式的解集为，则，故A正确；
对B，由题得，解得，即为，解得，故B错误；
对C，因为，则将代入不等式得，故C正确；
对D，不等式即为，即，解得，故D错误.
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知函数，若，则
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是
D. 若命题“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是或
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用换元法求解判断A；利用抽象函数法则求定义域判断B；按照和分类讨论，利用判别式法列不等式求解判断C；利用判别式法求解判断D.
【详解】对于A：令，则，则，正确；
对于B：函数的定义域为，则，得，故的定义域为，正确；
对于C：当时，恒成立，当时，则，解得，
所以实数的取值范围是，错误；
对于D：由题意，命题“，”是真命题，
则，解得或， D正确.
故选：ABD
11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ）
A. 存在实数，使得；
B. 存在实数，当时，有成立；
C. 对任意实数，当时，都有成立；
D. 若，则实数的取值范围为.
【答案】ACD
【解析】
【分析】当时，求得，可判定A正确；分类讨论，结合二次函数的性质，求得为单调递增函数，可判定B不正确；转化为，结合为单调递增函数，可判定C正确；令，结合函数的单调性和奇偶性，不等式转化为，可判定D正确.
【详解】对于A，当时，，则，
所以存在，使得，所以A正确；
对于B，当时，，其图象开口向上，且对称轴的方程为，
所以在上单调递增，则；
当时，，其图象开口向下，且对称轴的方程为，
所以在上单调递增，则，
所以函数为单调递增函数，所以不存在，使得，所以B不正确；
对于C，要证，
即证，即证，
由B项知，函数为单调递增函数，所以恒成立，所以C正确；
对于D，令，则，
可得，所以为奇函数，且为上的递增函数，
由，可得，
即，即，
因为为上的递增函数，所以，解得，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 函数的单调递增区间为_______________.
【答案】
【解析】
【详解】由解得或，
则函数的定义域为，
令，其图像的对称轴方程为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则由复合函数的单调性可得，函数的单调递增区间为.
故答案为：
13. 已知正数a，b满足，则的最小值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】利用基本不等式将方程化成，令，求解关于的一元二次不等式即得.
【详解】因为正实数a，b满足，
又，则，当且仅当时取等号，
设则，代入整理可得，解得或，
因，故，故当时，取得最小值为4.
故答案为：4
14. 已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】由一元二次不等式恒成立得、，将问题化为求的最小值，令则，应用基本不等式求最值，注意取值条件.
【详解】由题设，有，又，则，
又，则，
故存在使成立，则，
所以，令，故，
所以，且，
而，仅当，即等号成立，
所以，仅当且时等号成立，故的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系，将题设条件化为求的最小值，结合换元法、基本不等式求最值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得；
（2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得．
【小问1详解】
由，可得，
因为，，
①当时，，解得，符合题意；
②当时，则，解得，
综上所述，．故实数a的取值范围为．
【小问2详解】
由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集，
又，，
则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是．
16. （1）已知函数是一次函数，若，求的解析式．
（2）已知，求的解析式．
（3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式．
【答案】（1）或；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）设，代入计算即可求解；
（2）令，换元求解即可；
（3）构造关于，的方程组求解即可.
【详解】（1）设，
则，
所以，解得或，
即或；
（2）令，则，，
即，
所以；
（3）因为，
所以，
联立方程解得.
17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元
【解析】
【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得；
（2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得.
【小问1详解】
当时，；
当时，，
故；
【小问2详解】
当时，是对称轴为的二次函数，
则在上单调递增，
故当时，万元；
当时，
万元，
当且仅当时等号成立，
故当时，万元；
故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元.
18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，．
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并证明你的结论；
（3）若，求不等式的解集.
【答案】（1）；
（2）在上单调递减，证明见解析；
（3）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）令，解方程即可求解；
（2）设，结合函数法则，根据函数单调性的定义证明即可；
（3）利用单调性将不等式化为，然后按照，，， ，分类讨论，根据一元二次不等式的解法求解即可.
【小问1详解】
因为，都有，
所以，得，则；
【小问2详解】
在上单调递减，证明如下：
不妨设，则，，令，
则，所以，即，
所以在上单调递减；
【小问3详解】
由，得，
又，所以，
由（2）知在上单调递减，所以，
所以，所以，
当时，不等式为，所以不等式的解集为；
当时，不等式为，所以不等式的解集为；
当时，不等式为，
若时，则，所以不等式的解集为，
若时，则，所以不等式的解集为，
若时，则，所以不等式的解集为，
综上所述：
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为.
19. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数”．
（1）下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的美好函数，说明理由．
（2）已知函数，当时，函数G是在上的“美好函数”，求t的值；
（3）已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求a的值．
【答案】（1）①是，理由见解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“美好函数”的定义逐个分析判断即可.
（2）求出二次函数的对称轴，再按，，和分类求函数在给定范围上的最值，并利用列方程即可求出的值.
（3）由二次函数的性质知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出.
【小问1详解】
对于①，上单调递增，当时，，当时，，
因此，符合题意；
对于②，在上单调递增，当时，，当时，，
因此，不符合题意；
对于③，在上单调递增，当时，，当时，，
因此，不符合题意，
所以①是在上的美好函数.
【小问2详解】
当时，二次函数的对称轴为直线，
且在上单调递增，在上单调递减，
当，；当时，，当时，，
当时，函数在上单调递增，
则，解得，舍去；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，解得（舍去）或；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，解得（舍去）或；
当时，函数在上单调递减，
则，解得，舍去，
综上所述，或.
【小问3详解】
由（2）知，二次函数对称轴为直线，
由，即，得，则，
函数在上单调递增，
此函数在处取得最大值，在处取得最小值，
因此，
由为整数，且，得，则，即的值为5，
又，因此，解得，
所以.