湖北省十堰市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试题含解析

这是一份湖北省十堰市2025_2026学年高一数学上学期10月月考试题含解析，共56页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，若 ，则 （ ）．
A 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据包含关系分 和 两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
2. 已知集合 ， ，则 中元素个数为（ ）
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， 中的元素个数为 ，
故选：C．
3. 武当山是我国著名的道教圣地、世界文化遗产，有不少令人向往的景点.甲、乙、丙三位同学被问到是否
去过金顶、紫霄宫、太子坡三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过金顶：乙说：我没去过紫
霄宫：丙说：我们三个人去过同一个景点、则乙一定去过的景点是（ ）
A. 金顶 B. 紫霄宫 C. 太子坡 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
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【分析】根据题意分析结合集合的交集思想即可求解.
【详解】先从乙说的出发，可以推出乙可能去过金顶或太子坡，
再由甲说的，可以推出甲去过紫霄宫和太子坡，则乙只能去过金顶和太子坡中的一个，
再结合丙说的，利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过太子坡.
故选：C
4. 下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （ ）
A. ， B. 有的矩形不是平行四边形
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解.
【详解】ABC 均为存在量词命题，D 不是存在量词命题，故 D 不符合题意，
选项 A：因为 ，所以命题为假命题；
选项 B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题；
选项 C： ，故命题为真命题，故 C 正确.
故选：C．
5. 若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】解法一：由 化简得到 即可判断；解法二：证明充分性可由 得到
，代入 化简即可，证明必要性可由 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证
明充分性可由 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入即可，证明必要性可由
通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入，解方程即可.
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【详解】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
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6. 设 ， ，则 与 的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】利用作差法解出 的结果，然后与 0 进行比较，即可得到答案
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
∴ ，
故选：A
7. 已知实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，得到 ，求得 ，得到
，即可求解.
【详解】令 ，联立方程组 ，解得 ，
则 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，所以 ，即 .
故选：B.
8. 已知 U 是非实数集，若非空集合 A1，A2 满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合 U 的一种真分拆，
并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合 U 的同一种真分拆
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①A1∩A2=0
②A1 A2=U
③ 的元素个数不是 中的元素.
则集合 U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 10 D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】由真分拆的定义及规定即可求解.
【详解】解：由题意，集合 U={1，2，3，4，5，6}的真分拆有 ；
； ； ；
，共 5 种，
故选：A.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 当 时， ，
B. ， ，
C. 若 ，则
D. “ ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】BD
【解析】
【分析】A、C 选项可以举反例排除，B 选项配方可以求解，D 选项根据充分必要条件的概念判断即可.
【详解】A 选项，由二次函数性质可知，当 时不成立，故 A 选项错误；
B 选项， ，由于完全平方非负，则 ，故 B 选项
正确；
C 选项， 时不成立，故 C 选项错误；
D 选项，“ ”可以推出“ ”，“ ”推不出“ ”，故“ ”是“ ” 必
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要不充分条件,故 D 选项正确；
故选：BD.
10. 若正实数 ， 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值 4 D. 有最小值
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式可判断 A 的正误，利用 A 的结果可判断 BC 的正误，利用反例可判断 D 是错误的，
故可得正确的选项.
【详解】因为正实数 a，b 满足 ，所以 ，
所以 ，故当且仅当 时等号成立，
故 有最大值 ，A 正确；
由 A 可得 ，
当且仅当 时等号成立，故 有最大值 ，B 正确；
，当且仅当 时等号成立，
故 有最小值 4，C 正确；
取 ，此时 ，所以 的最小值不是 ，
故 D 错误，
故选：ABC..
11. 设集合 X 是实数集 R 的子集，如果实数 满足：对任意 ，都存在 ，使得 成
立，那么称 为集合 X 的聚点.则下列集合中，0 为该集合的聚点的有（ ）
A. B.
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C D. 整数集 Z
【答案】AC
【解析】
【分析】利用集合聚点的新定义，集合集合的表示及元素的性质逐项判断.
【详解】A.因为集合 中的元素是极限为 0 的数列，所以对于任意 ，都存在
，使得 成立，所以 0 为集合 的聚点，故正确；
B. 因为集合 中的元素是极限为 1 的数列，除第一项外，其余项都至少比 0
大 ，所以对于 时，不存在满足 的 x，所以 0 不为集合 的
聚点，故错误；
C. 对任意 ，都存在 ，使得 成立，那所以 0 为集合 的聚点，故
正确；
D. 对任意 ，如 ，对任意的整数，都有 或 成立，不可能有
成立，所以 0 不是集合整数集 Z 的聚点，故错误；
故选：AC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分
12. 已知数集 满足条件：当 时， ，若 ，则 中所有元素组成的集合是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据 ，当 时，求解 ；当 时，求解 即可.
【详解】由题意， ,
当 时，则 ，
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则 ，
又 ，
所以集合 .
故答案为： .
13. 设集合 ，则集合 的子集个数为________
【答案】16
【解析】
【分析】先化简集合 A，再利用子集的定义求解.
【详解】解： ，
故 A 的子集个数为 ，
故答案为：16
14. 正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为 ，利用基本不等式求出 的最小值，再解一元二次不等式
即可.
【详解】因为不等式 恒成立，
所以 ，
因为 ，且 ，
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所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号是成立的，
所以 ，所以 ，即 ，
解得 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由 得 ，然后分类 和 求解．
【详解】（1）当 时， 中不等式为 ，即 ，
∴ 或 ，则
（2）∵ ，∴ ，
①当 时， ，即 ，此时 ；
②当 时， ，即 ，此时 .
综上 的取值范围为 .
16. 设函数
（1）若不等式 的解集为 ，求 ， 的值；
（2）若 ，求以下两个问题：
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①若 ， ，求 的最小值：
②若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）①9；②
【解析】
【分析】（1）利用不等式 解集结合一元二次方程根和系数的关系求解即可；
（2）①利用基本不等式中“1”的应用求解即可；②把 转化为 在 R 上恒成立，
利用二次函数的性质求解即可.
【小问 1 详解】
若不等式 的解集为 ，
则 ，
所以 .
解得 .
【小问 2 详解】
若 ，
① ， ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故 的最小值为 9.
② 在 R 上恒成立，
即 在 R 上恒成立，
若 ，则 z 在 上不恒成立，舍，
故 ，
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解得：
故 a 的取值范围为 .
17. 设 .
（1）当 时，解关于 的不等式 ；
（2）当 时，解关于 的不等式 ；
（3）若关于 的不等式 在 时有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案.
（2）对 进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法来求得正确答案.
（3）利用分离参数法，结合函数的单调性、最值等知识来求得 的取值范围.
【小问 1 详解】
当 时，由 ，得 ，解得 ，所以不等式的解集为 .
【小问 2 详解】
当 时，由 整理得 ，解得 ；
当 时，由 整理得 ，
即 ，解得 ；
当 时，由 整理得 ，
即 ，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，
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当 ，即 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 .
综上， ，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 ，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
【小问 3 详解】
依题意，关于 x 不等式 在 时有解，
即 在 时有解，
由于 ，
所以 在区间 上能成立，
由于 在区间 上单调递增，最小值为 ，
所以 ，所以 的取值范围是 .
18. 某厂家拟在 2023 年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万
件与年促销费用 m 万元（ ）满足 （k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量
只能是 2 万件．已知生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每
件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（此处每件产品年平均成本按 元来计算）．
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（1）将 2023 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数；
（2）该厂家 2023 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）该厂家 2020 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 29 万元
【解析】
【分析】（1）根据 ， 求出 ，从而可求出 ，再根据利润公式求函数关系式即可；
（2）根据（1）中结论，再结合基本不等式即可得解.
【小问 1 详解】
由题意知，当 时， （万件），
则 ，解得 ，∴ ，
所以每件产品的销售价格为 （元），
∴2020 年的利润 ；
【小问 2 详解】
∵当 时， ，
∴ ，
当且仅当 即 时等号成立．
∴ ，
即 万元时， （万元），
故该厂家 2020 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 29 万元．
19. 集合 ， ．
（1）若 ， ，求实数 的值；
（2）命题 ，命题 ，若 是 的必要条件，求实数 的取值范围．
（3）阅读材料：
①若 ，且 ，则有 ；
②若 ，则有 ．
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请依据以上材料解答问题：已知 是三角形的三边，求证：
【答案】（1） ，
（2）
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由条件可得 ， 列关系式，求 ，
（2）由条件结合必要条件的定义可得 ，列不等式求 的取值范围，
（3）由三角形性质可得 ， ， ，结合结论①证明 ，
， ，再利用结论②完成证明.
【小问 1 详解】
因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
【小问 2 详解】
因为 是 的必要条件，
所以 ，又 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 的取值范围为 ，
【小问 3 详解】
因为 是三角形的三边，所以 ， ， ，
由结论①可得 ， ，
，
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由结论②可得 ，又 ，
所以 ，
故 .
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