安徽省淮南市2026届高三上学期第一次阶段性考试数学试卷（Word版附解析）

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1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题
卡的规定位置．
2．作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑：如需改动，请用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的
指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
3．本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式化简集合 ，再由交集的定义计算可得.
【详解】由 ，即 ，解得 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故选：D
2. 复数 的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数代数形式的四则运算和共轭复数的概念得出结果
【详解】因 ，
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所以复数 的共轭复数为 ，
故选：B
3. 已知直线 ， ，则“ ”是" ”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】两直线垂直的充要条件结合充分必要条件定义即可得解.
【详解】若“ ”，则 ，
所以“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：A.
4. 对于一个声强为 （单位： ）的声波，其声强级 （单位： ）可由如下公式计算：
（其中 是能引起听觉的最弱声强）．设声强为 时的声强级为 ，声强为 时的声强级
为 ，则 等于（ ）
A. 10 B. 100 C. 1000 D. 10000
【答案】C
【解析】
【分析】由题意建立等量关系，由对数运算求得 ，即可求得结果.
【详解】由题意可知 ，即 ，∴ ，
∴ .
故选：C.
5. 在平面直角坐标系中，四边形 为平行四边形，若向量 ，则向量 在
向量 上的投影向量的坐标为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量的加法求得 ，然后利用投影向量的公式求得结果.
【详解】 ，
∴ .
故选：A.
6. 已知椭圆 : 的右焦点为 ，上顶点为 ，直线 交 于另一点 ．若
，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量关系得到点 坐标，代入椭圆方程化简求解即可.
【详解】椭圆右焦点为 ，上顶点为 ，设 .
由 得 ，
所以 ， ，即 .
代入椭圆方程得 ，整理得 ，即 .
又 ，所以 .
故选：C.
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7. 已知 ，若 （ 为自然对数的底数），则 的
最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数诱导公式得到 ，构造函数 ，
由其单调性得到 ，代入 ，进而可求解.
【详解】由 ，可得 ，
即 ，
因为 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 在 单调递增， 在 单调递减，
所以 在 单调递增，所以 ，
所以 ，
令 ，
当 时， 得到最小值 ，所以 ，
所以 的最大值为 ，即 的最小值为 ，
所以 取得最小值 3.
故选：B
8. 2025 年 12 月 11 日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等 7 位学生约好 2026 年 1 月
1 日去科技馆志愿服务．现将 7 位学生随机分为 3 组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（
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）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意知不同的分组方法有 5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1 四种，利用不平均分组问题计算方法数，以
及计算出符合题意的情况数，即可求得概率.
【详解】由题意，不同的分组方法有 5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1 四种，
当分组为 5,1,1 时，共有 种，其中甲乙同组且丙丁同组有 种；
当分组为 4,2,1 时，共有 种，其中甲乙同组且丙丁同组有 种；
当分组为 3,2,2 时，共有 种，其中甲乙同组且丙丁同组有 种；
当分组为 3,3,1 时，共有 种，其中甲乙同组且丙丁同组有 种；
甲乙同组且丙丁同组的概率为 .
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 某 AI 软件公司开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份 以及每个月获得的利润 （单
位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程 ，则（ ）
月份 1 2 3 4 5
利润 5 8 10 12 15
A. B. 每增加 1 个月份，月利润约提高 2.8 万元
C. 10 月份的利润约为 26.4 万元 D. 5 月份利润的残差为 0.2 万元
【答案】AD
【解析】
【分析】由回归方程过样本中心点即可求解 判断 A；由回归方程和残差定义即可逐项分析求解判断 BCD
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．
【详解】依题意 ，
将 代入 中，解得 ，故 A 正确；
可以估计每增加 1 个月份，月利润提高 2.4 万元，故 B 错误；
将 代入 中，得到 ，故 C 错误；
将 代入 中，得到 ，则所求残差为 ，故 D 正确．
故选：AD．
10. 在 中， ， 在线段 上，且 ．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正弦定理进行边角转化，可得 ，可判断 A 正确；结合 ，可得
.利用诱导公式可得 ，由此可求 ，判断 B；由诱导公式及两角和的正弦公
式求得 ，根据正弦定理求出 ，由 及角平分线定理得 ，由此求得
，判断 C； 中，由余弦定理求得 ，判断 D.
【详解】由正弦定理 ，得 ，所以 ，所以 A 正确；
因 ，所以 .
由 ，得 ，即 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
所以 ，所以 .
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所以 .所以 B 错误；
由 ，得 .
所以 .
所以 .
由正弦定理 ，得 .
因为 ，所以 ，所以 .
所以 .所以 C 正确；
中，由余弦定理得：
.
所以 .所以 D 正确.
故选：ACD.
11. 已知正三棱柱 的外接球球心为 ， ，点 满足 ，
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．则下列结论正确的是（ ）
A. 球 的表面积为
B. 当 时， 的取值范围为
C. 当 时，不存在点 ，使得 平面
D. 当 时，设点 在直线 上运动，则线段 长度的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】作 的中点 ，连接 ，以 为原点，分别以 为 轴建
立空间直角坐标系，结合图形可知正三棱柱 的外接球球心 在上下底面的重心连线的中点上，
计算出半径 即可求解 A 选项；
将平面 与平面 沿 展开使其共面，易知当 三点共线时， 最短，当点 与
重合时， 最长，结合展开的图形分别计算出长度即可求解 B 选项；
依题意求出向量 的坐标，然后由 可得 的值，检验 的值是否符合 即可判断 C
选项；
根据题意可知 三点共线，由此可得 的最小值为点 到平面 的距离，利用点到平面的距离
的向量公式即可判断 D 选项.
【详解】如图，分别作 的中点 ，连接 ；分别作 的中点 ，连接
；分别作 靠近 的三等分点 ，连接 交 于 ；则 两两相互
垂直，建立如图空间直角坐标系，则
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，
；
所以 ，
，
；
对于 A，因为 ，所以 即为正三棱柱 的外接
球球心，半径为 ，所以球 的表面积为 ，所以 A 正确；
对于 B，如图，分别作 的中点 ，连接 ，则 ，
当 时，点 在 上，将平面 与平面 沿 展开使其共面，则
当 三点共线时， 最短，最小值为
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；
当点 与 重合时， 最长，最大值为 ；
所以当 时， 的取值范围为 ，所以 B 正确；
对于 C，如图，作 的中点 ，连接 ，则 ，
当 时，点 在 上，连接 ，则 ，
所以 ；
由 ，得 ，即 ，即
，解得 ， 符合题意，即点 与点 重合时， ；
又 平面 ，所以 平面 ；所以 C 不正确；
对于 D，如图，连接 ，则 ， ，
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当 时， ，此时 三点共线，所以 的最小值为点 到平面 的
距离；
设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 ， 则 ， 即 ， 化 简 得
，取 ，则 ，所以 ；
所以点 到平面 的距离为 ，即线段 长度的最小值为 ，所
以 D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 __________．
【答案】1100
【解析】
【分析】根据等差数列 通项公式及前 项和公式求解即可.
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ， ，
联立解得 ， ，
所以 ， ，
所以 .
故答案为：1100.
13. 已知点 ，点 在抛物线 上，点 在圆 上，则 的最小值
为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】抛物线方程得到焦点坐标及准线方程，由三角形三边关系及抛物线的定义求得最小值.
【详解】抛物线焦点 ，准线方程 ，
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如图，过点 作 于点 ，
由抛物线的定义可知 ，
由圆的性质 ，当且仅当 为线段 与圆 的交点时等号成立，
设点 到直线 的距离为 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
故 的最小值为 8.
故答案为：8.
14. 已知 ，若函数 的图象存在对称中心，则 __________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据函数定义域确定函数对称中心，再利用函数对称中心的性质列出等式即可求解．
【详解】由题可知， ，
令 ，解得 或 ，由题可知， ，
所以 定义域为 或 ，
因为函数 的图象存在对称中心，所以对称中心横坐标为区间中点 ，
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因为 ，即 ，
所以函数 图象的对称中心为 ，则 ，
，
，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 对于定义域内任意 都成立，
所以 ，即 ，
故答案为：4．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 的最大值为 1， 为常数．
（1）求函数 在 上的单调递增区间；
（2）求使 成立的 的取值集合．
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换先化简得 ，利用最大值为 1 求出 ，进而求
在 的单调增区间即可求解；
（2）由 得 ，利用三角函数的性质解不等式即可求解.
【小问 1 详解】
函数
，
因为 的最大值为 1，
所以 ，解得 ，所以 ．
令 ，
解得： ，
又因为 ，则取交集 ，所以 在 的单调递增区间为 ；
【小问 2 详解】
因为 ，即 ，可得： ．
所以 ．
解得：
综上： 成立的 的取值集合是 ．
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16. 如图，在三棱锥 中，点 分别是 的中点，平面 平面 ．
（1）判断直线 与直线 的位置关系，并给出证明；
（2）若平面 平面 ， ， 是直线 上的一点，直
线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长度．
【答案】（1） ，证明见解析
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）由中位线得到线线平行，即可得线面平行，由线面平行的性质得到线线平行；
（2）由等腰三角形及面面垂直得到空间内三条两两垂直直线，建立空间直角坐标系，由边长得到点坐标及
向量坐标，由向量的数量积求得面 的一个法向量，设 ，由向量的数量积表示出线面角的正
弦值，即可求得线段 的长度．
【小问 1 详解】
．
证明：因为点 分别是 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因 平面 平面 ， 平面 ，所以 ．
【小问 2 详解】
因为 ，点 为 的中点，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，又
所以以 为原点，分别以 为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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因为 ，所以 ，又 ，
则 ．
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，不妨设 ，解得 ．
由（1）可知 ，设 ，
得 ，所以 ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
得 或 ，
所以线段 的长度为 或 ．
17. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第 1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给
另外三人中的任何一人．设 次传球后球在乙手中的概率为 ．
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）求 ．
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【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式计算即可.
（2）根据全概率公式列出 的表达式，确定 是首项为 ，公比为 的等比数列，进而根据
等比数列的通项公式求出结果.
（3）根据（2）中的结果得到 ，然后根据错位相减法求出 ，进而求得结果.
【小问 1 详解】
记 “经过 次传球后，球在乙手中”， 1，2，3，…，
当 时， ，
当 时， ．
【小问 2 详解】
由
，即 ，
∴ ，
∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ，
∴ ．
【小问 3 详解】
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由（2）知 ，令 ．
所以 ，
从而 ，
将以上两式相减可得
，
所以 ．
所以 ．
18. 已知函数 在点 处的切线方程为 ．
（1）求实数 的值；
（2）设 ．
（i）证明： 存在唯一极小值；
（ii）设 的极小值点为 ，证明： ．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出 的导函数 ，根据切线的斜率为 ，及点 在切线上列方程，求出
的值；
（2）（i）由（1）得 ，利用导数分析函数 的单调性，即可证明 存在唯
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一极小值；（ii）由（i）可得 的取值范围，构造新函数，利用导数可分析新函数的取值范围，从而证明
.
【小问 1 详解】
因为 在点 处的切线方程为 ，即 .
所以切线的斜率为 ，且当 时， .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
【小问 2 详解】
（i）因为 ，其定义域为 .
所以 .
令 ，得 或 ，
设 ，所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递减.
又 ，所以存在唯一 ，使 ．
故 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
所以 是函数 的唯一极小值点，所以 存在唯一极小值．
（ii）因为 的极小值点为 ，所以 ．
又 ，且 在 上单调递增，所以 ；
又 ，两边取自然对数得 ，即 ，即 .
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所以 ，
设 ，
则 在 上恒成立，故 在 上单调递减，
故 ，即 ．综上所述： ．
19. 已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求 的方程；
（2）设 为 的左顶点，过 的直线交 的右支于 两点．
（i）证明：以 为直径的圆过点 ；
（ii）设直线 的斜率存在，直线 与圆 的另一交点分别为 ，直线 与直
线 交于点 ，试判断 的形状，并给出证明．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析（ii）等腰三角形（或等腰锐角三角形），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程求解双曲线的方程；
（2）（i）设直线 的方程为 ，联立双曲线与直线计算证得结果；
（ii）联立双曲线与直线判断三角形的形状；
【小问 1 详解】
因为双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
所以 ，
解得： ，所以 的方程为 ．
【小问 2 详解】
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（i）由（1）知， ，直线 的斜率不为 0，
设直线 的方程为 ，如图，
由 ，可得 ，
∴ ，其中 ，
∴
，
∴ ，所以以 为直径 圆过点 ．
（ii） 是等腰三角形（或等腰锐角三角形）．
因为直线 的斜率存在，所以 ．
不妨设直线 ，其中 ，
由（i）可知 ，
由 ，可得 ，解得 ，
故可得 ，即 ，
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∴
，
所以直线 ，
由 ，可解得 ，所以 在定直线 上，
又 ，所以 ，所以 是等腰三角形（或等腰锐角三角形）．