安徽省淮北市2026届高三上学期第一次质量监测（一模）数学试卷含解析（word版+pdf版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则的元素个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
2. 已知复数，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
3. 函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线和平面，下列表述正确是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
6. 记为数列的前项和．若，当时，，则常数的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
7. 已知过点的直线与圆交于两点．若的面积为8，则点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若函数和均为偶函数，则（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于直线对称
C. 3是一个周期D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A. B. 这200名参赛者得分的中位数为64
C. 得分在内的频率为D. 得分在内的共有80人
10. 已知正四棱锥，为棱上的动点．则（ ）
A 平面平面
B. 存在使得为直角三角形
C. 当为中点时，平面
D. 若，球与四棱锥的所有棱都相切，则球的表面积为
11. 将平面向量绕起点逆时针旋转角得到的向量记为，已知向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 代数式的展开式中的系数为__________．
13. 已知抛物线的焦点是双曲线：的右焦点，点是两曲线的一个公共点，为坐标原点．若，则的离心率为__________．
14. 已知点是的外心，直线与线段交于点．若，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，分别为内角所对的边，满足：.
（1）求角；
（2）若，求内角平分线长．
16. 已知数列满足．
（1）设，求证：数列为等比数列；
（2）求的通项公式．
17. 如图，在四棱锥中，平面，分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）设平面．
（i）求实数的值；
（ii）求二面角的正弦值．
18. 已知椭圆的短轴长为2，焦距为2，过的左焦点作斜率之和为1的两条直线和，与交于两点，与交于两点，线段的中点分别为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点的轨迹方程；
（3）直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由．
19. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值；
（2）当时，
（i）证明：在上存在唯一极小值点和唯一零点；
（ii）在（i）的条件下，证明：．