安徽蚌埠市2026届高三上学期第一次教学质量检查考试（期末）数学试卷（Word版附解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合 ，再根据并集的概念求解.
【详解】 ，又 ，
所以 ，即 ，
故选：A.
2. 已知 i 为虚数单位，复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】由已知得到 ，再根据复数的几何意义求解.
【详解】由 ，即 得 ，
根据复数的几何意义复数 对应复平面内的点 ，位于第三象限，
故选：C
3. 某高中为了解在校学生的身高发育情况，在高一、高二、高三年级中各随机抽取了 的学生，并分别
统计了三个年级所抽取学生的平均身高，列表如下：
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年级 高一 高二 高三
样本容量 38 32 30
平均身高
则估计该校全体学生的平均身高为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据均值的定义判断．
【详解】由题意平均身高为 ，
故选：D．
4. 已知非零向量 与 的夹角为 ，则“ ”是“ 为锐角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】 为锐角时， ，因此是必要的，
时， ，满足 ，但 不是锐角，因此不充分，故是必要不充分条件，
故选：B．
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】根据平方关系和商数关系求出 ，再由二倍角公式求解 ，利用诱导公式化简
求值.
【详解】因为 ， ，所以 ，
由 ，解得 ，
因为 ，所以 ， ，
由 ，即 解得 ，
所以 .
故选：B.
6. 已知点 是椭圆 上的一点， 为 的左焦点，则以 PF 为直径的圆与圆 的
位置关系是（ ）
A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切
【答案】A
【解析】
【分析】通过椭圆的定义和三角形中位线定理，得出两圆的圆心距 ，再比较它与 的大
小判定两圆的位置关系.
【详解】因为椭圆方程为 ，所以 ，得 ，
以 为直径的圆，圆心为 的中点，设为 ，半径为 ，
设 为右焦点，则原点 为 的中点，如下图：
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根据椭圆定义 ，
则 ，
圆 ，圆心为 ，半径 ，
则 ，即两圆圆心距小于两半径之差，
所以两圆内含，
故选：A.
7. 已知等差数列 的前 项和为 ，等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的性质，将 转化为前 项和的比值进行计算。
【详解】根据等差中项性质， ，
所以 .
又因为等差数列前 项和 ，
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所以 .
已知 ，令 ，则 ，
因此， ，
故选：C.
8. 已知函数 及其导函数 的定义域都是 ，若函数 是偶函数， 也是偶函数，
则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数奇偶性以及导函数性质可得 ，求导并利用基本不等式可判断
的单调性，解不等式可得结果.
【详解】由题意知 ，两边同时求导 ，即 是奇函数，
令 ，
则 ，可得 ，
令 ，
可得 ，
易知 ，当且仅当 时，等号成立；
即函数 在 上单调递减，又 是奇函数，可得 ,
当 时， , 单调递增，当 时， , 单调递减，
因函数 是偶函数，则 ，
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可知不等式 等价于 ，即 ，
即 ，即可得 ，解得 或 ,
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式的性质及基本不等式的应用，需逐一分析选项，结合已知条件 且
进行判断.
【详解】A 选项，因为 ，所以 ，
由于 ，则 ，所以 ，A 选项正确；
B 选项， ，
因为 （当且仅当 时取等号），
所以 ，则 ，B 选项正确；
C 选项， ，由 ，可得 ，
所以 ，C 选项错误；
D 选项，因为 ，所以 ，
函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，D 选项正确.
故选：ABD.
10. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交 于点 ．
连接 BF 并延长交 于点 ，点 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 存在直线 ，使 为直角
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C. D. 直线 MB 与 ME 斜率之和 零
【答案】ACD
【解析】
【分析】对 A，设过点 的直线方程并联立抛物线，利用韦达定理得到 ，进而推出 ；对
B，假设 为直角，通过数量积推出 ，与抛物线 的性质矛盾，从而判定为错误；对 C，
利用抛物线焦点弦的性质求出点 的坐标，计算数量积 ，判定为正确；对 D，求出直线 与
的斜率表达式，代入 点坐标化简后，发现两者斜率互为相反数，和为零.
【详解】对于 A：设直线 ，由 得 ，
由韦达定理可得 ，所以 ，A 正确；
对于 B：由抛物线方程可知焦点 ，则 ，
若 为直角，则 ，即 ，
解得 ，但抛物线上的点满足 ，B 错误；
对于 C：点 在直线 上，由抛物线焦点弦的性质 ，所以 ， ，
，C 正确；
对于 D：直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，D 正确；
故选：ACD.
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11. 某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满 100 元即可获得一次抽奖机会．已知顾客
第一次抽奖的中奖概率为 ，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为 ，若前
一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为 ．记顾客第 次抽奖的中奖概率为 ，则（ ）
A. B. 某顾客消费 200 元，则其中奖概率为
C. 的最大值为 D. 当 时， 越大， 越小
【答案】AC
【解析】
【分析】对 A，根据抽奖规则建立递推公式，代入 算出 验证选项；对 B，用对立事件概率公式计算两
次抽奖至少中奖一次的概率进行判断；对 C，将递推公式变形构造等比数列 ，求出通项后分奇偶
讨论验证选项；对 D，根据通项公式分析奇偶项的单调性，进行判断.
【详解】对于 A：由题意可得 ，
所以 ，A 正确；
对于 B：第一次未中奖的概率为 ，在第一次未中奖的条件下，第二次也未中奖的概率为 ，
因此，两次均未中奖的概率为 ，由对立事件的概率可得其中奖概率为： ，B 错误；
对于 C：由 得 ，所以 等比数列，
首项为 ，公比为 ，
所以 .
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当 为奇数时， ；
当 为偶数时， 随 增大而减小，当 时取得最大值 ，
综上， 最大值为 ，C 正确；
对于 D：当 为奇数时， ，随 的增大而增大；
当 为偶数时， 随 增大而减小，D 错误；
故选：AC.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知函数 若 ，则 ________________.
【答案】
【解析】
【分析】求出 ，再代入求值即可
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 且 ，得 .
故答案为：
13. 若一个圆台的高为 ，母线与底面所成角为 ，侧面积为 ，则该圆台的体积为______________.
【答案】
【解析】
【分析】设上底面半径为 ，结合题意得母线 ，下底面半径为 ，再结合侧面积求得 ，最
后计算体积即可.
【详解】如图，根据题意， ， ，
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所以，在 中， ， ，
设上底面半径为 ，则下底面半径为 ，
所以圆台的侧面积为 ，解得
所以圆台的体积为
故答案为：
14. 干支纪年是中国的一种纪年法，分别排列出十天干与十二地支如下：
天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与
第二个地支“丑”配出“乙丑”，…，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一
个地支开始循环使用．若 2026 年即丙午年为第 1 年，则第 年是____________年（用干支纪年表示）．
【答案】丙午
【解析】
【分析】将问题利用二项式定理解决整除问题求解.
【详解】由题意可知干支纪年排列的周期为 .
，
由二项式定理，
，
则除最后一项 外，其余各项都能被 整除，
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而 ，
则除最后一项 外，其余各项都能被 整除，
所以 被 除所得余数为 ，即第 年与第一年的干支纪年相同，
故答案为：丙午.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：根据正弦定理将条件 中的角转化为边，再结合余弦定理得出
，进而即可得出结论.
方法二：根据 ，将条件 转化为角之间的关系，求出 .
（2）根据三角形的面积公式求解.
【小问 1 详解】
方法一：由条件及正弦定理， ，所以 ，
由余弦定理， ，
，化简得 ，
所以 ，可得 ，
，又 ，所以 ．
方法二：由题意 ，所以 ，
又由 ，得 ，故
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，
即 ，
解得 ，从而 ．
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
的面积为 ．
16. 某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的 480 名同学进行了
问卷调查，得到如下 列联表：
对活动的评价 满意 不满意 合计
男生 240 40 280
女生 120 80 200
合计 360 120 480
（1）根据小概率值 的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关；
（2）在对活动评价“不满意”的学生中抽取 2 名男生和 4 名女生，从中任选 3 人了解不满意的原因，记选中
的 3 人中男生人数为 ，求 的分布列和数学期望．
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）与性别有关
（2）分布列见解析，1
【解析】
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【分析】（1）提出零假设，计算出 的值并比较大小即可得出结论；
（2）易知 的所有可能取值为 0，1，2，分别求出对应概率即可求得分布列和期望.
【小问 1 详解】
零假设为 ：对活动的评价与性别无关，
根据表中数据可得， ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为对活动的评价与性别有关，该推断犯
错误的概率不超过 0.001.
【小问 2 详解】
的所有可能取值为 0，1，2，
，
故 的分布列为
0 1 2
.
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 为 的中点， 为棱 上
一点．
（1）当 时，求证： 平面 ；
（2）已知平面 平面 ，当二面角 的大小为 时，求
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．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，证明四边形 是平行四边形，可得 ，利用线面平行的判
定定理证明；
（2）法 1，由题易得 平面 ， ，以 为原点， 所在直线分别为 轴，
轴， 轴建立空间直角坐标系，设 ，求出平面 和平面 的法向量，利用向量法求解；
法 2，作 于点 于点 ，即得 ，运算得解.
【小问 1 详解】
由条件得， 是 的中点，取 的中点 ，连接 ， ， （如图 1），
则 ，
在菱形 中， 为 的中点，所以 ，
所以 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
则 ，而 平面 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
由 为 的中点，则 ，
而平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 .
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（方法一）底面 是菱形， ，所以 为正三角形，则 ，
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系（如图 2），
则 ，
设 ，其中 ，则 ，
，
设平面 的法向量为 ，所以 ，
即 ，取 ，可得 ，
又平面 即平面 的法向量为 ，
由二面角 的大小为 ，则 ，
即 ，化简得 ，
又 ，所以 ，即 .
（方法二）作 于点 于点 ，连 （如图 3），
依题意， 平面 ，
故 平面 ，从而 ，故 ，
设 ，则 ，
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而 ，故 ，
又 ，故 ，解得 ，即 .
18. 已知双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线方程为 ， 为坐标
原点，直线 经过点 与双曲线的右支交于 M，N 点， 为 MN 的中点．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）直线 平行于 ，且与双曲线的右支相切于 点．
（i）求证：O，P，Q 三点共线；
（ii）设直线 与两条渐近线相交于 A，B 点，直线 与两条渐近线相交于 C，D 点，记 的面
积分别为 ，求 的最大值．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析（ii）
【解析】
【分析】（1）依题意可得 、 ，结合 ，即可求出 、 ；
（2）（i）设直线 方程为 ，联立直线与双曲线方程，消元，
列出韦达定理，即可求出 ，再设直线 的方程为 ，计算出 ，即可证明；
（ii）记 与 轴的交点为 ，则 ，结合 的范围计算可得.
【小问 1 详解】
双曲线 的渐近线方程为 ，
依题意可得 ，即 ，又 ， ，
解得 ，
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所以双曲线 的标准方程为 ．
【小问 2 详解】
（i）设直线 方程为 ，
联立方程， ，得 ，
则 ，
所以 ，
则 .
可知直线 的斜率为 ，
设直线 的方程为 ，
联立方程 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，解得 ，从而 ，
可知直线 的斜率 ．
由 ， 为公共点，所以 ， ， 三点共线．
（ii）记 与 轴的交点为 ，由（i）知点 坐标为 ．
因为直线 平行于 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 的最大值为
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19. 已知函数 ．
（1）若直线 与函数 的图象均相切，求直线 的方程；
（2）记 ．
（i）求 的单调区间；
（ii）若 ，其中 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）（i）单减区间为 ，无单增区间（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设两个函数的切点，根据导数的几何意义和点斜式写出两个函数对应的切线方程，让其系数
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相等，再令 ，求导即可求出；
（2）（i）先得到 的解析式，求其二阶导数，通过判断二阶导数进而判断一阶导数的正负，最后根据导
数与单调性的关系即可判断；
（ii）通过 可得 ， 再将 转化成 ，最后令
，求导判断单调性即可.
【小问 1 详解】
定义域为 ，
设函数 图象上的切点为 ，
切线方程为 ，
设函数 图象上的切点为 ，
切线方程为 ，
比较对应项系数，有 ，消元得 ．
令 ，则 ，故 为单调减函数，
当且仅当 时， ，
所以 ，直线 的方程为 ．
【小问 2 详解】
（i） ，其定义域为 ．
记 ，则 ．
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
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故 ，即 在 上单调递减．
所以 的单减区间为 ，无单增区间．
（ii）由（i）及 知，当 时， ，当 时， ，
因为 ，且 ，所以 ，
要证 ，只需证 ，即 ，
也就是 ，
令 ，
则 ，
记 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
，故 在 上单调递减，
，得 ，
从而 ，即 ．