安徽省蚌埠市2025届高三上学期第一次教学质量检查考试（1月）数学试卷（Word版附解析）

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本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A 0 B. 1 C. D.
2. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A. B. 5 C. D. 2
3. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线 与圆 相交于点 P，Q，则 （ ）
A. B. C. 2 D.
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 若等差数列 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知三棱锥 中， 是边长为 3 的正三角形， ，平面 平面 ，则该
三棱锥的外接球体积为（ ）
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A B. C. D.
8. 抛掷一枚骰子一次，观察向上一面的点数，将结果记作 ．若事件 ，事
件 ，事件 C 满足 ，则事件 C 的个数为（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知点 P 在抛物线 上，点 M 坐标为 ，O 为坐标原点．若 是等腰直角三
角形，则 p 的值可以为（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
10. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值可以是（ ）
A. 1 B. C. 6 D. 9
11. 已知 ， ，且 ，其中 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（
）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知随机变量 ，若 ，则 ______．
13. 的展开式中系数最大的项为______．
14. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ， ，点 是 与 的交点．记椭圆
在点 P 处的切线为直线 m，双曲线 在点 P 处的切线为直线 n， 的平分线与 m，n 分别相交于点 M，
N，则 ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 怀远石榴是安徽省怀远县的特产，国家地理标志产品，唐代已有栽植．怀远石榴籽白莹澈如水晶，果实
大如碗，皮黄而透红，肉肥核细，汁多味甘．现按照怀远石榴的果径大小分为四类：特级果，一级果，二
级果，三级果．某果农从其果园采摘的石榴中随机选取 50 个，测量果径对照分类标准得到数据如表所示：
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等级 特级果 一级果 二级果 三级果
个数 5 10 20 a
（1）求 a 的值并计算三级果所占的百分比；
（2）用样本估计总体，该果农参考以下两种销售方案进行销售．
方案 1：分类出售，各等级石榴 市场价如表所示：
等级 特级果 一级果 二级果 三级果
售价（元/个） 10 8 5 2
方案 2：不分类出售，均按二级果售价出售．
从果农的收益考虑，不考虑其它因素应该采用哪种方案较好？说明理由．
16. 北京时间 2024 年 8 月 8 日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最
高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图
1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的 LOGO，如
图 2． 在 中 ， ， ， 点 B， H， C 在 线 段 上 ， 且
， 和 都是等腰直角三角形， ， 交 于点 D，
交 于点 E．
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）求四边形 的面积．
17. 如 图 ， 三 棱 柱 中 ， 侧 面 是 菱 形 ， 侧 面 是 正 方 形 ， ，
，点 是 的中点．
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（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18. 已知函数 ．
（1）求函数 在 处 切线方程；
（2）求函数 的极值；
（3）若关于 的方程 有两个根 和 ，求证： ．
19. 在反诈骗题材电影《孤注一掷》中有这样一个情节，作为程序员的男主角通过在拍照时摆出数字“6”的
手势向朋友发出求救信号，因为数字 6 的二进制表达式为 110．进位计数制是一种计数方法，可使用有限的
数字符号代表所有的数值，可使用数字符号的数目称为基数，基数为 即可称为 m 进制，
例如我们最常用的十进制，就是用 0~9 这十个阿拉伯数字表示所有的数值．对于正整数 n，若它的二进制表
达式为 ，则 ，其中 ， ，
，1，2，…， ，如 ， ．
（1）用二进制表示正整数 2025；
（2）对于正整数 n，若 ，记 ，求证： ；
（3）记 表示正整数 n 的二进制表达式中 0 的个数，求 ．
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