湖南省沅澧共同体2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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注意事项:
1. 本试卷共 6 页, 其中试题卷 4 页, 答题卡 2 页. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 答题前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑, 如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,只上交答题卡.
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.)
1. 设集合 A=x x2+x2 ,且 f1=2026 ，则满足不等式 fx−2026>2x−1014 的 x 的取值范围是( )
A. 2026,+∞ B. 2027,+∞ C. 1013,+∞ D. 1014,+∞
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数 gx=fx−2x ,通过 gx 的奇偶性和单调性求解函数不等式.
【详解】对任意 x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,fx2−fx1x2−x1>2 ,
令 gx=fx−2x ,可得 gx2−gx1x2−x1>0,gx 在 [0,+∞) 上是增函数,
∵fx 是奇函数, ∴gx 是奇函数, gx 在 R 上是增函数,
fx−2026>2x−1014 ,即 fx−2026−2x−2026>f1−2 ,
等价于 gx−2026>g1,∴x−2026>1,x>2027 .
故选: B
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 已知函数 fx=sin2x+3cs2x ,下列说法正确的有( )
A. fx 的最小正周期为 π
B. fx 的值域为 −2,2
C. fx 在 −π6,π6 上单调递增
D. 将函数 y=fx 的图象向右平移 π6 个单位长度后可以得到函数 y=2sin2x 的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】应用辅助角公式化简函数式,结合正弦型函数的性质依次判断 A、 B、C ,由图象平移写出解析式判断 D .
【详解】由 fx=sin2x+3cs2x=2sin2x+π3 ,其最小正周期为 T=2π2=π,A 对, 由 sin2x+π3∈−1,1 ,则 fx 的值域为 −2,2,B 对,
由 x∈−π6,π6 ,则 2x+π3∈0,2π3 ,显然 fx 不单调, C 错,
函数 y=fx 的图象向右平移 π6 个单位长度,
则 fx−π6=2sin2x−π6+π3=2sin2x , D 对.
故选: ABD
10. 设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和,若 S150 ,从而可得 S14>0 ,结合 S15a8 ,故 B 错误;
对于 C ,由题意等差数列 an 单调递减,且 a80 ,
即数列 an 的前 7 项为正,从第 8 项起为负,所以 S7 最大,
即 Sn 取得最大值时, n=7 ,故 C 正确;
对于 D ,由 B 可知 a7+a8>0 ,所以 a1+a14>0 ,
所以 S14=14a1+a142=7a1+a14>0 ,且 S150 成立的最大整数 n 为 14 ，故 D 正确.
故选: ACD.
11. 如图,若正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2,E 为 CC1 的中点,则( )

A. A1B 与 B1C 所成的角为 π4
B. DB1⊥A1B
C. AE=3
D. DB1 与平面 ABCD 所成角的正切值是 22
【答案】BD
【解析】
【分析】先建立空间直角坐标系,再应用异面直线夹角的余弦公式计算判断 A ; 应用数量积公式计算判断 B; 应用向量的模长公式计算判断 C ; 应用线面夹角正弦公式计算判断 D .
【详解】以 D 点为原点,以 DA,DC,DD1 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 D0,0,0,A2,0,0,A12,0,2,B2,2,0,C0,2,0,B12,2,2,E0,2,1 , 所以 A1B=0,2,−2,B1C=−2,0,−2,A1B=0,2,−2,DB1=2,2,2,AE=−2,2,1 , 所以 csA1B,B1C=A1B⋅B1CA1B⋅B1C=422×22=12 ,
所以 A1B 与 B1C 所成的角为所成的角为 π3 ,故 A 错误;
由 A1B⋅DB1=0×2+2×2+−2×2=0 ,可知 DB1⊥A1B ,故 B 正确;
由 AE=−2,2,1 ,得 AE=−22+22+12=3≠3 ,故 C 错误;
平面 ABCD 的一个法向量为 DD1=0,0,2 ,设 DB1 与平面所成的角为 θ ,
所以 sinθ=DD1⋅DB1DD1⋅DB1=42×23=33 ,则 csθ=1−sin2θ=1−332=63 ,
所以 tanθ=sinθcsθ=3363=22 ,故 D 正确,
故选: BD.
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 抛物线 y=x2 在 x=1 处的切线斜率为_____.
【答案】2
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】由 y=x2 ,得 y′=2x ,所以 y′x=1=2×1=2 ,
所以抛物线 y=x2 在 x=1 处的切线斜率为 2 .
故答案为: 2 .
13. 已知向量 a=−2,m,b=1,−2 ，若 a⊥b ，则 m 的值为_____.
【答案】 -1
【解析】
【分析】 a⊥b 等价于 a⋅b=0 ,再应用数量积的坐标运算求解即可.
【详解】因为 a∠b ,所以 a⋅b=0 ,
又因为 a=−2,m,b=1,−2 ,
所以 −2−2m=0 ,所以 m=−1 .
故答案为: -1 .
14. 已知点 A−2,5 ，点 M 是抛物线 x2=8y 上的一点，点 B 是圆 F:x2+y−22=1 上的一点，则 MA+MB 的最小值为_____.
【答案】 6
【解析】
【分析】过 M 作准线的垂线,垂足为 M′ ,由 M′M=MF ,因此先求 MA+MF 的最小值,由此可知当 M′,M,A 共线时取得最小值.
【详解】由题意知,圆心 F0,2 是抛物线 x2=8y 的焦点,

过点 M 作抛物线准线 y=−2 的垂线,垂足为 M′ ,
记点 M 到抛物线 x2=8y 的准线的距离为 d ,
M′M=MF,MB≥MF−1=d−1≥2−1=1,
所以 MA+MB≥MA+MF−1=MA+d−1≥5+2−1=6 ,
当且仅当直线 AM 与抛物线的准线垂直,点 B 在线段 MF 上时,即 M′,M,A 共线时取得最小值, 等号成立,
所以 MA+MB 的最小值为 6 .
故答案为: 6
四、解答题(本题共 5 个小题, 共 77 分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.)
15. 已知 △ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且 bcsC2=csinB .
(1)求 C ；
(2)若 △ABC 的面积为 3 ，求 c 的最小值.
【答案】(1) C=π3
(2) 2.
【解析】
【分析】(1) 利用正弦定理将边化为角,结合三角恒等变换求角 C ;
(2)利用三角形面积公式和余弦定理结合基本不等式求 c 的最小值.
【小问 1 详解】
由已知及正弦定理得 sinBcsC2=sinCsinB ,
由 B∈0,π ,得 sinB≠0 ,得 csC2=sinC=2sinC2csC2 ,
由 C∈0,π ,得 C2∈0,π2 ,得 csC2≠0 ,得 sinC2=12 ,
得 C2=π6 ,得 C=π3 ;
【小问 2 详解】
由 S△ABC=12absinC=34ab=3 ,得 ab=4 ,
由余弦定理得 c2=a2+b2−2abcsC=a2+b2−ab ,
因为 a2+b2−ab≥2ab−ab=ab=4 ,
当且仅当 a=b=2 时,等号成立,
所以 c2≥4 ,得 c≥2 . 故 c 的最小值为 2 .
16. 已知数列 an 满足 a1=2 ,且 an+1=2an+3 .
(1)证明:数列 an+3 是等比数列;
(2)求 an 的通项公式；
(3)求 an 的前 n 项和 Sn .
【答案】(1)证明见详解
(2) an=5×2n−1−3
(3) Sn=5×2n−3n−5
【解析】
【分析】(1) 根据等式构造数列 an+3 相邻两项,并求得其比值,即可证明;
(2)由(1)求得数列 an+3 的通项公式，即可求得 an 的通项公式；
(3)由(2)中 an 的通项公式，通过等比数列的前 n 项和公式求得结果.
【小问 1 详解】
∵an+1=2an+3,∴an+1+3=2an+3 ,即 an+1+3an+3=2 ,
∴ 数列 an+3 是以 a1+3=5 为首项， q=2 为公比的等比数列
【小问 2 详解】
由( 1 )可知 an+3=a1+3qn−1=5×2n−1 ，
∴an=5×2n−1−3
【小问 3 详解】
Sn=5×20+21+22+⋯+2n−1−3n
Sn=5×1×1−2n1−2−3n=5×2n−3n−5.
17. 如图，在三棱锥 P−ABC 中， △PAB 是边长 2 的等边三角形， PC=3,AC=BC=7 .

(1)证明:平面 PAB⊥ 平面 ABC ；
(2)求点 B 到平面 PAC 的距离；
(3) 求二面角 A−PC−B 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 263
(3) 223
【解析】
【分析】(1) 取 AB 中点 O ,连接 PO,CO ,根据等边及等腰三角形的性质,可证 PO⊥AB,CO⊥AB , 根据勾股定理,可求得 PO,CO 的长,根据 AC 的长,结合勾股定理,可证 PO⊥CO ,根据线面
垂直的判定定理,可证 PO⊥ 平面 ABC ,根据面面垂直的判定定理,即可得证.
(2)如图建系，求得各点坐标和各个所需向量坐标，可求得平面 PAC 的法向量，根据点到平面距离的向量求法, 代入数据, 即可得答案.
(3)求出平面 PBC 的法向量，根据二面角的向量求法，可求得二面角的余弦值，根据同角三角函数的关系, 即可得答案.
【小问 1 详解】
证明: 取 AB 中点 O ,连接 PO,CO ,如图所示,

因为 △PAB 是边长为 2 的等边三角形， O 为 AB 中点，
所以 PO⊥AB ,且 PO=PA2−AO2=3 ,
因为 AC=BC=7,O 为 AB 中点，
所以 CO⊥AB ，且 CO=AC2−AO2=6 ，
因为 PC=3 ,所以 PC2=PO2+CO2 ,所以 PO⊥CO ,
因为 AB∩CO=O ， AB,CO⊂ 平面 ABC ，
所以 PO⊥ 平面 ABC ,
所以 PO⊂ 平面 PAB ,所以平面 PAB⊥ 平面 ABC .
【小问 2 详解】
由( 1 )得 OB,OC,OP 两两垂直，则以 O 为原点， OB,OC,OP 所在直线为 x,y,z 轴建系，如图所示,

则 B1,0,0,C0,6,0,A−1,0,0,P0,0,3 ,
所以 AC=1,6,0,AP=1,0,3,AB=2,0,0,BP=−1,0,3,BC=−1,6,0 ,
设平面 PAC 的法向量 n=x1,y1,z1 ,
则 n⋅AC=0n⋅AP=0 ,即 x1+6y1=0x1+3z1=0 ,
令 x1=6 ,则 y1=−1,z1=−2 ,即 n=6,−1,−2 ,
所以点 B 到平面 PAC 的距离 d=AB⋅nn=266+1+2=263
【小问 3 详解】
设平面 PBC 的法向量 m=x2,y2,z2 ,
所以 m⋅BP=0m⋅BC=0 ,即 −x2+3z2=0−x2+6y2=0 ,
令 x2=6 ,则 y2=1,z2=2 ,即 m=6,1,2 ,
由( 2 )得平面 PAC 的法向量 n=6,−1,−2 ，
所以 cs⟨m,n⟩=m⋅nmn=6−1−23×3=13 ，
所以 sin⟨m,n⟩=1−cs2⟨m,n⟩=223 ,即二面角 A−PC−B 的正弦值 223
18. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,离心率为 32 . 过点 F1 的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点. 当 AF1⊥x 轴时, AF1=12 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 M−3,1 ，当 △ABM 面积为 252 时，求直线 l 的方程.
【答案】(1) x24+y2=1
(2) x−y+3=0 或 x+y+3=0
【解析】
【分析】(1) 利用离心率得出 c=32a ,进而得出 a=2b,c=3b ,再利用 AF1⊥x 时, AF1=12 得出点 A 的坐标,代入椭圆的方程即可求解;
(2)设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理求出弦长 AB ，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高, 即可求解.
【小问 1 详解】

∵ 离心率 e=ca=32,∴c=32a ,
又 b2=a2−c2=a2−34a2=14a2 ,即 a=2b ,则 c=3b ,
∴ 椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 可化为 x24b2+y2b2=1 ,
∵ 当 AF1⊥x 轴时, AF1=12,∴xA=−c,yA=12 ,
∵ 点 A 在椭圆上， ∴c24b2+14b2=1 ，将 c=3b 代入，得 b2=1 ， ∴b=1 ， ∴a=2,c=3,∴ 椭圆 C 的方程为 x24+y2=1 ;
【小问 2 详解】

由(1)知 F1−3,0 ,设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,
当直线 l 的斜率不存在时, l:x=−3,∵M−3,1 ,
∴ 此时 A,B,M 三点共线,不能构成三角形,故不满足题意;
当直线 l 的斜率存在时,设 l:y=kx+3 ,
联立直线 l 与椭圆的方程 y=kx+3x24+y2=1 ,消去 y ,得 1+4k2x2+83k2x+12k2−4=0 ,
则 x1+x2=−83k21+4k2,x1x2=12k2−41+4k2 ,
∴AB=1+k2−83k21+4k22−4⋅12k2−41+4k2=41+k21+4k2 ,
又点 M−3,1 到直线 l:y=kx+3 的距离 d=−3k−1+3kk2+1=1k2+1 ,
∴S△ABM=12⋅AB⋅d=12⋅41+k21+4k2⋅1k2+1=21+k21+4k2=225 ,
化简得 32k4−9k2−23=0 ,解得 k2=1 或 k2=−2332 (舍),则 k=±1 ,
经检验 k=±1 符合题意.
∴ 直线 l 的方程为 x−y+3=0 或 x+y+3=0 .
19. 已知函数 fx=m2+n1+2x 是定义在 R 上的奇函数,且 f1=−16 .
(1)求 m,n 的值；
(2)判断函数 fx 在 R 上的单调性并用定义证明;
(3)求不等式 ft2−2t+f1−kt