浙江省衢州市2025-2026学年高二上学期2月期末考试数学试题（Word版附解析）

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1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.
2.试卷共4页，有4大题，19小题.满分150分，考试时间120分钟.
3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.
选择题部分（共58分）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】因为直线方程为，所以直线的斜率，
设倾斜角为，则，又，所以，
故选：B.
2. 已知数列为等差数列，，，则（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列下标和的性质求解.
【详解】因为是等差数列，，所以，
所以，
故选：C.
3. 函数在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式可得结果．
【详解】，所以，
则切线方程为，整理得．
故选：D．
4. 已知向量满足，，，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由共线向量可设，再由数量积运算即可求解．
【详解】由，，得，
由得，，得，则，
得，
故选：C
5. 在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的定义判断轨迹为椭圆，由求得，由求得，即可得到椭圆方程.
【详解】由题意得，，
则点的轨迹为以为焦点的椭圆，所以，即.
因为为轴上关于原点对称的两点，所以椭圆的焦点在轴上，
设其方程为，，则，
将代入方程得，
因为，所以，解得，故椭圆方程为.
故选：A.
6. 已知奇函数的定义域为，当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知不等式构造函数，利用其单调性和奇偶性逐项求解判断.
【详解】令，因为当时，，
所以，所以在单调递增，
定义域为，对，
且，所以是偶函数，
对于A、B：因为，即，所以，A、B错误；
对于C：因为，即，所以，C正确；
对于D：因为，即，所以，D错误.
故选：C.
7. 已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前项和，对，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由等比数列通项公式求出，再根据其单调性判断的范围，利用放缩法求出范围，作出相应判断.
【详解】因为数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，整理得.
对于A、B：由指数函数性质可知，因为，所以单调递减，
当时，，A、B错误；
对于C、D：因为当时，，所以，
所以，
C错误，D正确；
故选：D.
8. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，当时，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，由双曲线的定义得到，利用余弦定理得到，解得，利用计算出，利用的周长为即三角形的面积公式得到，代入，的值，经过整理，通过计算求出双曲线的离心率的值.
【详解】双曲线：（，）的左右焦点分别为，，
为双曲线右支上一点，
设，，
，
，，
，
，
，，
，，
的周长为，
的内切圆半径为，
，
，
，，
，，，
转化为，
，
，
，
，
，
，
双曲线的离心率为，，.
故选：D.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（ ）
A. 抛物线的准线方程为B. 当的倾斜角为时，
C. 当垂直于轴时，弦长最小D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由抛物线方程可判断A,利用抛物线定义结合几何图形运算可判断BCD．
【详解】由抛物线：可得焦点，准线方程为，故A正确；
如图根据抛物线的定义可知：，，
由，故B正确；
设，则，
同理可得：，
所以，
此时取到最小值，故C正确；
由上可得：，故D错误；
故选：ABC
10. 若函数，则（ ）
A. 只有一个零点B. 为的极大值点
C. 当时，D. 当时，
【答案】BC
【解析】
【分析】解方程，可判断A选项；利用函数极值点与导数的关系可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断C选项；利用函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，由可得，或，故函数有两个零点，A错；
对于B选项，，
由可得，由可得或，
所以函数减区间为、，增区间为，
故为函数的极大值点，B对；
对于C选项，当时，，，则，C对；
对于D选项，因为函数在上单调递减，且当时，，
即，所以，D错.
故选：BC.
11. 已知数列，满足，，，为数列的前项和（），则（ ）
A. B. 数列为等比数列
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】应用分段数列计算判断A，分项数为奇数及偶数结合等比数列定义计算判断B，C，应用分组求和及等比数列求和公式计算判断D.
【详解】因为数列，满足，
所以，，A选项正确；
当项数为偶数时，，所以，
所以，
，且，所以数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，B选项正确；
，所以，所以，C选项错误；
当项数为奇数时，，
，D选项正确；
故选：ABD.
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列满足，（），，则______.
【答案】0
【解析】
【分析】根据数列的周期性求解.
【详解】由可得，
两式相减得，即
所以是周期为2的周期数列.
因为，所以，因为为偶数，所以，
故答案为：.
13. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线与该椭圆交于，两点，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由，得，不妨设点为上顶点，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，求出交点的横坐标，再由弦长公式求解．
详解】依题意得，，得
则，而，得，
则点为椭圆的短轴的一个端点，不妨设点为上顶点，即
则直线的方程为：，
即，
由，消去，得，
得或，
得，
故答案为：
14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】令，可得，原不等式可化为，令，要使对所有恒成立，需满足，进而求出的取值范围.
【详解】由不等式可知，令，
对，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
当时，取得极大值也是最大值，又时，，时，，
所以.
又，
所以原不等式可化为，
令，
则，当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又，所以要使对任意成立，则区间不能取得使的值，
由函数性质可知当时会出现负值，故须满足，解得，又，所以，
即实数的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线：，圆：.
（1）求证：直线过定点；
（2）若直线与圆交于，两点，求弦长的取值范围，并求取到最值时对应的值.
【答案】（1）证明见解析
（2），时弦长最小，时弦长最大
【解析】
【分析】（1）利用方程变形为，即可得到直线过的定点为；
（2）利用圆的几何性质，即可得到最长弦和最短弦，及对应的直线斜率.
【小问1详解】
直线；可化为，
令，求得，直线过定点.
【小问2详解】
圆：，
可知圆心为，半径为.
直线：的斜率为，
记定点，，点在圆内，
当直线过圆心时，弦长最长，
由，此时，弦长的最大值为
当直线时，弦长最短，
此时，，弦长最小值为，
故弦长的取值范围为，
时弦长最大，时弦长最小.
16. 如图，在三棱锥中，，，.

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，通过等腰三角形性质证明垂直于平面内的两条相交直线和，从而证得平面，进而得到；
（2）先通过已知条件计算线段长度，证明，再以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，最后利用向量夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
取中点，连接，，

，，，
又，，平面
直线平面，平面，.
【小问2详解】
，，
，且，
又，，
又，，，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，

设平面的法向量，
则，即，
令，解得平面的一个法向量，
直线与平面所成角的正弦值.
直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知数列的前项和为（）.
（1）若，
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）数列满足，，求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为1，公差为（）的等差数列，且，，求证：.
【答案】（1）（ⅰ）（ⅱ）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先利用与​的关系求出等比数列{​}的通项，再通过累加法或构造常数列求出{}的通项；
（2）对分式递推式，通过累乘法或构造常数列求出{}的通项，再裂项相消求和并分析其范围.
【小问1详解】
（ⅰ）令，，，
当，，则，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，故.
（ⅱ）
，
另解：，则，
则数列是常数列，则，故.
【小问2详解】
由题意知，
，
（另解：，
则数列是常数列，所以，，
，
则，
因为，故.
18. 设函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围；
（3）若有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上单调递增，无减区间
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间.
（2）求出导数得函数，再利用导数探讨函数性质，进而求出范围.
（3）等价变形不等式并构造函数，再利用导数求出最大值，利用不等式有解列式求出范围.
【小问1详解】
当时，，其定义域为，求导得，
令，求导得，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，则，
所以上单调递增，无减区间.
【小问2详解】
依题意，，
由（1）得上单调递减，在上单调递增，，
当，时，，则当有两个零点时，，解得，
所以实数的取值范围是.
【小问3详解】
不等式有解，
即有解，令，
求导得，
由，得；由，得
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
19. 已知抛物线：，过点的直线交于，（）两点，点在线段上.
（1）求证：；
（2）若点不在直线上，斜率为的直线分别交直线，，于，，三点，
（ⅰ）求证：点为线段的中点；
（ⅱ）当直线经过点时，记的面积为，的面积为，求的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）法一：设直线的方程，联立，韦达定理，代入证明即可；法二：设，，由，，三点共线，可证明；
（2）（ⅰ）设，，分别计算直线与直线，，的交点纵坐标，利用，证明即可；（ⅱ）利用点为线段的中点，可得，代入，运算，求最值即可.
【小问1详解】
（1）法一：设直线方程为，
联立，
则，故；
法二：由在抛物线上，可设，
，
由，，三点共线可知与共线，
则，
化简得
即.
【小问2详解】
由小问1知：，，满足.
（ⅰ）设直线：，由：，
则，：，
则，由，则，
同理
则
所以点为线段的中点.
（ⅱ）联立直线与抛物线方程得：
当与相切时，满足，
即，解得，
又因为直线与抛物线相交，所以交点介于临界状态切点之间，
所以，
又因为直线过点时，，
则，
因为，则.
令，则，
当时取等，故的最大值为.