浙江省衢州市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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命题：万祺、范君华、毛立东 审题：张丽
考生须知：
1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.
2.试卷共 4 页，有 4 大题，19 小题.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.
一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合 交集运算求解.
【详解】解：因为集合 ， ，
所以 ，
故选：B
2. 已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的图象过点 ，求出函数解析式，代入可得答案.
【详解】设 ，因为幂函数 的图象过点 ，所以 ，
解得 ，所以 .
故选：D.
3. “ ”是“ ”的（ ）
第 1页/共 18页A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先化简指数不等式，结合四类条件的定义进行判断.
【详解】因为 ，所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
4. 下列不等关系成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数单调性和三角函数值可以比较大小.
【详解】对于 A， ，所以 ，A 不正确；
对于 B， ，所以 ，B 正确；
对于 C， ，C 不正确；
对于 D， ，D 不正确.
故选：B
5. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
第 2页/共 18页C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的性质及特殊值可以判断.
【详解】由题意， 时， ，排除 C,D 选项；
，可以排除 B 选项.
故选：A
6. 已知函数 ， ， 的零点分别为 ， ， ，则 ，
， 的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断单调性，结合零点存在定理可得答案.
【详解】易知三个函数均为增函数，又 ，所以 ；
，所以 ，所以 .
故选：B
7. 已知函数 的图象关于点 中心对称的充要条件是函数 为奇函数，则函数
图象的对称中心是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得 的定义域，从而得到 ，再利用奇函数的性质列式求得 ，从而得解.
第 3页/共 18页【详解】对于 ，有 ，解得 ，
所以 的定义域为 ，
而 的图象的对称中心为 ，则 ，
所以 为奇函数，则有 ，
即 ，
所以 ，故 .
故选：C.
8. 已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且 ， 在 上单调
递增，则下列不等关系恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由题设得函数 和 的单调性情况，进而得 ， ，从而即
可一一判断各选项.
【详解】由题意可知 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 上单调递增，且
，
所以 ， .
对于 A， 因为 ， 在 上单调递增，所以 ，故 A 错误；
对于 B，因为 ， 在 上单调递增，所以 ，故 B 错；
对于 C，因为 ， 在 上单调递减，所以 ，故 C 正确；
对于 D，因为 正负不知， 所以 大小关系不定，故 D 错；
故选：C.
第 4页/共 18页【点睛】关键点睛：解决本题的关键是依据题设求得函数 和 的单调性情况，进而得
， .
二、选择题（本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分）
9. 若 ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由指数运算性质即可判断 A；直接利用基本不等式计算即可判断 B；由对数运算性质和对数函数性
质结合基本不等式即可判断 C；由基本不等式“1”的妙用方法计算即可判断 D.
【详解】由题 ， ，且 ，
对于 A， ，故 A 正确；
对于 B， ，当且仅当 时等号成立，故 B 正确；
对于 C，由 B 可知 ，当且仅当 时等号成立，又函数 为增函数，
所以 ，故 C 错误；
对于 D， ，当且仅当 即 时
等号成立，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 是奇函数 B. 图象有对称轴
C. 是周期函数 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义可判断 A，B，利用周期函数的定义可判断 C，利用三角函数值的大小可以判断
第 5页/共 18页D.
【详解】对于 A，因为
，所以 是偶函数，A 不正确；
对于 B，由 A 可知 的图象关于 轴对称，B 正确；
对于 C， ,所以 是周期函数，C 正确；
对于 D， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，且 在区间 为增函数，
所以 ，即 ，D 正确.
故选：BCD.
11. 已知正实数 、 满足 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【 分 析 】 利 用 放 缩 法 可 得 出 ， 解 此 不 等 式 ， 可 判 断 A 选 项 ； 由 可 得
，结合零点存在定理可判断 B 选项；利用放缩法可得出 ，可判断 C 选项；由
可得 ，结合零点存在定理可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，因为 、 都是正实数，则 ，可得 ，解得 ，A 对；
对于 B 选项，因为 ，由 可得 ，
因为函数 ， 在 上均为增函数，
第 6页/共 18页故函数 在 上为增函数，
因为 ， ，
由零点存在定理可知，方程 的实数解 ，B 对；
对于 C 选项，因为 且 ，则 ，则 ，C 错；
对于 D 选项，由 可得 ，
因为函数 、 在 上均为增函数，
所以，函数 在 上为增函数，
因为 ， ，
所以， ，D 对.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于将题中等式变形，将其转化为方程根的问题，并结合函数零点
存在定理来求解.
三、填空题（本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 若 ，则 ______.
【答案】2
【解析】
【分析】利用对数的运算公式可求答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：2
13. 玉璜，是一种佩戴饰物.在中国古代，玉璜与玉琮、玉璧、玉圭、玉璋、玉琥等总称为“六瑞”，被《周礼》
一书称为是“六器礼天地四方”的玉礼器，多作为宗教礼仪挂饰.现有一弧形玉璜呈扇环形，已知 ，弧
长为 ，弧 长为 ，此玉璜的面积为______.
第 7页/共 18页【答案】
【解析】
【分析】设弧 对应的圆半径为 R，圆心角为 ，易得 ，求得 R，再利用扇形面
积公式求解.
【详解】设弧 对应的圆半径为 R，圆心角为 ，
由题意得： ，
解得 ，
所以玉璜的面积为 ，
故答案为： .
14. 已知函数 在 上有 4 个不同零点，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】分析可得 ，对函数 在 上的零点个数进行分类讨论，可得
出函数 在 上的零点个数，综合可求得实数 的取值范围.
【详解】因为函数 在 上至多两个零点，故 ，
且二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
对于二次函数 ， ，
当 时，即当 时，
函数 在 上无零点，
此时，函数 在 上只有一个零点，不合乎题意；
当 时，即当 时，函数 在 上只有一个零点，
第 8页/共 18页而函数 在 上只有一个零点，不合乎题意；
当 时，即当 时，
函数 在 上有两个零点，
则函数 在 上有两个零点，所以， ，此时， 不存在；
当 时，即当 时，函数 在 上只有一个零点，
则函数 在 上有三个零点，则 ，此时， .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：已知函数 零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
四、解答题（本题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在平面直角坐标系 中，角 是第二象限角，且终边与单位圆交于点 .
（1）求实数 及 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ； ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由题意列式 即可求解 m，再由正切函数定义即可得解；
第 9页/共 18页（2）由 结合诱导公式和齐次式弦化切即可计算得解.
【小问 1 详解】
由题意可得 ，所以 .
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
所以
16. 已知函数 且 .
（1）若 ，求函数 的定义域及值域；
（2）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围.
【答案】（1）定义域为 ，值域为 ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）当 时，可得函数 的解析式，进而求出函数 的定义域，求出真数的取值范围，
结合对数函数的单调性可求得函数 的值域；
（2）分 、 两种情况讨论，利用复合函数的单调性列出关于实数 的不等式组，综合可求得
实数 的取值范围.
【小问 1 详解】
当 时， ，
由 ，可得 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
因为 ，所以 ，
第 10页/共 18页又函数 为增函数，所以 ，
故当 时，函数 的定义域为 ，值域为 .
【小问 2 详解】
当 时，函数 为减函数，
因为函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递减，且 在 上恒成立，
所以 ，该不等式组无解；
当 时，函数 为增函数，
因为函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，且 在 上恒成立，
所以 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
17. 已知函数 在区间 上的值域为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若对任意 ，存在 使得 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
第 11页/共 18页（2）
【解析】
【分析】（1）由 结合正弦型函数的基本性质可求出函数 的值域，进而可得出关于 、 的
方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数 的解析式；
（2）由题意可知， ，求出 在 时的最小值，可得出
，由此可得出关于 的不等式，解之即可.
【小问 1 详解】
因为 ，则 ，则 ，
因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，因此， .
【小问 2 详解】
由题意可得 ，
因为 ，所以， ，则 ，故 ，
因为 ，则 ，
由题意可得 ，即 ，
所以， ，解得 ，
因此， 的取值范围是 .
18. 已知函数 ， .
第 12页/共 18页（1）讨论函数 的单调性（无需证明）；
（2）若 ，解关于 的不等式 ；
（3）若关于 的方程 有两个不同的解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出函数 的定义域，分 、 、 三种情况讨论，结合基本函数的单调性可
得出函数 的单调性；
（2）由函数 的定义域可得出 且 ，当 时，分析函数 在 上的单调性，由
可得出关于 的不等式，解之即可；
（3）令 ，则函数 在 上为增函数，且 ，由题意可知，方程 在
上有两个不同的解，即 在 上有两个不同的解，令 ，由参变量
分离法可知直线 与函数 在 时的图象有两个交点，数形结合可得出实数 的
取值范围.
【小问 1 详解】
函数 的定义域为 ，
当 时，函数 在 和 上都 减函数；
当 时，函数 在 和 上都是减函数；
当 时，函数 在 和 上都是增函数，
在 和 上都是减函数.
第 13页/共 18页【小问 2 详解】
由函数 的定义域可知， ，解得 且 ，
由（1）可知当 时，函数 在 上是减函数，
由 ，可得 ，
可得 ，
因为 ，则有 ，解得 或 ，
因此，不等式 的解集为 .
【小问 3 详解】
令 ，则函数 在 上为增函数，且 ，
则方程 有两个不同的解等价于方程 在 上有两个不同的解，
即方程 在 上有两个不同的解，即 在 上有两个不同的解，
令 ，则 ，
则 在 上有两个不同的解，
因为函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
则 ，如下图所示：
第 14页/共 18页由图可知，当 时，即当 时，
直线 与函数 在 时 图象有两个交点，
因此，实数 的取值范围是 .
19. 设点集 是集合 的一个非空子集，若按照某种对应法则 ， 中的每一点
都有唯一的实数 与之对应，则称 为 上的二元函数，记为 .当二元函数 满足
对任意 ，均有：① ；② ；③ 成立，
则称二元函数 具有性质 .
（1）试判断二元函数 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）若 具有性质 ，证明：函数 具有性质 ；
（3）对任意具有性质 的函数 ，均可推出 具有性质 ，求实数 的取值
范围.
【答案】（1）具有，理由见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
第 15页/共 18页【分析】（1）根据题干中定义即可进行判断；
（2）依据定义只需证明函数 满足定义中的性质即可；
（3）首先证明 具有性质 P 时，必有 成立，然后分类讨论、 、 、 ，
说明是否满足定义中的性质，即可确定 m 的范围.
【小问 1 详解】
二元函数 具有性质 ，理由如下；
， ，
，
故 具有性质 ；
【小问 2 详解】
证明：因为 ， ，
下证： ，即证：
即 ，
又 具有性质 P，故 ，
结合 ，知 成立，
故 成立，即函数 具有性质 ；
【小问 3 详解】
先证明： 具有性质 P 时，必有 成立，
因为 具有性质 P，由③知 ；
由①知， ，故 ，即 成立；
（i）若 ，当 具有性质 P 时，知 ，且 也性质 P，
故 ，从而 恒成立，
故 ，即 ，
第 16页/共 18页取 得 与 矛盾，故 不满足题意；
（ii）若 ，则 ，故 ，
则 与 矛盾，故 不满足题意；
（iii）若 ，由 ，
，从而性质①②满足；
下面考虑性质③，
记 ，易知 ，
下证当 时，均有 ，
令 ，则 ，
由复合函数的单调性可知 在 上单调递增，
若 之中至少有一个大于 c，不妨设 ，故 ，
即 ，又 ，
故 成立，
若 均不超过 c，即 ，
则 ，
从而 时，恒有 成立，
即此时 具有性质 ,故 .
【点睛】难点点睛：本题考查了函数的新定义问题，要注意理解新定义的含义，难点在于第三问，要结合
第 17页/共 18页函数满足的性质，分类考虑，推出参数范围.