广东省广州市三校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知函数，则“函数图象的一条对称轴为”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4. 连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件“”的概率为
B. 事件“是偶数”与“”互为独立事件
C. 事件“”与“”互为互斥事件
D. 事件“且”的概率为
5. 设等比数列的前项和为，且满足，若，则数列的前10项和是（ ）
A 1535B. 1536C. 1537D. 1538
6. 已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数．若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，，是双曲线上的三个点，点，关于原点对称，线段经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设数列前项和为，关于数列有下列命题，其中正确的命题有（ ）
A. 若，则既是等差数列又是等比数列
B. 若，则为等差数列
C. 若为等差数列，则是等差数列
D. 若，则为等比数列
10. 已知正四棱柱底面边长为2，侧棱长为4，点分别为线段，上的动点，且，则（ ）
A.
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为
D. 当时，四面体的外接球的表面积为
11. 我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点．对于“优美曲线”，则（ ）
A. 曲线有8个顶点
B. 曲线上任意两点间的最大距离为
C. 曲线围成的图形面积为
D. 若点在曲线上，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 椭圆的焦点为、，以为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心点并与椭圆交于、两点，若四边形是菱形，则__________．
13. 已知，则__________．
14. 若图的关联结点（图中加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则恰有一个二部图的概率为__________.

四、解答题：本题5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在中，，点在线段上，，且．
（1）求和的值；
（2）的角平分线与相交于，求的长度．
16. 已知抛物线焦点为，直线与抛物线交于两点，与轴交于点．
（1）若的斜率为2，且，求直线的方程；
（2）若（为坐标原点），且，求弦的长．
17. 如图，四棱锥中，平面，，，，．
（1）若，平面平面，证明：平面；
（2）若，且二面角的余弦值为，求的长度．
18. 已知数列的前项和为，且，数列满足，且．
（1）求数列的通项公式，并证明数列为等差数列；
（2）如果数列前项积为，求的前项和；
（3）如果，且数列的前项和为，若存在，使得成立，求实数的取值范围．
19. 平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，点在上，且轴，的内切圆半径为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知圆，直线与圆相切，且与相交于两点，求证：；
（3）过点作斜率之积为1的两直线，若交于两点，交于两点，分别为的中点，求面积的最大值．