浙江省杭州学军中学2022-2023学年高三数学上学期期中试题（Word版附解析）

杭州学军中学2022学年第一学期期中考试高三数学试卷

一、单项选择题（每题只有一个正确选项，每题5分）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式，得到集合A,根据集合的交集运算，求得答案.

【详解】解不等式得： ，

故，

故，

故选：B

2. 已知复数的实部与虚部的和为12，则（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】先把已知化简，整理出复数的实部与虚部，接下来去求即可解决.

【详解】，

则有，，解得，

则，，故．

故选：C

3. 如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点，点G是棱的中点，则过线段AG且平行于平面的截而图形为（    ）

A. 等腰梯形 B. 三角形 C. 正方形 D. 矩形

【答案】A

【解析】

【分析】利用平行作出截面图形，即可判断形状.

【详解】取BC中点H，连接AH，GH，，.如下图所示：

由题意得，.又平面，平面，

平面，同理平面.又，平面，平面平面，故过线段且与平面平行的截面为四边形，显然四边形为等腰梯形.

故选：A

4. 某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为（    ）

A. 24 B. 36 C. 60 D. 240

【答案】C

【解析】

【分析】分两种情况分类计算，一种是基地只有甲同学在，另外一种是A基地有甲同学还有另外一个同学也在，两种情况相加即可.

【详解】当基地只有甲同学在时，那么总的排法是种；

当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是种；

则甲同学被安排到A基地的排法总数为种.

故选：C

5. 过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

作出图形，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，计算出圆的圆心到直线的距离为，可知圆内不在任何切点弦上的点形成以原点为圆心，半径为的圆的内部，利用圆的面积公式可求得结果.

【详解】如下图所示，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，

则，，，

则，且为锐角，所以，同理可得，

所以，，则为等边三角形，连接交于点，

为的角平分线，则为的中点，，

且，，

若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于，

即圆内的这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部，

因此，圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于确定圆内不切点弦上的点所构成的区域，为此需要计算出圆的圆心到切点弦的距离，找出临界位置进行分析.

6. 已知的展开式中的系数为40，则的值为（    ）

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】首先变形得，然后利用二项式展开式的通项公式求出的系数即可.

【详解】由题意可得，

在的展开式中，由，

令无解，即的展开式没有项；

在的展开式中，由，

令解得，即的展开式中的项的系数为，又的系数为40，所以，解得.

故选：B

7. 已知函数，，则图象如图的函数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合函数图像的奇偶性和单调性即可判断.

【详解】由图可知，该函数为奇函数，和为非奇非偶函数，故A、B不符；

当x＞0时，单调递增，与图像不符，故C不符；

为奇函数，当x→＋时，∵y＝的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故＞0且单调递减，故图像应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图像相符.

故选：D.

8. 如图，双曲线的右顶点为，左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，交左支于点，交渐近线于点是的中点，若，且，则双曲线的离心率是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】设，则，解得，即，由题意，所以，所以．又设，则，两式相减得，即，所以，又，化简得，．

故选B．

考点：双曲线的几何性质．

【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，求离心率，要建立的一个方程．考虑到，且在渐近线上，因此可得，是弦的中点，考虑用点差法得，而点坐标可由求得，从而关系式为，由此可得结论．本题把双曲线的性质与方法有机地结合在一起，才能简化运算过程，如果想不到这些性质与方法，难度较大．

二、多项选择题（每题至少有两个选项正确，每题5分）

9. 对于变量x和变量y，通过随机抽样获得10个样本数据，变量x和变量y具有较强的线性相关并利用最小二乘法获得回归方程为，且样本中心点为，则下列说法正确的是（    ）．

A. 变量x和变量y呈正相关

B. 变量x和变量y的相关系数

C.

D. 样本数据比的残差绝对值大

【答案】BC

【解析】

【分析】由回归方程中x的系数判断AB，将样本点中心代入回归方程得出，计算样本数据和的残差判断D.

【详解】解：由于回归方程中x的系数为，故变量x和变量y呈负相关，且相关系数，因此A选项错误，B选项正确；

将代入回归方程，解得，故C选项正确；

样本数据的残差为，

样本数据的残差为，故，因此D选项错误．

综上，BC选项正确．

故选：BC

10. 将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的值可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】化简解析式，根据函数图象变换的知识，求得的可能取值.

【详解】

，

向左平移得，

与函数的图象重合，故，

（1）若，

符合.

（2）若，

符合.

故选：AC

11. 已知函数有两个零点，则可以取到的整数值有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】将问题转化为与有两个不同交点的问题，令，可求得单调递增且存在，使得；设，利用导数可求得单调性，结合复合函数单调性的判断方法可知的单调性，由此可作出的大致图象，采用数形结合的方式可确定的范围，由此可得结果.

【详解】由题意知：定义域为，

有两个零点，有两个不等实根，

当时，恒成立，不合题意，，

有两个解，即与有两个不同交点，

令，则，在上单调递增，

且存在，使得，

设，则定义域为，，

当时，；当时，；

在，上单调递增，在上单调递减，

又当时，，

由复合函数单调性可知：在，上单调递增，在上单调递减，

当时，，；

当时，，；

当时，，；

由此可得的图象如下图所示，

由图象可知：若与有两个不同交点，则，

即实数的取值范围为，则可能取到的整数值为和.

故选：CD.

12. 如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且，，为的中点，点是棱上的动点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A. 异面直线与所成角的余弦值是

B. 三棱柱的外接球的球面积是

C. 当点是线段的中点时，三棱锥的体积是

D. 的最小值是

【答案】ACD

【解析】

【分析】由异面直线夹角求法可判断A；根据三棱柱的外接球的位置确定外接球的位置，可判断B；由直线与平面平行确定点到平面的距离为定值，结合三棱锥的等体积转换可求三棱锥的体积，即可判断C；根据平面展开结合三角形余弦定理确定的最小值的取值范围，即可判断D.

【详解】解：对于A，如下图，连接

在直三棱柱中，有，则为异面直线与所成角或其补角

又是直角三角形，且，则，所以，则，

在直三棱柱中，平面，平面，则，所以，同理得

则

于是异面直线与所成角的余弦值是，故A正确；

对于B，由于直三棱柱中，平面，平面，则，且，

故该三棱柱可以与以为顶点，为棱的长方体的各顶点重合

所以三棱柱的外接球的球半径

则三棱柱的外接球的球面积是，故B错误；

对于C，如下图，连接

在三棱柱中，四边形为平行四边形，当点是线段的中点时，也是线段的中点，

又，平面，平面，所以平面

则点到平面的距离与点到平面的距离相同

所以，故C正确；

对于D，在三棱柱中，四边形为矩形，又为的中点，则为的中点，则均在平面上

在中，，，且

如图，在平面，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，其中点关于直线对称的点为

则

又，则当三点共线时最小，点是棱上的动点，则可得最小值

设，又，所以直线方程

所以，则，所以时，在线段上，且

所以的最小值是，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题（每题5分）

13. 已知向量与的夹角为，，，则_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据向量数量积的运算律和定义可直接构造方程求得结果.

【详解】，.

故答案为：.

14. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．用表示解下个圆环所需的最少移动次数．若，且则解下6个圆环所需的最少移动次数为_________．

【答案】64

【解析】

分析】根据已知递推公式，利用代入法进行求解即可.

【详解】因为，所以

，

故答案为：64

15. 已知抛物线：上有两动点，，且，则线段的中点到轴距离的最小值是___________.

【答案】2

【解析】

【分析】设抛物线的焦点为，由，结合抛物线的定义可得线段的中点到轴距离的最小值.

【详解】设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上的投影为，点在直线上的投影为，线段的中点为，点到轴的距离为，则

,

∴ ，当且仅当即三点共线时等号成立，

∴ 线段的中点到轴距离的最小值是2，

故答案为：2.

16. 已知，，且，则的最小值为___________.

【答案】4

【解析】

【分析】由题得，再利用基本不等式求出的最小值即得解.

【详解】解：由题得，

所以.

(当且仅当时取等)

因为，所以的最小值为4.

故答案为：4

四、解答题

17. 在中，角的对边分别，.

（1）求；

（2）若的周长为4，面积为，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用、和诱导公式、两角和差的余弦公式进行化简，再结合角的范围进行求解；

（2）利用余弦定理、三角形的面积公式、周长公式得到关于的方程组进行求解.

【小问1详解】

解：因为，

所以，

即，

所以，

因为，所以,

所以

又，故，

所以，即；

【小问2详解】

解：由余弦定理，得，

即，又，

所以，

即

整理得，

由面积为，即，

所以，.

18. 已知是数列的前项和，已知且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，若，求正整数的最小值.

【答案】（1）（2）1010

【解析】

【分析】

(1)利用累乘法或构造常数列求解再求解的通项公式即可.

(2)利用裂项相消的方法求解前项和,再分析求正整数的最小值即可.

【详解】（1）解析1：（累乘法）由,所以时,

,

又也成立,所以,

所以当时,,又也成立,所以.

解析2：（配凑常数数列）,故为常数列,即,所以,所以当时,,又也成立,所以.

解析3：（直接求）,所以,两式相减可得,又因为,所以,即当时,,当也成立,故.

（2）解析（裂项相消）：由上题可知,所以,所以,故的最小值为1010.

【点睛】本题主要考查了利用数列前项和与通项的关系求解通项公式的方法,同时也考查了裂项相消的应用与数列不等式的方法等.属于中等题型.

19. 如图，在四棱锥中，，，，E是棱PA的中点，且平面.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取中点，连接，由面面平行的判定定理证得面面，由面面平行的性质定理证得，再有题目证得面，则面.

（2）以点为坐标原点，建立如图所示得空间直角坐标，分别求出平面和平面的法向量，由面面角的公式带入即可求出答案.

【小问1详解】

取中点，连接，因为E是棱PA的中点，所以，面，面，∴面，∵面，.

∴面面，面面，面面，所以，，，故，

∴面，，∴面.

【小问2详解】

因为面，，所以，建立如图所示得空间直角坐标系，，，，，，，，设平面法向量为，

，所以，则

，设平面法向量为，

，所以 ，则

设平面和平面所成角为，

所以.

二面角的余弦值为.

20. 某人花了元预定2023年杭州亚运会开幕式门票一张，另外还预定了两张其他门票，根据亚奥理事会的相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些人称为预定成功者，他们可以直接购买门票，另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人预定的元门票未成功时，系统自动使他进入b元开幕式门票的预定.假设获得a元开幕式门票的概率是0.1，若未成功，仍有0.2的概率获得b元开幕式门票的机会，获得其他两张门票中的每一张的概率均是0.5，且获得每张门票之间互不影响.

（1）求这个人可以获得亚运会开幕式门票的概率；

（2）假设这个人获得门票总张数是，求的分布列及数学期.

【答案】（1）   

（2）分布列见解析；

【解析】

【分析】（1）由独立事件概率乘法公式即可求得获得开幕式门票的概率；

（2）由题意确定的可能取值，再利用独立事件概率乘法公式求得每个取值对应的概率，从而求得的分布列，进而求得数学期.

【小问1详解】

依题意得，获得元开幕式门票的概率为0.1，则未获得元开幕式门票的概率为0.9，

获得b元开幕式门票概率为0.2，

则获得开幕式门票的概率为.

【小问2详解】

依题意得，的可能取值为，

则，，，，

故的分布列为：

则.

21. 已知椭圆：的短轴长为2，左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且轴，.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线（且）与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为､关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若与的面积相等，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）短轴长为2得，由椭圆定义和得，，

由得，且，

可得答案；

（2）设，，，联立直线和椭圆方程利用韦达定理，代入直线：，令得，从而得到、坐标，求出的中点坐标代入直线方程可得答案.

【小问1详解】

因为短轴长为2，所以，

因为 ，，

所以，，

又因为轴，所以，

，且，

解得，∴.

小问2详解】

，，，联立直线和椭圆方程得

，整理得，

，，，

直线：

令，

，

，，的中点坐标为，

由中点在上，可得，

，

，解得，，

所以.

22. 已知函数.其中为自然对数的底数.

（1）当时，求的单调区间：

（2）当时，若有两个极值点，且恒成立，求的最大值.

【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；   

（2）2.

【解析】

【分析】（1）对函数求导，把代入导函数中对导函数进行化简，即可求出函数的单调区间.

（2）有两个极值点即为导函数零点，令导函数等于零和，即可得方程，利用与韦达定理得到（或），再把代入原函数中进行化简即可得到， 要使恒成立，代入化简即可得，求出的最小值，即可得到答案.

【小问1详解】

对求导得

当时，

当，即，；

当，即，；

故当时，的递增区间为，递减区间为.

【小问2详解】

当时，由（1）知

令，则的两个不等实数解为

故

即（或）

故不等式恒成立恒成立（*）

由于，故，故（*）恒成立

令

则

是上的增函数，

，即最大值为.