四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（Word版附答案）

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12．3 13． 14．
15．(1) (2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，,故，即，解得，又，所以；
（2）由（1）知，所以，，
即，，
所以，所以或，又，
所以，，或，
所以的面积.
16．(1)有关联 (2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）提出零假设：产品检测结果与生产批次没有关联，
由，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于；
（2）设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”，
（ⅰ）依题意，， ，
由全概率公式得：；
（ⅱ）取出的是次品，则它是从第一批次的产品中取出的概率为：
．
17．(1) (2)或
【详解】（1）抛物线的准线方程为，
椭圆的左焦点为，即，
椭圆的短轴长为，，即，，椭圆的方程为；
（2）设，，
当直线的斜率不存在时，：，
此时M，N分别为椭圆的上、下顶点，不妨设，，
要使是以为底边的等腰直角三角形，则，
，，，不合题意；
当直线的斜率为时，：，
此时M，N分别为椭圆的左、右顶点，不妨设，，
要使是以为底边的等腰直角三角形，则，
，，，满足题意；
当直线的斜率存在且不为时，设：，
由，得，，，
，
设的垂直平分线方程为，
由，得，
是以为底边的等腰直角三角形， ，，
化简得，，或(舍)，：，
综上，直线的方程为或.
18．(1)证明见解析； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）或.
【详解】（1）连接交于点，连接，由题意四边形是矩形，所以为中点，
又因为为中点，所以在中，有，
因为平面，平面，所以平面；
（2）由，，得，则，
又平面平面，平面平面，平面，
面，面，则，
在矩形中，有，
以为原点，以方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则有，，，，，，
所以，，，
由，．
（ⅰ）当时，，，，，
，，
又，平面，平面，
平面，平面，则平面平面．
（ⅱ）取平面的法向量，设平面的法向量为，
则，令，则，
因为二面角的正弦值为，则余弦值为，
，化简得：，解得或．
19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）整数的最小值为1
【详解】（1）由，可得，令，解得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
所以，又，
所以函数在上的值域为；
（2）（i）由，结合拉格朗日（Lagrange）中值定理可得，
要证，需证，又在上单调递增，
故只需证，又，
所以只需证，即证，
即证，令，则，
不等式等价于，
，
只需证，即证，
令，
求导得
令，求导得
，
所以在上单调递增，所以，
所以，即，
所以成立，故.
（ii）不等式恒成立，
等价于，又，
所以等价于，
令，则等价于，
即，即等价于，
所以等价于，令，求导得

，
又因为，所以，所以，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，即，所以整数的最小值为1.题号
1
2
3
4
5
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7
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9
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答案
D
D
B
C
C
B
B
B
ACD
BD
ABD