四川省遂宁市射洪中学校2023-2024学年高三下学期开学考试理科数学试题

这是一份四川省遂宁市射洪中学校2023-2024学年高三下学期开学考试理科数学试题，共12页。试卷主要包含了下列说法不正确的是，已知实数满足则的最小值是，函数的图像大致为，已知的展开式中的系数为等内容，欢迎下载使用。

命题人：杨勇 审题人：文质彬 时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题共60分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号等填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A.0 B.-1 C. D.1
3.下图是遂宁市2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数，则下列结论正确的是（ ）
A.月温差（月最高气温-月最低气温）的最大值出现在8月
B.每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性负相关
C.每月最高气温与最低气温的平均值在月逐月增加
D.9-12月的月温差相对于月，波动性更小
4.下列说法不正确的是（ ）
A.若，则
B.命题，则
C.回归直线方程为，则样本点的中心可以为
D.在中，角的对边分别为则“”是“”的充要条件
5.已知实数满足则的最小值是（ ）
A. B.-2 C.-1 D.1
6.已知数列为等比数列且，设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.-18或18 B.-18 C.18 D.2
7.函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知的展开式中的系数为（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
9.已知函数，且的最小值为，则的值为（ ）
A. B. C.1 D.2
10.如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且.下列说法不正确的是（ ）
A.当运动时，二面角的最小值为
B.当运动时，存在点使得
C.当运动时，三棱锥体积不变
D.当运动时，二面角为定值
11.已知为双曲线的左焦点，过点的直线与圆交于两点（在之间），与双曲线在第一象限的交点为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数有三个不同的零点，且.则实数的值为（ ）
A. B. C.-1 D.1
第II卷（非选择题，满分90分）
二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，且，则__________.
14.在中，，则__________.
15.如图，在中，是的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的体积为__________.
16.已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，点为与轴的交点，且，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则__________.
三､解答题：共70分.第17题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
17.（本小题12分）已知数列前项和为.从下面①②中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.
①数列是等比数列，，且成等差数列；
②数列是递增的等比数列，；
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项的和为，且.证明：.
18.（本小题12分）某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试.
（1）若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于80分的人数；（精确到个位数）
（2）复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为，求的分布列及期望.
附：若随机变量服从正态分布，则：.
19.（本小题12分）如图，已知四棱锥中，是面积为的等边三角形且.
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
20.（本小题12分）已知椭圆的左､右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在椭圆上，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上）且，（为坐标原点），求的取值范围.
21.（本小题12分）已知函数，其中.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数恰有两个零点，求的取值范围.
选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22.（本小题10分）在直角坐标系中，已知曲线（为参数，），在极坐标系中，曲线是以为圆心且过极点的圆.
（1）分别写出曲线普通方程和曲线的极坐标方程；
（2）直线与曲线分别交于两点（异于极点），求.
【选修4-5：不等式选讲】
23.（本小题10分）已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）已知，若对任意，都存在使得，求实数的取值范围.
射洪中学高2021级高三下期入学考试
数学（理科）答案
一､选择题：
1-4ADCB 5-8ACBC 9-12BBDD
二､填空题：
13.-7 14. 15. 16.1
三､解答题：
17.【小问1详解】选①：因为数列是等比数列，设公比为，且成等差数列，所以，
解得，
所以；
选②：因为数列是递增的等比数列，，
所以，所以，
所以；
【小问2详解】由（1）知：，且，
所以.
18.【小问1详解】解：因为学生初试成绩服从正态分布，其中，则，
所以，
所以估计初试成绩不低于的人数为人.
【小问2详解】解：的取值分别为，
则，
.
故的分布列为：
所以数学期望为.
19.【小问1详解】证明：因为，所以，
因为的面积为的等边三角形，即，所以，
因为，所以，，则，
又因为平面，所以，平面，
因为平面，所以.
【小问2详解】取的中点，连接，因为为等边三角形，则，
又因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，
取，可得，易知平面的一个法向量为，
所以，，所以平面与平面所成角的余弦值为.
20.【小问1详解】由题设方程为因为与圆相切，
所以：，
，所以，所以椭圆方程为
【小问2详解】由（1）知的坐标为，
①当直线的斜率不存在时，，则；
②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为且，
联立，得，
设，则，
，
设点，则，即，代入椭圆方程得，
解得，所以，
所以，又，
所以的取值范围是.
综上所述，的取值范围是.
21.【小问1详解】，
①当时，恒成立，函数在上单调递增.
②当时，当时，；当时，.
函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】函数恰有两个零点，
等价于方程有两个不等的实数解.
，
令，则.令，则.
当时，；当时，.
函数在上单调递增，在上单调递减.
方程有唯一解.
方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解.
等价于方程有两个不相等的实数解.
构造函数，则.
当时，；当时，.
函数在上单调递增，在上单调递减.
.只需要，即.
构造函数，则.
当时，；当时，.
函数在上单调递减，在上单调递增.
，当时，恒成立.
的取值范围为.
22.【解析】（1）由曲线为参数，，
消去参数，得
所以曲线的直角坐标方程为
因为曲线是以为圆心的圆，且过极点，所以圆心为，半径为1，
故的直角坐标方程为：，
即，将代入可得：圆的极坐标方程为
（2）因为曲线的直角坐标方程为.即，
将代入化简可得的极坐标方程为：，
所以的极坐标方程为的极坐标方程为；
因为是直线与曲线的两个交点，
不妨设，由（1）得，
所以，从而，
23.【解析】（1）解：当时，，
当时，即；
当时，即；
当时，即，
综上可得不等式的解集为
（2）解：，当且仅当时取等号，
，
又且，
当且仅当，即时等号成立，
所以
根据题意可得，解得或，
的取值范围是.0
10
20
30