四川省遂宁市射洪中学2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附答案）

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二．解答题
15．（1）设等比数列的公比为q
由题意得，分
解得分
因为单调递增，所以分
所以的通项公式为，即分
（2）因为，所以，分
记，则，分
所以
即分
综上所述分
16【解】由可知，，
，又，故，如图所示，
所以，得，化简整理得；分
【2】因为，故，所以，又，
化简得，解得，又，
故，所以的周长为分
17．（1）因为两次抽奖相互独立，记“第2次抽到一等奖”为事件B，则分
（2）由题意知Y的取值可能为0，1，2，3，4，
分
分分
分
分
所以Y的分布列为
所以Y的数学期望为分
18.【小问1详解】
时，，∴，
，则，即切线的斜率为.
∴图象在处的切线方程为.
【小问2详解】
，即，
∴
由题意，得对恒成立.
令，则.
.
由，得，∴在上单调递增；
由，得，∴在上单调递减.
所以，
故.
小问3详解】
，令，，，
因是单调函数，故有两个零点，等价于在上有两个零点.
方法1：
①当时，，则在上递减，最多有一个零点，故不满足题意；
②当时，
令可得，即在上单调递增；
令可得，即在上单调递减.
且当时，，则
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故
要使在上有两个零点，则，解得
方法2：在上有两个零点，等价于方程有两个实根，即有两个根
也等价于与图象有两个公共点
，则可得在递增，递减
且，当时，，则
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故
则的大致图象为右图
故当时，与图象有两个公共点，即有两个零点
19.【小问1详解】
由，可得，，
因为是上的下凸函数，
所以在上恒成立，即恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，当时，，
所以在上单调递增，所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
令，，
则，，
所以在上是下凸函数，
又因为，
所以，
即，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
【小问3详解】
因为正实数满足，所以.
令，，
则，，
因为，所以，，，
即，所以，
所以在上是下凸函数，
所以，
即，
即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.Y
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