专题4 图形的性质 -第08讲正方形-练习题-2026年中考数学一轮复习（含答案+解析）

这是一份专题4 图形的性质 -第08讲正方形-练习题-2026年中考数学一轮复习（含答案+解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设M表示平行四边形，N表示矩形，P表示菱形，Q表示正方形，则它们之间的关系用图形来表示正确的是( )
A. B.
C. D.
2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )
A. AC = BD，AB// CD，AB = CD
B. AD// BC，∠ A = ∠ C
C. AO = BO = CO = DO，AC⊥ BD
D. AO = CO，BO = DO，AB = BC
3.“方胜”是中国古代妇女的一种首饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1 cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为 ( )
A. 1 cmB. 2 cmC. ( 2−1)cmD. (2 2−1)cm
4.如图，在边长为12的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F，G分别在边CD，AD上，且CF=2DF.若EF平分∠CEG，则DG的长为( )
A. 8.5
B. 9
C. 9.5
D. 10
5.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，下列条件能判断四边形ABCD是正方形的是( )
A. AC=DB且DA⊥ABB. AB=BC且AC⊥BD
C. AB=BC且∠ABD=∠CBDD. DA⊥AB且AC⊥BD
6.如图，将线段AB绕它的中点O逆时针旋转α°(01.5，
∴点P符合题意，
即能建成一条这样的直路．
【解析】(1)根据正方形性质得BA=AD=CD，∠BAE=∠D=90°，根据DE=CF得AE=DF，进而可依据“SAS”判定△BAE和△ADF全等，则BE=AF，∠ABE=∠DAF，由此可证明∠AOB=90°，据此可得出这两条道路AF与BE等长，且相互垂直；
(2)先由勾股定理求出BE=5(米)，由(1)得AF=BE=5米，AF⊥BE，再由三角形的面积公式OA=2.4米，则OF=2.6米，根据“垂线段最短”得点F到路段OB的最短距离为2.6米，因此路段OB上不存在点P，设点P在边界BC上时，由勾股定理得PC= 212，则BP=4− 212，然后根据4− 212>4− 252=1.5即可得出答案．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
27.【答案】证明：∵CF⊥AD，AE⊥BC，∴∠AFC=90∘，∠AEC=90∘，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，
∴∠BCF+∠AFC=180∘，
∴∠BCF=90∘，
∴四边形AECF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
∵AE=CE，
∴矩形AECF是正方形(一组邻边相等的矩形是正方形)．
【解析】解题思路：已知AE=CE(一组邻边相等)，由一组邻边相等的矩形是正方形，只需证明四边形AECF是矩形.由题意，知AE⊥BC，CF⊥AD，只需再找一个角等于90∘即可．
28.【答案】如图所示点P为所求：

如图所示，正方形EFPG为所求．

【解析】(1)如图所示点P为所求：
∵点E是DC的中点，点O是BD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE//BC，
∴EP//BC，
∵在正方形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=CD，
∴EP//AD，
∵AP//DE，
∴四边形APED是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形APED是矩形，
∴AP=DE=12CD=12AB，
∴点P为AB边的中点；
(2)如图所示，正方形EFPG为所求：
由(1)知四边形APED是矩形，OE是△BCD的中位线，
∴HP=HE，PE=AD，OE=12BC=12AD，
∴OE=12PE，即OP=OE，
在△HPO和△HEO中，
HP=HEOP=OEHO=HO，
∴△HPO≌△HEO(SSS)，
∴∠HOP=∠HOE=90°，
∴OH所在直线垂直平分PE，
∵EP//AD//BC，
∴OH所在直线垂直平分BC，OH所在直线垂直平分AD，
∴PE，FG所在直线是正方形ABCD的对称轴，
∴四边形PBGO，四边形EOGC都是正方形，四边形APOF，四边形DFOE，且边长都相等，
∴∠AFP=∠DFE=45°，FP=PG=GE=EF，
∴∠PFE=180°−∠AFP−∠DFE=90°，
∴四边形FPGE是正方形，
设正方形ABCD的边长为x，则AF=AP=12x，正方形ABCD的面积为x2，
∴PF= 2AF= 22x，
∴正方形FPGE的面积为( 22x)2=12x2，
∴正方形FPGE的面积等于正方形ABCD面积一半．
(1)连接AC，BD交于点O，连接EO并延长交AB于点P即可；
(2)在(1)的基础上，连接AE，DP交于点H，作直线HO分别交BC，AD于点G，点F，依次连接E，F，P，G即可．
本题主要考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质以及判定等知识，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质，线段垂直平分线的性质以及判定是解题的关键．
29.【答案】【小题1】
证明：设AF交BC于K，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABK=90 ∘，
∴∠KAB+∠AKB=90 ∘，
∵将Rt▵ABE绕点B按顺时针方向旋转90 ∘，得到▵CBG，
∴∠KAB=∠BCG，
∵∠AKB=∠CKF，
∴∠BCG+∠CKF=90 ∘，
∴∠KFC=90 ∘，
∴AF⊥CG；
【小题2】
解：∵将Rt▵ABE绕点B按顺时针方向旋转90 ∘，
∴∠AEB=∠CGB=90 ∘,BE=BG,∠EBG=90 ∘，
∴∠BEF=90 ∘，
∴四边形BEFG是矩形，
又∵BE=BG，
∴四边形BEFG是正方形，
∴FG=BG=BE=EF，
如图，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA=DE,DH⊥AE，
∴AH=12AE，
∴∠ADH+∠DAH=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB,∠DAB=90 ∘，
∴∠DAH+∠EAB=90∘，
∴∠ADH=∠EAB，
又∵AD=AB,∠AHD=∠AEB=90 ∘，
∴▵ADH≌▵BAEAAS，
∴AH=BE=12AE，
∵将Rt▵ABE绕点B按顺时针方向旋转90 ∘，
∴AE=CG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE=GF，
∴GF=12CG，
∴CF=FG，
∴CF=FG=BG=BE=EF．

【解析】1.
设AF交BC于K，由∠ABK=90 ∘及将Rt▵ABE绕点B按顺时针方向旋转90 ∘，得到▵CBG，可得∠KAB=∠BCG，即可得∠KFC=90 ∘，从而证明；
2.
由旋转的性质可得∠AEB=∠CGB=90 ∘,BE=BG,∠EBG=90 ∘，由正方形的判定可证四边形BEFG是正方形，过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH=12AE,DH⊥AE，证明▵ADH≌▵BAE，可得AH=BE=12AE，由旋转的性质可得AE=CG，从而可得CF=FG，即可解答．
30.【答案】解：(1)四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE//AB，DF//AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE//AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
(2)∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD=2 2，
∴AF=DF=DE=AE=2 2 2=2，
∴四边形AFDE的面积为2×2=4．
【解析】(1)根据DE/​/AB，DF/​/AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；
(2)根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．
本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
31.【答案】【小题1】
证明：∵矩形ABCD，
∴∠B=∠D=90∘，AB=CD，AD=BC，
∵∠BAE=∠DAF．
∴△ABE∽△ADF
∴DFBE=ADAB．
∴DFBE=BCCD．
∴DF⋅CD=BE⋅BC．
【小题2】
∵EF//HG．
∵AEAH=AFAG
∵AB//DH，AD//BG，
∴AEAH=BEBC，AFAG=DFDC
∴DFDC=BEBC．
即DFBE=DCBC．
又DFBE=BCCD，
∴BC=CD，
∵矩形ABCD，BC=CD．
∴四边形ABCD是正方形．