专题4 图形的性质 -第07讲菱形-练习题-2026年中考数学一轮复习（含答案+解析）

这是一份专题4 图形的性质 -第07讲菱形-练习题-2026年中考数学一轮复习（含答案+解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.菱形和矩形一定都具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分且相等D. 对角线互相平分
2.已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的周长为( )
A. 6B. 9C. 12D. 18
4.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠CBD=30°，过点O作OE⊥BC于点E，若CE=2，则OE的长为( )
A. 2
B. 4
C. 2 3
D. 4 3
5.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是( )
A. ∠BAC=∠BCAB. ∠ABD=∠CBD
C. OA2+OD2=AD2D. AD2+OA2=OD2
6.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于O，CE//BD，DE//AC，若AB=5，AD=12，则四边形OCED的周长是( )
A. 10B. 20C. 28D. 26
7.如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A. AB // DCB. AC=BDC. AC⊥BDD. OA=OC
8.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5.若∠ABD=30°，则AC的长是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 10
9.如图，在平行四边形ABCD中，作AE平分∠BAD交BC边于点E，过点E作EF//AB交AD边于点F，要使四边形CDFE是菱形，则平行四边形ABCD应具备的条件是( )
A. ∠ACB=60∘B. 四边形ABEF是菱形
C. AD=2CDD. tanB=2
10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，若AF=8，则四边形AEDF的周长是( )
A. 24B. 28C. 32D. 36
11.如图，已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论中，不正确的是( )
A. 当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形
B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C. 当OA=OB时，四边形ABCD是矩形
D. 当AB=AC时，四边形ABCD是菱形
12.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D从点B出发沿BC边向点C运动，运动到点C停止，过点D作DE // AC交AB于点E，DF // AB交AC于点F，则四边形AEDF形状的变化依次为( )
A. 矩形→菱形→矩形B. 矩形→正方形→矩形
C. 平行四边形→菱形→平行四边形D. 平行四边形→正方形→平行四边形
13.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为4 2的四边形，当∠ABC=45°时，则纸条的宽度是( )
A. 2
B. 2 2
C. 2
D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
14.如图，将△ABC沿着BC方向平移得到▵DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 .(写出一个即可)
15.如图，某校园内有一个由两个相同的边长为2m的正六边形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为 m.
16.如图，在▱ABCD中，AC⊥BD，E为AB中点，若OE=3，则四边形ABCD的周长是 ．
17.小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图(1)所示的菱形，并测得∠B=60°，接着活动学具成为图(2)所示的正方形，并测得对角线AC=40，则图(1)中对角线AC的长为 ．
18.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB=10，AC=12.当BD= 时，▱ABCD是菱形．
19.如图，在菱形ABCD中，∠B=45∘，将菱形折叠，使得点D落在边AB的中点M处，折痕为EF，则DEDF的值为 ．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BD是对角线．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，与边AD，BC分别交于点E，F(要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑)；
(2)在(1)的条件下，连接BE，DF，求证：四边形BFDE为菱形．
21.(本小题8分)
已知：如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF.求证：
(1)△AGF≌△CGE；
(2)四边形AECF是菱形．
22.(本小题8分)
如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=5，OA=4，OB=3.求证：▱ABCD是菱形．
23.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE=CF.求证：AF=CE．
24.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AB=3，BC=5，CE平分∠ACD，求DE的长．
25.(本小题8分)
如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB//CD，∠1=∠2.有下列条件：①AB=BC；②AC⊥BD．
(1)从①②中任选一个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)在(1)的条件下，若∠ABC=60°，AB=6 3，求菱形ABCD的面积．
26.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE=1，∠BAD=120°，求AE的长．
27.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，AC=EF．
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若AB=AD，且AC=4 5，EC=4，求BD的长．
28.(本小题8分)
如图，AC为矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作AC的垂线，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AD=6，AB=4，求cs∠CFD的值．
29.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ∘，点D为斜边AB的中点，DE⊥AC于点E，连接CD，将△ACD沿CD翻折至△FCD处，且点F恰好落在直线DE上．
(1)求∠A的度数；
(2)求证：CF垂直平分BD．
30.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB//CD，AD//BC，四边形EFGH是矩形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．
答案和解析
1.【答案】D
2.【答案】D
【解析】解：由菱形的性质得，菱形的四条边都相等，对角线互相垂直，对角线平分每一对对角得到选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
根据菱形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
3.【答案】C
4.【答案】C
【解析】解：∵菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠BCD=90°，
∵∠CBD=30°，
∴∠BCO=90°−∠CBD=60°，
∵OE⊥BC，
∴∠CEO=90°，
∴∠COE=90°−∠BCO=30°，
∵CE=2，
∴OC=2CE=4，
∴OE= OC2−CE2=2 3．
故选：C．
根据菱形的性质得∠BCD=90°，根据∠CBD=30°，OE⊥BC，得∠COE=30°，得OC=4，即得OE=2 3．
本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键．
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
【解析】【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】A.菱形的对边平行且相等，所以AB // DC，故本选项正确；
B.菱形的对角线不一定相等，故本选项错误；
C.菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，故本选项正确；
D.菱形的对角线互相平分，所以OA=OC，故本选项正确．
故选：B．
本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5.
∴AC⊥BD，AO=CO，
∴∠AOB=90°，
∵∠ABD=30°，
∴AO=12AB=52，
∴AC=2AO=5，
故选：B．
根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得AO的长，从而得到结果．
本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．
9.【答案】C
10.【答案】C
【解析】根据DE//AC，DF//AB，即可得到四边形AEDF为平行四边形，再根据AD平分∠BAC，即可得到∠FAD=∠FDA，即FA=FD，从而平行四边形AEDF为菱形．根据菱形的性质结合AF=8，即可求出四边形AEDF的周长．
【详解】解：∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD=∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=∠FDA，
∴FA=FD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
∵AF=8，
∴C菱形AEDF=4AF=4×8=32．
故选：C．
11.【答案】D
12.【答案】B
13.【答案】A
【解析】解：作AE⊥BC于E，作DM⊥AB于M，
∴∠AEB=∠DMA=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAE=45°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴BE=AE，
由勾股定理可得，AB= AE2+AE2= 2AE，
同理可得：AD= 2DM，
∵AE=DM
∴AD=AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB= 2AE，
∵菱形的面积是4 2，
∴BC⋅AE=4 2，
∴AE=2(舍负)；
故选：A．
先根据等宽得到菱形，再根据菱形的性质和等腰直角三角形的性质得到菱形的边长和边长上高的关系，进而得到答案．
本题主要考查了菱形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解决此题的关键是判断出四边形ABCD是菱形．
14.【答案】AB=AD(答案不唯一)
15.【答案】24
16.【答案】24
【解析】本题主要考查了菱形的判定和性质、三角形中位线的性质，由菱形的性质和三角形中位线的性质得到AD=2OE=6是解答本题的关键．证明四边形ABCD是菱形，再由菱形的性质可得：OB=OD，结合点E是AB边上的中点可得AD=2OE=6，再结合菱形的四边相等即可求得菱形ABCD的周长即可．
【详解】解：∵▱ABCD，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，OB=OD，
又∵点E为AB的中点，OE=3，
∴AD=2OE=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24．
故答案为：24．
17.【答案】20 2
【解析】解：在正方形ABCD中，∠B=90°，
∴AB2+CB2=AC2，
∵AB=CB，AC=40，
∴2AB2=402，
∴AB=20 2，
在菱形ABCD中，AB=CB=20 2，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=20 2，
故答案为：20 2．
根据正方形的性质得∠B=90°，AB=CB，由勾股定理得AB2+CB2=2AB2=AC2=402，则AB=20 2，再证明△ABC是等边三角形，则AC=AB=20 2，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，根据勾股定理求得AB=20 2是解题的关键．
18.【答案】16
19.【答案】2+3 27
【解析】如图，连接FE并延长，交BA的延长线于点H，连接DH，过点D作BA的垂线，交BA的延长线于点G，
设AB=2a，∵∠B=45∘，四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2a，DG=GA= 2a，AB//DC，
∴∠MHF=∠DFH，
由折叠的性质可知，∠DFH=∠MFH，MF=DF，
∴∠MHF=∠MFH，∴MH=MF，∴HM=DF．
又∵HM//DF，∴四边形HDFM是平行四边形．
又∵MF=DF，∴平行四边形HDFM是菱形，
∴DH=DF．
∵M是AB中点，∴AM=a，
∴GH=GA+AM−MH= 2a+a−DF，
在Rt△GDH中，DH2=DG2+GH2，
即DF2=( 2a)2+( 2a+a−DF)2，
整理得a=2+2 25+2 2DF，∵HM//DF，
∴∠HAE=∠EDF，∠AHE=∠EFD，
∴△AEH∽△DEF，∴AEDE=HADF，
即AD−DEDE=HM−AMDF，即2a−DEDE=DF−aDF，
即2a⋅DF=2DE⋅DF−a⋅DE，
将a=2+2 25+2 2DF代入可得4+4 25+2 2⋅DF2=2DE⋅DF−2+2 25+2 2⋅DF⋅DE，
∴4+4 25+2 2⋅DF=8+2 25+2 2⋅DE，
∴DEDF=2+2 24+ 2=2+3 27．
故答案为2+3 27．
20.【答案】见解答．
见解答．
【解析】(1)解：如图，直线EF即为所求．
(2)证明：∵直线EF是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，BF=DF，OB=OD．
∵AD/​/BC，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，
∴△ODE≌△OBF(AAS)，
∴DE=BF，
∴BE=DE=BF=DF，
∴四边形BFDE为菱形．
(1)根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
(2)由线段垂直平分线的性质可得BE=DE，BF=DF，OB=OD，可证明△ODE≌△OBF，得DE=BF，则BE=DE=BF=DF，可得四边形BFDE为菱形．
本题考查作图—基本作图、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】证明：(1)∵AB⊥AC，E为BC的中点，
∴AE=BE=EC，
∵EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC，
∴AG=GC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠AGF=∠CGE，
∴△AGF≌△CGE(ASA)；
(2)∵△AGF≌△CGE，
∴AF=CE，
又∵AF/​/CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴▱AECF是菱形．
【解析】(1)由直角三角形的性质可得AE=BE=EC，由等腰三角形的性质可得AG=GC，由ASA可证△AGF≌△CGE；
(2)由全等三角形的性质可得AF=CE，可证四边形AECF是平行四边形，由EF⊥AC，可证▱AECF是菱形．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明△AGF≌△CGE是解题的关键．
22.【答案】见解析．
【解析】证明：∵AB=5，OA=4，OB=3，
∴AB2=25=9+16=OA2+OB2，
∴∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形．
由勾股定理的逆定理可证AC⊥BD，由菱形的判定方法可证▱ABCD是菱形．
本题考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
23.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AE=CF，
∴AB−AE=BC−CF，
即BE=BF，
在△ABF和△CBE中，
AB=CB∠B=∠BBF=BE，
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴AF=CE．
【解析】由菱形的性质得AB=BC，再证明BE=BF，然后证明△ABF≌△CBE(SAS)，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24.【答案】解：(1)证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
∠AOE=∠COF=90°OA=OC∠OAE=∠OCF，
∴△OAE≌△OCF(ASA)，
∴EA=FC，
∴EA=EC=FA=FC，
∴四边形AFCE是菱形；
(2)解：过点B作BP⊥AC于点P，在AC上截取PQ=PA，连接BQ，如图所示：
设PA=x，∠ACB=α，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=3，BC=5，
∴AD=BC=5，AB//CD，OA=OC=12AC
∵四边形AFCE是菱形，
∴∠ACB=∠ACE=α，AE=CF，EF⊥AC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE=α，
∴∠ACD=2α，
∵AB/​/CD，
∴∠BAC=∠ACD=2α，
∵BP⊥AC，PQ=PA=x，
∴BP是AQ的垂直平分线，
∴BQ=AB=3，
∴∠BQA=∠BAC=2α，
∵∠BQA是△QBC的外角，
∴∠BQA=∠QBC+∠ACB，
∴2α=∠QBC+α，
∴∠QBC=α，
∴∠QBC=∠ACB=α，
∴BQ=CQ=3，
∴CP=CQ+PQ=3+x，
在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理得：BP2=AB2−AP2=BC2−CP2，
∴32−x2=52−(3+x)2，
解得：x=76，
∴AP=x=76，CP=3+x=256，
∴AC=AP+PC=76+256=163，
∴OC=12AC=83，
∴BP= AB2−AP2= 32−(76)2=5 116，
∵EF⊥AC，BP⊥AC，
∴EF//BP，
∴△OCF∽△PCB，
∴OCCP=OFBP，
∴CP⋅OF=OC⋅BP，
∴256×OF=83×5 116，
∴OF=8 1115，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF= OF2+OC2= (8 1115)2+(83)2=165，
∴AE=CF=165，
∴DE=AD−AE=5−165=95．
【解析】(1)根据线段垂直平分线性质得EA=EC，FA=FC，OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，再根据平行四边形性质得AD//BC得∠OAE=∠OCF，由此可依据“ASA”判定△OAE和△OCF全等得EA=FC，进而得EA=EC=FA=FC，然后根据菱形的判定即可得出结论；
(2)过点B作BP⊥AC于点P，在AC上截取PQ=PA，连接BQ，设PA=x，∠ACB=α，根据平行四边形及菱形性质得∠BAC=∠ACD=2α，证明BP是AQ的垂直平分线得BQ=AB=3，证明∠QBC=∠ACB=α，BQ=CQ=3，则CP=3+x，在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理得32−x2=52−(3+x)2，由此解得x=76，则AP=76，CP=256，AC=163，OC=83，BP=5 116，证明△OCF和△PCB相似得OF=8 1115，再由勾股定理得求出CF=165得AE=CF=165，由此即可得出DE的长．
此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，理解平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵∠1=∠2，
∴AD//BC，
∵AB//CD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
当选择①时：
∵AB=BC，四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形；
当选择②时：
∵AC⊥BD，四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形；
(2)解：由题意可得：BD平分∠ABC，AC⊥BD，
∴∠ABO=30°，
∴AO=12AB=3 3，
∴OB= 3AO=9，
∴AC=2AO=6 3,BD=2OB=18，
∴菱形ABCD的面积为12AC⋅BD=12×6 3×18=54 3．
【解析】(1)先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形为菱形或对角线垂直的平行四边形为菱形，即可得证；
(2)根据含30度角的直角三角形的性质，求出AO，BO的长，进而求出AC，BD的长，再根据菱形的面积公式进行计算即可．
本题考查菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，正确进行计算是解题关键．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AFO=∠EBO，
∵O是BF的中点，
∴OB=OF，
在△AOF和△EOB中，
∠AFO=∠EBO∠AOF=∠BOEOF=OB，
∴△AOF≌△EOB(AAS)，
∴OA=OC，
∵OB=OF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形；
(2)解：∵AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABE=60°，
∵AB=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，
∵AD=BC，AF=BE，
∴EC=DF=1，
∵DF/​/EC，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴CD=EF，
∵AB+BC+CD+AD=12，
∴AB+BE+1+CD+AF+1=12，
∴4AB=10，
∴AB=AE=2.5．
【解析】(1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
(2)证明△ABE是等边三角形，求出AB可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴BC−BE=AD−DF，
∴AF=EC，
∵AD/​/BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形；
(2)解：由(1)可知：四边形AECF为矩形，
∴∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE= AC2−EC2= (4 5)2−42=8，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，BC=AD，
∴四边形ABCD是菱形，AB=BC=BE+EC=BE+4，
在Rt△ABE中，∠AEB=180°−90°=90°，
由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，
即(BE+4)2=82+BE2，
解得：BE=6，
∴BC=BE+CE=6+4=10，
∵S菱形ABCD=BC⋅AE=12AC⋅BD，
∴BD=2BC⋅AEAC=2×10×84 5=8 5，
即BD的长为8 5．
【解析】(1)由平行四边形的性质得AD//BC，AD=BC，进而证明AF=EC，再证明四边形AECF是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
(2)由矩形的性质得∠AEC=90°，进而由勾股定理求出AE=8，再证明四边形ABCD是菱形，AB=BC=BE+EC=BE+4，然后由勾股定理求出BE=6，则BC=10，即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
28.【答案】详见解析；
513．
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠FAO=∠ECO，∠OFA=∠OEC，
∵O为AC中点，
∴OA=OC，
在△OFA和△OEC中，
∠FAO=∠ECO∠OFA=∠OECOA=OC，
∴△OFA≌△OEC(AAS)，
∴OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
(2)解：∵四边形ABCD为矩形，AD=6，AB=4，
∴CD=AB=4，
设DF=x
由(1)知：CF=AF=AD−DF=6−x，
Rt△CDF中，DF2+CD2=CF2，
即x2+42=(6−x)2，
解得x=53
∴DF=53，CF=6−53=133，
∴cs∠CFD=DFFC=53133=513．
(1)证明出△OFA≌△OEC(AAS)，得到OF=OE，然后结合AC⊥EF即可证明四边形AECF为菱形；
(2)设DF=x，由(1)知：CF=AF=6−x，根据勾股定理求出DF=53，然后根据余弦的定义求解即可．
此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
29.【答案】【小题1】
解：∵∠ACB=90 ∘，点D为斜边AB的中点，
∴AD=CD=12AB，
∴∠A=∠ACD，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90 ∘，
又∵▵ACD翻折得到▵FCD，
∴∠ACD=∠FCD，∠A=∠F，
∴∠ACD=∠FCD=∠F=∠A，
∵∠F+∠ACD+∠FCD=90 ∘，
∴∠F=30 ∘，
∴∠A=∠F=30 ∘；
【小题2】
证明：如图，连接BF，
由(1)得，∠A=30 ∘，∠DEC=∠ACB=90 ∘，
∴DF//BC，BC=12AB，
由折叠得，DF=AD=12AB，
∴DF=BC，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∵CD=12AB=BC，
∴平行四边形BCDF是菱形，
∴CF垂直平分BD．

【解析】1.
由直角三角形的性质和折叠的性质可得∠ACD=∠FCD=∠F=∠A，再根据∠F+∠ACD+∠FCD=90 ∘即可求解；
2.
连接BF，证明四边形BCDF是菱形即可求证；
本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
30.【答案】(1)证明：连接AC，BD交于点O，交FG于点N，交HG于点M，
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠HGF=90°，
∵H、G分别是AD、DC的中点，
∴HG//AC，HG=12AC，
∴∠HGF=∠GNC，
∴∠GNC=90°，
∵G，F分别是DC、BC的中点，
∴GF//BD，GF=12BD，
∴∠GNC=∠MOC=90°，
∴BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵矩形EFGH的周长为22，
∴HG+FG=11，
∴AC+BD=22，
∵12×AC×BD=10，
∴AC×BD=20，
∵(AC+BD)2=AC2+2×AC×BD+BD2，
∴AC2+BD2=444，
∴4AO2+4BO2=444，
∴AO2+BO2=111，
∴AB2=AO2+BO2=111，
∴AB= 111．
【解析】(1)先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据三角形中位线定理证明AC⊥BD，从而得出四边形ABCD是菱形；
(2)根据矩形EFGH的周长和四边形ABCD的面积求出AC2+BD2=444，从而得出AO2+BO2=111，由此得出AB的长．本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质等，掌握性质和判定方法是解题的关键．