2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知向量，，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数满足，则复数的实部为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为：：：，为了解某种疾病的感染情况，采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多人，则样本容量的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑如图，为测量某塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  从数字，，，中，无放回地抽取个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平行四边形中，，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知复数，，则下列说法正确的是(    )

A. 若，则 B.
C. 若，则 D. 若，则

10.  先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则下列结论正确的是(    )

A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与独立 D. 与对立

11.  已知内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，，且该三角形有两解，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为锐角三角形

12.  如图，正方体中，，，分别是，，的中点，，则下列说法正确的是(    )

A. 若，则平面
B. 若，则平面
C. 若平面，则
D. 若，则平面截正方体所得的截面是五边形
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，，则 ______ ．

14.  已知某个数据的平均数为，方差为，现加入数字构成一组新的数据，这组新的数据的方差为______ ．

15.  在解析几何中，设、为直线上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把直线垂直的向量称为直线的法向量，常用表示，此时若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点到直线的距离现已知平面直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为______ ．

16.  已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，，则此三棱锥的外接球的体积为______ ；此三棱锥的内切球的表面积为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长单位：分钟现随机抽取了该商场到访顾客的辆车进行调查，将数据分成组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
若某天该商场到访顾客的车辆数为，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数；
为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务若以第百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议数据取整数．

18.  本小题分
已知，，且，．
求的值；
求的值．

19.  本小题分
已知中，，，，点在边上且满足．
用、表示，并求；
若点为边中点，求与夹角的余弦值．

20.  本小题分
我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束已知甲、乙、丙三名男生成功跳过米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件，，．
求、、；
求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率．

21.  本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

22.  本小题分
如图，已知斜三棱柱中，平面平面，与平面所成角的正切值为，所有侧棱与底面边长均为，是边中点．
求证：平面；
求异面直线与所成的角；
是边一点，且，若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，若，
则，可得．
故选：．
直接利用平面向量共线的坐标运算列式求解值．
本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
故复数的实部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为的样本，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设，则，
因为，，米，
所以在中，，
所以由正弦定理，
可得，
解得
故选：．
假设，然后计算出，接着利用两角和的正弦公式可求，利用正弦定理即可求解的值，由此得解．
本题主要考查解三角形的实际应用，考查了正弦定理的实际应用，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：从数字，，，中，无放回地抽取个数字组成一个两位数，其基本事件总数为种，
其各位数字之和等于包含的两位数有：，，，，共个，
则其各位数字之和等于的概率为．
故选：．
根据古典概型的计算公式求解即可．
本题考查古典概型的应用，考查排列数的计算，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，设圆锥的高为，半径为，母线长为，
若其侧面展开图是面积为的半圆，则有，
解可得：，，
则该圆锥的高，
故该圆锥的体积，
过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥，将圆锥的体积分为：的两部分，
则下半部分圆台体积占原来圆锥体积的，则所得的圆台体积为．
故选：．
根据题意，设圆锥的高为，半径为，母线长为，由圆锥的侧面展开图的特点分析可得、的值，进而求出的值，即可得圆锥的体积，又由平面将圆锥的体积分为：的两部分，且下半部分圆台体积占原来圆锥体积的，由此计算可得答案．
本题考查圆锥、圆台的体积计算，注意圆锥和圆台的关系，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，，
则．
故选：．
由已知结合同角基本关系及两角和的余弦公式先求出，，然后结合两角差的余弦公式可求．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，，又，则有当且仅当时取等号，
，，
故，
令，则，
因为，所以，
，
故当时，有最小值．
故选：．
在三角形中，由余弦定理可得边、与对边的关系式，从而找出的范围，然后利用换元法将所求式化为二次函数在区间上的最值问题即可求解．
本题考查平面向量数量积运算，余弦定理及基本不等式等知识的综合运用，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，，
选项A，，，A正确；
选项B，，
，
又，
即，B正确；
选项C，，，
，，
若，则，
化简得：，
又，
所以不一定为，C错误；
选项D，举反例，当，时，，
不满足，D错误．
故选：．
设，，分别代入各选项，根据复数的运算法则以及复数的模的求法，化简计算可得选项．
本题考查复数的运算，考查复数的模，考查学生计算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于选项A，事件与事件都包含事件，所以不互斥，错误；
对于选项B，很明显事件与事件互斥，正确；
对于选项C，事件的发生与事件的发生没有关系，所以互不影响，相互独立，正确；
对于选项D，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“至少出现一个奇数点”，很明显不是对立事件，错误．
故选：．
根据互斥事件和对立事件的定义，即可判断正误．
本题考查互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：选项A，若，则，
由正弦定理知，，所以，即选项A正确；
选项B，因为该三角形有两解，所以，即，
所以，即选项B正确；
选项C，由知，，
由正弦定理得，，
因为，所以，即，
所以或，即或，
所以为等腰或直角三角形，即选项C错误；
选项D，因为，
所以，
即，
因为，所以，
又，，，且至多只有一个钝角，
所以，，，即，，均为锐角，故选项D正确．
故选：．
选项A，根据大边对大角与正弦定理，即可判断；
选项B，利用正弦定理，可得解；
选项C，结合同角三角函数的商数关系，并利用正弦定理化边为角，再由二倍角公式，即可得解；
选项D，结合已知条件与两角和的正切公式，可推出，，，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，三角恒等变换公式，三角形解的个数的处理方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，连接，，在正方体中，可知，
当时，是的中点，则，所以，由于平面，平面，所以平面，故A正确；

对于，当时，与点重合，连接交于点，连接，
若平面，则平面，且平面平面，则，
由于是的中点，则为中点，这显然不符合要求，故B错误；

对于，若平面，则，由于平面，平面，又，，
，，平面，
所以平面，平面，则，
显然与平面不垂直，故AC，则，
由于为中点，所以为中点，故，C正确；

对于，取中点，在上取点，使得，在棱取，使得，在棱上取，
由于，分别为，的中点，所以，，
同理，，，
连接，，，，即可得到截面多边形，故D正确．
故选：．

根据线线平行即可判断，根据线面平行的性质即可得矛盾判断，根据线面线面垂直的性质即可判断，根据平行关系，即可由线段成比例得线线平行，即可求解截面．
本题考查立体几何性质推论，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
因为，
则．
故答案为：．
由已知结合二倍角公式即可求解．
本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：不妨设三个数据为，，，
则，
，即，
加入数字构成一组新的数据，
则新的数据平均数也为，
故这组新的数据的方差为．
故答案为：．
根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．
本题主要考查平均数和方差的公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意，，与垂直的向量可取为，
即直线的一个法向量，又，
故点到直线的距离．
故答案为：．
根据的坐标，找出与它垂直的一个向量作为直线的法向量，再根据定义即可求出点到直线的距离．
本题考查点到直线的距离的求法，涉及到平面向量的基本运算，属基础题．
 

16.【答案】  

【解析】解：已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，，
如图所示：

即，，
故A，，两两垂直；
所以，
故，整理得，
所以，解得，
所以三棱锥的外接球的半径满足，解得，即，
故．
首先利用，，
利用勾股定理，，
所以，
利用等体积转换法，设内切球的半径为，
所以，解得，
故．
首先利用三棱锥的三个侧面的两两垂直求出，，两两垂直；进一步求出，，的值，进一步利用三棱锥和外接球的关系求出外接球的半径和内切球的半径，求出三棱锥的外接球的体积，最后利用等体积转换法求出内切球的半径，最后求出内切球的表面积．
本题考查的知识要点：三角形的面积公式，三棱锥和外接球与内切球的关系，外接球的半径和内切球的半径的求法，球的表面积公式和体积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：根据频率分布直方图中所有频率和为，
设的频率为，
由题意得，解得，
样本中停车时长在区间上的频率为，
估计该天停车时长在区间上的车辆数是；
设免费停车时间长不超过分钟，
又的频率为，并且的频率为，
则位于之间，
则，解得，
确定免费停车时长为不超过分钟． 

【解析】根据题意设的频率为，由题意得，解得，可得样本中停车时长在区间上的频率为，即可得出答案；
设免费停车时间长不超过分钟，又的频率为，并且的频率为，可得，求解即可得出答案．
本题考查频率分布直方图的性质，考查运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解法一：由题意
则，
所以，
由，为锐角，可得，

所以；
解法二：由题意：，
，
，
所以；
由，为锐角，可得，
，
，
所以． 

【解析】解法一：结合同角基本关系先求出，然后由两角和的正切公式可求；
由，为锐角先求出的范围，然后再由两角和的正切公式求出，即可求解；
解法二：结合同角基本关系先求出，，，，结合和角公式可求，，利用同角商的关系可求；
由，为锐角先求出的范围，利用同角商的关系求出，进而可求，即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：点在边上，且，
，，
，且，，，
；
点为边中点，
，
，
又，
． 

【解析】根据条件得出，然后即可得出，然后根据进行数量积的运算即可求出答案；
根据条件得出，然后进行数量积的运算可求出和的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦值．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘和减法的几何意义，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：记“甲、乙、丙三名男生第跳成功”分别为事件，，，记“甲、乙、丙三名男生第跳成功”分别为事件，，，
记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件，，．
，
，
．
记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件，



． 

【解析】根据相互独立事件的乘法公式计算即可求解；
根据相互独立事件的乘法公式计算即可求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

21.【答案】解：由正弦定理可得：，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，即；
由题设及知的面积．
由正弦定理得，
由于为锐角三角形，
故，．
由知，
所以，
故，
从而．
因此面积的取值范围是． 

【解析】根据已知条件利用正弦定理及和角公式可得，再结合的范围，即可得到；
结合可知且，再结合角的范围可得的范围，进而得到答案．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：证明：如图，连接与交于点，连，
在斜三棱柱中，
四边形是菱形，
则是的中点，又是中点，
即为的中位线，
所以，
又平面，平面，
可证得：平面；
取的中点，连，斜三棱柱底面边长均为，
则，
平面平面，平面平面，平面，
则平面，所以即为与平面所成角，
中，，，则，又，，
则在中，，则，
由三棱柱中，，，
所以异面直线与所成的角等于，即为，
即异面直线与所成的角为；
由知平面，又平面，则，
又，，而，平面，
所以平面，
又平面，则，
在菱形中，以为坐标原点，所在直线为轴建系，
由知，所以，，，
，
又，所以，，
又，即，即，
整理可得：，
所以的值为． 

【解析】由题意及线面平行的证法，可证得结论；
由异面直线的夹角的求法，平移直线可得相交直线所成的角，求出异面直线的夹角；
用向量的方法，可得的值．
本题考查立体几何中异面直线的夹角的求法及直线与平面的平行的证法，属于中档题．