山西省长治市武乡县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（试卷+解析）

这是一份山西省长治市武乡县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（试卷+解析），共32页。
I．本试卷分第I卷和第II卷两部分、全卷共8页．满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、
第I卷 选择题
一、选择题（本大题共10个小题．每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列一元二次方程，没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，直角三角板的顶点落在上，边，分别与相交于点，，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. “打开手机，微信有新消息”是必然事件
B. “购买1张中奖率是的彩票中奖”是不可能事件
C. “打开电视正在播放《新闻联播》”是不可能事件
D. “50个人中有2个人的生日相同”是随机事件
6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 该函数的最大值为3
B. 该函数图象的对称轴为直线
C. 该函数图象开口向上
D. 当时，函数值随的增大而减小
7. 根据国家标准《自动扶梯和自动人行道的制造与安装安全规范》，自动扶梯的倾斜角不应大于．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．若小光乘扶梯从扶梯底端A处以的速度用时到达扶梯顶端B处，则小光上升的铅直高度为（ ）
A B. C. D.
8. 2025年是“绿水青山就是金山银山”理念提出的20周年．某地大力实施“植树造林，净化环境”计划，当地原来森林植被覆盖面积为9600公顷，经过两个周期（每个周期为5年）的全民行动，森林植被覆盖面积达到了15000公顷．设平均每个周期的增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在中，，分别是，边上的点，连接，，连接，相交于点．若，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在物理实践课上，老师带领同学们做“让小灯泡亮起来”实验、智慧小组设计的实验电路图如图所示，其中表示电路的开关，L表示小灯泡、随机闭合两个开关，灯泡亮起来的概率为（ ）
A. B. C. D.
第II卷 非择题
二、填空题（本大题共5个小题．每小题3分、共15分，请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_________．
12. 某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖．活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验、将获得的试验数据整理如下表：
则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为___________．（结果精确到）
13. 已知在高度处以初速度竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度（单位：）与运动时间（单位：）之间的关系可以近似的用公式表示，其中为重力加速度，．若小明将一个小球从距离地面的高处以的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为_______．
14. 石拱桥是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久、形式优美、结构坚固等特点闻名于世．如图，某截面为圆弧的石拱桥桥洞，其跨度（所对弦长）为，拱高（的中点到弦的距离）为，则该桥洞所在圆的半径的长为___________m．
15. 如图，在四边形中，，，，是边上一点，连接，，且，．若，则的长为______.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解方程：.
17. 元宵佳节，某社区举办“迎春庙会”活动，参与者赢得传统游戏后，通过抽奖获得奖品：福橘（象征福气满满），元宝（象征财禄双全），寿桃（象征健康长寿），喜炮（象征喜事连连）．抽奖规则为：使用一枚质地均匀的四面骰子四面分别刻有福橘、元宝、寿桃、喜炮四种字样；掷出骰子后、根据投掷者所对骰子面上的字样获得对应的奖品（若投掷者正对四面体的棱，则重新投掷）．
（1）若小研获得一次投掷骰子的机会，则她获得元宝的概率为___________．
（2）该社区规定投掷两次骰子后，集齐“寿桃”和“喜炮”还可以再获得一份“平安奖”．请用列表法或画树状图法，求小光投掷两次骰子后获得“平安奖”的概率．
18. 如图，是的直径，是上一点，过点作的垂线，分别与的延长线，交于点，．若，，求与的长．
19. 中国书法是中华文化的独特表现艺术．被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐、而“三分画，七分裱”．书画装裱技艺同时也为书画内容服务．现要装裱一幅竖式布局的《七律·长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边、上、下绫边的宽度之比为．左、右绫边的宽度相等、下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍．若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽．
20. 项目学习
项目背景：
汾河水库是一座以防洪、灌溉、城市生活和工业供水为主，兼发电和养殖等综合利用的大型水利枢纽工程．某综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
（1）请根据上述数据，计算汾河水库两岸A，B两点间的距离．（结果精确到1m；参考数据：，，，，，）
（2）该小组同学想要写一份完整的项目学习活动报告，除上表内容外，你认为还需要补充哪些内容？（写出一个即可）
21. 阅读与思考
下面是明志学习小组的探究性学习内容，请你认真阅读并解决相应问题．
研究课题：借助图象探究函数的性质．
研究过程：
第一步：列表．
第二步：描点、连线、画出的函数图象如图所示．
第三步：观察图象，总结性质．
小组成员类比二次函数的性质猜想函数的性质，如图象的开口方向、对称轴和顶点坐标等．
第四步：问题解决，反思成长．
（1）请你将第一步中的表格补充完整，并在第二步的平面直角坐标系中画出函数的图象．
（2）请你结合二次函数性质的表述，写出函数的两条性质．
（3）明志学习小组成员猜想，类比二次函数的平移方式，函数的图象可由函数的图象平移得到，请你直接写出平移方式．
22. 综合与实践
问题情境：
某篮球队为提高球员的投篮技术，运用科学手段追踪记录球员的每次投篮，发现在理想状态下，球员所投出去篮球的运动路线可看作抛物线．
测量数据：
篮球从距地面的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，最高点与篮球出手点的水平距离为．
数学建模：
如图，将篮球的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E，对称轴为直线l，篮球出手点为A，落地点为C．以所在直线为x轴，过点A且与所在水平地面垂直的直线为y轴，与水平地面的交点O为原点，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点E的坐标，并求该抛物线对应的函数解析式．
问题解决：
已知投出去篮球的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图，若球员原地垂直起跳投篮，篮球出手点记为B，即，篮球落地点为D，求起跳点与落地点D的水平距离的长；
（3）已知在距点O水平距离，垂直高度处是篮框．若该球员向篮框方向沿直线运球一定距离后，再垂直起跳投篮，篮球可准确落入篮框内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线运球的距离．
23. 综合与探究
问题情境：
如图，在中，，，是延长线上一点，以点为直角顶点，在右侧作等腰，连结与交于点，取的中点，连结.
（1）初步探究：
若，，求的长；
（2）猜想证明：
试判断与位置关系，并说明理由；
（3）深入探究：
如图，若平分，连接．设，则的长为 ．（用含的代数式表示）
投掷次数
20
60
100
120
140
160
500
1000
2000
5000
投中的次数
12
27
49
60
70
88
250
510
1000
2500
投中的频率
项目主题
景物的测量与计算
驱动问题
如何勘测汾河水库两岸某两点间的距离
活动内容
利用三角函数有关知识进行计算
活动过程
方案说明
如图，在同一水平线上的两岸边分别取A，B两点．
①无人机从水面竖直上升500m后到达，点C；
②在点C处测得点A的俯角为；
③在点C处测得，点B的俯角为．图中各点都在同一竖直平面内．
计算
…
交流展示
…
…
0
1
2
3
4
…
…
3
2
1
0
1
2
3
4
…
…
4
3
2
1
2
3
4
5
…
…
___________
4
3
2
1
0
___________
2
…
2025~2026学年第一学期九年级期末学业质量监测
数学试卷（华师大版）
注意事项：
I．本试卷分第I卷和第II卷两部分、全卷共8页．满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、
第I卷 选择题
一、选择题（本大题共10个小题．每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式乘法，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键．
二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式即可．
【详解】解：．
故选B．
2. 下列一元二次方程，没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算各选项方程的根的判别式Δ=b2-4ac，然后根据计算的结果分别判断根的情况．
【详解】解：A．Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，方程有两个不相等，故A错误；
B．Δ=b2-4ac=42-4×1×(-1)=20>0，方程有两个不相等，故B错误；
C．Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-80，方程有两个不相等，故D错误；
故选：C．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．解题的关键是掌握当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ