2025-2026学年山西省长治市武乡县八年级上学期1月期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年山西省长治市武乡县八年级上学期1月期末数学试卷（学生版），共9页。试卷主要包含了本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1.下列是无理数的是（ ）
A.B.C.D.
2.下列运算结果正确的是（ ）
A.B.
C.D.
3.下列调查最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A.调查2025年“九三阅兵”活动对全国青少年爱国主义教育的效果
B.调查某一批草莓的甜度情况
C.调查一批电池的使用寿命
D.调查全班同学眼睛近视情况
4.用如图所示的几何图形的面积可以验证的数学恒等式为（ ）
A.B.
C.D.
5.用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（ ）
A.B.
C.且D.且
6.在早期航海中，海员通常使用一种简易的“角度平分仪”来确定方向．如图，仪器由四根硬木条组成，其中，各结点可自由转动．测量时，将点A放在罗盘中心与顶点R重合，调整点B，D，使其分别对准两个目标方向，过点A，C画一条射线，则就是的平分线．此“角度平分仪”运用的数学原理是（ ）
A.B.C.D.
7.如图，在中，，是边上的中线，且．若，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
8.下列命题的逆命题是真命题的为（ ）
A.对顶角相等B.等边三角形锐角三角形
C.如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等D.全等三角形的对应边相等
9.如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1．手指沿折线顺序解锁，则按此手势解锁一次手指滑过的路径长为（ ）
A.5B.C.D.6
10.活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11.16的算术平方根是___________．
12.如图，长方形的边长为3，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是______．
13.某学校组织学科素养能力竞赛，从参与竞赛的全体同学中随机抽取50名同学的成绩（得分为整数，竞赛成绩为百分制），整理并制成如图所示的频数分布直方图，若规定80分以上为优秀，则优秀学生人数占总人数的百分比为_______．
14.如图，将一根长为30 cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升8 cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为________cm．
15.如图，在中，，D是边上一点，E是边上一点，连接．若，则的长为_______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.计算与因式分解
（1）计算：；
（2）因式分解：．
17.下面是小明同学进行整式计算过程，请你认真阅读并完成相应的任务．
任务一：填空：
①以上解题过程中，第一步用到的乘法公式用字母表示为_______，第二步用到的乘法公式用字母表示为_______；
②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______________．
任务二：该整式计算的正确结果为_______．
18.如图，在四边形中，，求四边形的面积．
19.如图，在中，．
（1）利用尺规在边上求作点D，使．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，判断的形状，并说明理由．
20.2025年12月16日，“晋享山河冬趣山西”2025山西冬季旅游主题季活动在晋城启动．活动重磅推介了山西独特的冬季旅游资源，发布了5条“冬游山西”旅游线路，展示了山西冬季旅游的独特魅力．为了向同学们宣传山西冬季旅游资源，某学校筹备了“共赏冬季家乡美”主题宣讲活动．
【收集数据】为了解同学们感兴趣的线路，向随机抽取的部分学生下发调查问卷．
【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成下列两幅不完整的统计图．
【分析数据】请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查所抽取的学生人数为_______，并补全条形统计图．
（2）扇形统计图中，线路“E”对应扇形圆心角的度数为_______．
【做出决策】请合理安排宣讲活动，补全活动日程表：
（3）若该校有600名学生参加本次活动，则选择聆听线路“B”“D”宣讲的学生各有多少人？
（4）在（3）的条件下，为确保听取宣讲的每名学生都有座位，请你合理安排线路“A”“B”“D”三场宣讲，补全此次活动日程表．
21.阅读与思考
阅读以上材料，解答下列问题：
（1）在上面的解答过程中，①中用到的因式分解的方法是______________．
（2）因式分解：．
①当_______（填一个数即可）时，；
②借助小明的思路，完成因式分解．
22.实践与探究
活动课上，老师和同学们一起以“网格中的全等三角形”为主题展开探究．他们在网格中构造出顶点均在格点（网格中小正方形的顶点）上的全等三角形，使其满足一定的条件．
（1）勤学小组在图1网格中构造出，使，且直线是线段的垂直平分线．请画出符合条件的．
（2）善思小组在图2的网格中构造出，使，且线段的中点与线段的中点重合．请画出符合条件的．
（3）笃行小组在图3的网格中构造出，使，与相交于点O，且平分．请画出符合条件的．
23.综合与探究
问题情境：
数学活动课上，同学们以等腰三角形为背景探究图形的有关性质．已知在中，．将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E．与相交于点F，与相交于点G．
特例分析：
（1）如图1，当旋转至时，的度数为_______．
深入理解：
（2）如图2，在旋转过程中，直线，相交于点H．请判断线段和的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
（3）在图2的基础上，若，如图3，请直接写出四边形的面积．计算：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
“共赏冬季家乡美”山西旅游线路游览喜好调查问卷
请选择你感兴趣的游览线路，并在其后“☐”内打“√”
（每名同学必选且只能选择其中一项）
A．北国风光·冰雪奇缘之旅☐
B．晋商遗风·烟火暖冬之旅☐
C．山水秘境·温泉康养之旅☐
D．古建密码·土木华章之旅☐
E．非遗年俗·黄河风情之旅☐
“共赏冬季家乡美”主题宣讲活动日程表
地点（座位数）
时间
1号汇报厅（200座）
2号多功能厅（100座）
8:00-9:30
E
10:00-11:30
C
14:30-16:00
设备检修暂停使用
在完成数学作业时，小明遇到这样一道题：
当时，求代数式的值小明是这样做的：
先将代数式因式分解： ①
．
当时，，所以这个代数式的值为0．
善于思考的小明想到，是否可以反过来利用这个想法，将整式进行因式分解呢？
于是，他继续进行了以下尝试：
因式分解：．
当时，，说明经过因式分解后，应该有一个因式是．如果能够在将多项式变形的过程中分解出，就可以把作为公因式提取出来，从而因式分解．于是他将进行了如下解答：
．
从而完成了因式分解．