湖南省娄底市涟源市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（试卷+解析）

这是一份湖南省娄底市涟源市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（试卷+解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A. 任意两个正方形B. 任意两个平行四边形
C. 任意两个菱形D. 任意两个矩形
2. 下列关系式中，为的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 点M、N、P是△ABC三边的中点，下列说法正确的是（ ）
A. △ABC与△MNP的面积之比为2：1B. △ABC与△MNP的周长之比是2：1
C. △ABC与△MNP的高之比是1：1D. △ABC与△MNP的中线之比是4：1
4. 三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程 的解，则这个三角形的周长是（ ）
A. B. 13C. 11或8D. 11和13
5. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D.
6. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（ ）
A. 12B. 6C. D. 不能确定
8. 如图，在菱形中，，，，则值是( )
A. B. 2C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
10. 如图，密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，即（k为常数且），其图象如图所示．当时，气体的密度为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 若，则锐角_________．
12. 若x是4和16的比例中项，则______．
13. 若是二次函数，则______．
14. 已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是_____（用“”连接）．
15. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为________步．
16. 2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为__________．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．17题、18题各6分；19题、20题各8分；21题、22题各10分；23题、24题各12分）
17 计算：．
18. 在解方程：时，小睿的解题过程如下：
解：两边同时约去，得．（第一步）
移项，合并同类项，得．（第二步）
两边同时除以2，得．（第三步）
（1）小睿的解题方法是从第_____步开始出现错误的；
（2）请你写出正确的解答过程．
19. 在平面直角坐标系中，已知点在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经过点和点．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）点是否在反比例函数的图象上？
（3）若是坐标轴上一点，且满足，直接写出点的坐标．
20. 甲、乙两名队员参加射击训练，甲队员次的成绩（单位：环）分别是：；乙队员次的成绩被制成如图所示的统计图；根据甲、乙的信息，整理数据制成如下表格：
甲、乙队员射击训练成绩分析表
（1）填空：______，______；
（2）求的值；
（3）从平均数和方差的角度分析，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
21. 某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店11月4日定制出200本，5日、6日定制量持续增加，到11月6日当天的定制量达到338本．
（1）求5日、6日这两日定制量的平均增长率．
（2）在日常销售期间，为吸引更多同学购买，文具店降价促销笔记本．已知每本笔记本成本为30元，当售价为每本50元时，日销量为320本；每降价1元，日销量可增加5本．问每本笔记本降价多少元时，当日销售总利润可达到5940元？
22. 阅读下列材料，并完成相应任务．
任务：
（1）如图1，在中，，，的平分线交腰于点．请你根据上述材料利用所学知识，证明点为腰的黄金分割点；
（2）如图2，在中，，为斜边上的高，，若是的黄金分割点，求的长．
23. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求的大小及的值；
（2）求的长及的值．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，已知该抛物线与轴交于，两点．
（1）求抛物线表达式及顶点的坐标．
（2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差．
（3）点是抛物线上一点，作直线，若点是轴上方抛物线上点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，
①求线段的长（用含的代数式表示）
②当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围．
平均数
中位数
众数
方差
甲
乙
欧多克索斯（Eudxus）约公元前400年出生于小亚西亚的尼多斯（Cnidus，今土耳其西南部），约公元前347年卒于尼多斯，精通数学、天文学、地理学．他对数学的最大功绩是创立了关于比例的一个新理论，第一个系统研究了这一个问题，并建立起比例理论．他认为所谓黄金分割，指的是把长为的线段分为两部分，使其中较长一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，其比值是．现在，我们也把顶角为的等腰三角形叫黄金三角形．
2025年下学期九年级期末素养检测
数学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A. 任意两个正方形B. 任意两个平行四边形
C. 任意两个菱形D. 任意两个矩形
【答案】A
【解析】
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．
【详解】解：A、任意两个正方形，四条边对应成比例，四个角对应相等，一定相似，故本选项正确；
B、任意两个平行四边形不一定相似，故本选项错误；
C、任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故本选项错误．
D、任意两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
故选：A．
本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、平行四边形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中．
2. 下列关系式中，为的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，形如（为常数，，）的函数是反比例函数．
根据反比例函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．是正比例函数，不是反比例函数；
B．符合反比例函数的形式，是反比例函数；
C．由变形得，是正比例函数，不是反比例函数；
D．是一次函数，不是反比例函数．
故选B．
3. 点M、N、P是△ABC三边的中点，下列说法正确的是（ ）
A. △ABC与△MNP的面积之比为2：1B. △ABC与△MNP的周长之比是2：1
C. △ABC与△MNP的高之比是1：1D. △ABC与△MNP的中线之比是4：1
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理可以判定图中的相似三角形，然后利用相似三角形的性质进行解答．
【详解】解：∵M、N是△ABC的边AB、AC的中点，
∴MN∥BC，且MN=BC，
∴△AMN∽△ABC，且=，即相似比是．
同理，△CNP∽△ABC，△BMP∽△ABC，且相似比都是．
A、，则S△AMN=S△ABC．
同理S△CNP=S△ABC，S△BMP=S△ABC．
所以 S△MNP=S△ABC-3×S△ABC=S△ABC．
即S△ABC：S△MNP=4：1．
故本选项错误；
B、∵MN=BC，MP=AC，NP=AB，
∴△MNP的周长=（BC+AC+AB）=△ABC的周长，即△ABC与△MNP的周长之比是2：1．
故本选项正确；
C、由S△ABC：S△MNP=4：1知，△ABC与△MNP的高之比是2：1．故本选项错误；
D、由S△ABC：S△MNP=4：1知，△ABC与△MNP的中线之比是2：1．故本选项错误；
故选：B．
本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理判定相似三角形且得到相似三角形的相似比是解题的关键．
4. 三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程 的解，则这个三角形的周长是（ ）
A. B. 13C. 11或8D. 11和13
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解法求得方程的解，再根据三角形三边关系确定三角形的边长，即可求解．
【详解】解：由方程得，
，，
∵，，
∴3，6，2不能构成三角形，
∴周长是，
故选B．
此题考查了因式分解法求解一元二次方程以及三角形三边关系的应用，解题的关键是掌握因式分解法求解一元二次方程．
5. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况，利用根的判别式进行求解即可．
【详解】解：当时，方程为，解得：，满足题意；
当时，为一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴，
解得：，
∴且；
综上：；
故选C．
6. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意；
选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意；
选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意；
选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意，
故选：C．
7. 如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（ ）
A. 12B. 6C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，再根据反比例函数的图象经过第一象限，得到，据此可得答案．
【详解】解：∵为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，且，
∴，
∵反比例函数的图象经过第一象限，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
8. 如图，在菱形中，，，，则的值是( )
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，欲求的值，只需通过解直角三角形求得的值即可．
【详解】解：设菱形边长为，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵、两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴点的纵坐标为6，故C正确．
故答案为：6．
本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键．
10. 如图，密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，即（k为常数且），其图象如图所示．当时，气体的密度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的应用，通过待定系数法求解，将V=10代入函数解析式求解．
【详解】解：∵密度与体积V是反比例函数关系为，
将代入，得，
解得，
∴，
将代入，得，
∴该气体的密度为．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 若，则锐角_________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】根据解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
12. 若x是4和16的比例中项，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义，列式计算即可．
【详解】解：∵x是4和16的比例中项，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
13. 若是二次函数，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义，得到且，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：且，
解得：；
故答案为：3．
14. 已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是_____（用“”连接）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小．将各点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应的纵坐标，再比较大小．即可作答．
【详解】解：对于点，有；
对于点，有；
对于点，有．
比较得，即．
故答案为：．
15. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为________步．
【答案】360
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得AECD，AE=CE，则有△ABE∽△CED，根据相似三角形的性质得， 不妨设正方形的边长为2x，则AE=CE=x，求出x的值进而可确定出正方形的边长．
【详解】解：设正方形的边长为2x步，根正方形的性质可得AECD，AE=CE=x步，
∵AECD，
∴△ABE∽△CED，
∴，
∴，解得x=180（负值舍去）.
∴2x=360．
∴正方形的边长为360步．
故答案为：360．
本题考查了相似三角形的性质和判定，利用相似比计算对应的线段长，熟练掌相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．
16. 2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可．
【详解】解：设所修道路的宽为，根据题意得：
，
整理得：，
解得：（舍去），
答：所修道路的宽为．
故答案为：1
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．17题、18题各6分；19题、20题各8分；21题、22题各10分；23题、24题各12分）
17 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值．先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
．
18. 在解方程：时，小睿的解题过程如下：
解：两边同时约去，得．（第一步）
移项，合并同类项，得．（第二步）
两边同时除以2，得．（第三步）
（1）小睿的解题方法是从第_____步开始出现错误的；
（2）请你写出正确的解答过程．
【答案】（1）一 （2），
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、等式的基本性质、完全平方公式等知识点，灵活应用因式分解法解一元二次方程是解本题的关键．
（1）根据等式的基本性质即可解答；
（2）先移项、然后提取公因式,将原方程化为两个一元一次方程求解即可．
【小问1详解】
解：当时，不能两边同时约去，小睿没有考虑这个情况
小睿的解题方法是从第一步开始出现错误的．
故答案为：一．
【小问2详解】
解：，
移项得：，
提取公因式得：，
或，
，．
19. 在平面直角坐标系中，已知点在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经过点和点．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）点是否在反比例函数的图象上？
（3）若是坐标轴上一点，且满足，直接写出点的坐标．
【答案】（1）；
（2）点不在反比例函数的图象上，理由见解析；
（3）点的坐标为或或．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，求函数解析式，两点间的距离等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用点在反比例函数上求出，再代入正比例函数即可求解；
（2）先求出点的坐标，再验证是否满足反比例函数关系即可；
（3）先计算出的长度，分两种情况利用距离公式即可求解．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
经检验，是方程的解，
∴
∴，
把代入中，得：，
∴，
∴正比例函数解析式为：；
【小问2详解】
解：∵点在正比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴点，
把代入反比例函数中，得：，
∴点不在反比例函数的图象上；
【小问3详解】
解：∵点，
∴点到原点的距离为：，
当点在轴上时，设，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，
∴点或，
当点在轴上时，设，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，
∴点或，
综上，点的坐标为或或．
20. 甲、乙两名队员参加射击训练，甲队员次的成绩（单位：环）分别是：；乙队员次的成绩被制成如图所示的统计图；根据甲、乙的信息，整理数据制成如下表格：
甲、乙队员射击训练成绩分析表
（1）填空：______，______；
（2）求的值；
（3）从平均数和方差的角度分析，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
【答案】（1），
（2）
（3）选派乙参赛，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查数据的处理与数据的分析，涉及了平均数、中位数、方差的求解，此类题目，从图表中获得有用信息，掌握平均数、中位数、众数以及方差的求解方法是解题关键．
（）通过提取乙的成绩分布计算平均数，将甲的成绩排序后取中间两个数的平均值得到中位数；
（）已知甲的平均数是，代入方差公式，计算甲的成绩与平均数的差的平方和，再取平均值，得到方差；
（）分别对甲和乙射击成绩的平均成绩、方差进行比较，选出合适的队员参赛即可．
【小问1详解】
解：从统计图中提取乙的成绩：环出现次，环出现次，环出现次，环出现次，环出现次，
，
先将甲的成绩排序：；
数据共个，中位数为第个数的平均值，即．
故答案为：．
【小问2详解】
甲队员次的成绩的方差．
【小问3详解】
选派乙参赛，理由如下：
虽然两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，成绩更稳定，
所以选派乙参赛．（说法合理即可）
21. 某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店11月4日定制出200本，5日、6日定制量持续增加，到11月6日当天的定制量达到338本．
（1）求5日、6日这两日定制量平均增长率．
（2）在日常销售期间，为吸引更多同学购买，文具店降价促销笔记本．已知每本笔记本成本为30元，当售价为每本50元时，日销量为320本；每降价1元，日销量可增加5本．问每本笔记本降价多少元时，当日销售总利润可达到5940元？
【答案】（1）
（2）2元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设5日、6日这两日定制量的平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设每本笔记本降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【小问1详解】
解：设5日、6日这两日定制量的平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（舍），
答：5日、6日这两日定制量的平均增长率为；
【小问2详解】
解：设每本笔记本降价元，
由题意得：，
解得：（舍），
答：每本笔记本降价2元．
22. 阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）如图1，在中，，，的平分线交腰于点．请你根据上述材料利用所学知识，证明点为腰的黄金分割点；
（2）如图2，在中，，为斜边上的高，，若是的黄金分割点，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）2．
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝72°，再由CD是∠ACB的角平分线，求出∠ACD＝∠BCD＝36°，所以△BCD和△ABC是相似的两个等腰三角形，并且AD＝BC，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，即可证明结论；
（2）由点是的黄金分割点，可得比例式，利用此比例式求出AD，再根据相似三角形的判定方法证得，则，即可求解的长．
【详解】（1）证明：∵在中，，，
∴．
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴点为腰的黄金分割点．
（2）解：∵点是的黄金分割点，
∴，
又∵，
∴，
．
∵，是斜边上的高，
∴，
．
∴，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
本题考查了相似三角形的判定与性质以及黄金分割等知识，掌握相似三角形的判定和性质以及黄金分割的定义是解答此题的关键．
23. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求的大小及的值；
（2）求的长及的值．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；
（1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；
（2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得：，，，
，，
∴，，，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
如图，过作于，
∵，设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，已知该抛物线与轴交于，两点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标．
（2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差．
（3）点是抛物线上一点，作直线，若点是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，
①求线段的长（用含的代数式表示）
②当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；顶点的坐标为
（2）
（3）①或；②或
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、求二次函数的最值、二次函数的图像与性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再运用配方法求得出顶点M的坐标即可；
（2）先根据该二次函数的性质求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可；
（3）①先求出直线的表达式为，设点（且），则点．然后分点在点的下方和上方两种情况解答即可；根据①分点在点的下方和上方两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：点，是抛物线上的点，
，解得：，
抛物线的表达式为．
，
抛物线顶点的坐标为．
【小问2详解】
解：，
函数的对称轴为直线，开口向下，
当时，在处，取得最大值；
在处，取得最小值．
当时，二次函数的最大值与最小值的差为．
小问3详解】
解：①设直线的表达式为，
点，，
，解得：，
直线的表达式为，
设点（且），则点．
当点在点的下方，即时，；
当点在点的上方时，即时，．
综上，线段长为或．
②当点在点的下方，即时，，线段的长随的增大而增大；
当点在点的上方时，，，即时，线段的长随的增大而增大．
综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或．
平均数
中位数
众数
方差
甲
乙
欧多克索斯（Eudxus）约公元前400年出生于小亚西亚的尼多斯（Cnidus，今土耳其西南部），约公元前347年卒于尼多斯，精通数学、天文学、地理学．他对数学的最大功绩是创立了关于比例的一个新理论，第一个系统研究了这一个问题，并建立起比例理论．他认为所谓黄金分割，指的是把长为的线段分为两部分，使其中较长一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，其比值是．现在，我们也把顶角为的等腰三角形叫黄金三角形．