湖南省娄底市涟源市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省娄底市涟源市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分120分，考试时间120分钟
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
2. 据湖南政府工作报告，2023年湖南省粮食再获丰收，总产量达61360000000斤，将数据61360000000用科学记数法表示应为（ ）
A B. C. D.
3. 湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说，如图①量某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同B. 左视图与俯视图相同
C. 主视图与俯视图相同D. 三个视图完全相同
4. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C. D.
5. 某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况（较上月节水量）统计：
则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是（ ）
A B. C. D.
6. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，是边上一点，若分别是的平分线，若的周长为18，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
8. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为（ ）

A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（ ）

A. B. C. 6D. 12
10. 已知抛物线，现有以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，抛物线经过坐标原点；③不论为何值，；④若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，则的取值范围是．其中，正确的结论有（ ）
A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11. 计算：_____．
12. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，比较大小：（填“”“”或“”）
13. 如图，点的坐标是，点的坐标是，将沿轴向右平移得到，若，则点的坐标为_________．
14. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），统计结果如表：
则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是_________．
15. 已知四边形的对角线垂直平分对角线于点，要使四边形为菱形，则可添加的条件是__________（添加一个条件即可，不添加其他的点和线）．
16. 对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为__________．
17. 如图，在中，①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内部交于点；③作射线交于点；④过点作，交于点，交于点．若，则的度数为____________．
18. 如图，在矩形中，分别是上的点（点分别不与点重合），且，则的最小值为_________．
三、解答题（本大题有8个小题，第19~20题每题6分．第21~22题每题8分，第23~24题每题9分，第25~26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19. 解方程组：．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 为了贯彻落实健康第一指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质．该校对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）该校此次调查共抽取了________名学生，扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为________，并补全条形统计图；
（2）若该校八年级共300名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数，
（3）若“”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率．
22. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔的高度．
23. 随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务．
（1）求两组员单单独完成此项任务各需多少天；
（2）根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？
24. 如图，为的直径，点为圆上一点，连接，过点作的切线，连接交于点，交于点，连接，且平分．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
25. 【问题背景】
已知，在正方形中，为正方形的对角线，为的中点，点为射线上一个动点（不与点重合），分别过点向直线作垂线，垂足分别为点，连接．
【猜想感知】
（1）如图①，当点在线段上时，判断的形状，并说明理由；
【类比探讨】
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，试探究线段之间的数量关系；
【问题解决】
（3）若，求线段的长．
26. 定义：若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线，那么我们称抛物线是的“友好抛物线”，称为“友好值”．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线是的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一动点．
（1）抛物线的表达式为_________；
（2）若点在第四象限，过点作轴于点，交于点，当时，求的长；
（3）是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
湖南省娄底市2025年九年级期中测试
数学
满分120分，考试时间120分钟
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两数之积为1，求解即可．
【详解】解：的倒数是；
故选C．
2. 据湖南政府工作报告，2023年湖南省粮食再获丰收，总产量达61360000000斤，将数据61360000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数即可求解，解题的关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：
故选：B．
3. 湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说，如图①量某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同B. 左视图与俯视图相同
C. 主视图与俯视图相同D. 三个视图完全相同
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图的知识点，根据主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形，可得答案，理解三视图的意义是正确判断的前提．
【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，底层是一个矩形，上层是一个等腰三角形，俯视图是一个带圆心的圆；
故选：A．
4. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
由不等式①得，，
由不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为，
故选：C．
5. 某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况（较上月节水量）统计：
则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数和众数的概念求解即可．
【详解】解：这组数据中0.3出现4次，次数最多，
则这组数据的众数为0.3，
将这组数据按节水量从小到大排列，中位数位于第5和第6的平均值，
则这组数据的中位数为，
故选：A．
6. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是，由第一月月销售量为辆，第三个月的销售量是第一个月的3倍，列出方程即可．
【详解】解：设第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是，
根据题意得：，
故选：D．
7. 如图，在中，是边上一点，若分别是的平分线，若的周长为18，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据平行四边的性质结合角平分线的定义得到，，进而得到，，由平行四边形的周长，即可求解．
【详解】解：∵、分别是、的平分线，
∴，．
∵四边形平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
，
平行四边形的周长．
，
，
故选：C．
8. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得出，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：如图，连接，

根据题意得：，
，
，
，
，
故选：C．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（ ）

A. B. C. 6D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数、三角形的中位线，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．设点的坐标为，则，先根据三角形的中位线可得，从而可得，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得．
【详解】解：设点的坐标为，则，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∵的面积为12，轴，
∴，即，
又∵点是反比例函数图象上的一点，
∴，
故选：B．
10. 已知抛物线，现有以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，抛物线经过坐标原点；③不论为何值，；④若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，则的取值范围是．其中，正确的结论有（ ）
A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴的性质，开口方向，增减性以及解不等式组的解集等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴为直线，结合开口向上，即可判断①；把代入，再化为顶点式，即可判断②；结合开口向上，抛物线在取到最小值，且为，即可判断③；根据增减性且把和分别代入，则，进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∴，
∴，
则开口向上，
则当时，随的增大而增大；
故①是正确的；
∵，
∴，
当时，，
∴抛物线经过坐标原点；
故②是正确的；
∵的对称轴为直线，
∴把代入，
得，
∵，开口向上，在取到最小值，且为，
不论为何值，；
故③是错误的；
∵在时，随的增大而增大，且关于的一元二次方程在的范围内有实数根，
∴，
∴，
∴，
故④是错误的；
故选：A．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂“任何不等于0的数的0次幂都等于1”、化简绝对值，熟练掌握零指数幂是解题关键．
先计算零指数幂、化简绝对值，再计算减法即可得．
【详解】解：原式，
故答案为：．
12. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，比较大小：（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质可得，再根据绝对值的性质即可得．
【详解】解：由数轴可知，，
则，
故答案为：．
13. 如图，点的坐标是，点的坐标是，将沿轴向右平移得到，若，则点的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
根据得出，求出，则沿轴正方向平移2个单位长度得到，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
即沿轴正方向平移2个单位长度得到，
，
点的坐标为．
故答案为：．
14. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），统计结果如表：
则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是_________．
【答案】丁
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数和方差的应用，熟练掌握相关定义和性质是解题关键．根据平均数和方差的定义，结合表中数据即可获得答案．
【详解】解：根据表中数据可知，乙、丁两品种大豆光合作用速率平均数为25，大于甲和丙两品种大豆光合作用速率，
而乙品种大豆光合作用速率的方差为15.6，大于丁品种大豆光合作用速率的方差，即丁品种大豆光合作用速率的稳定性强，
∴这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是丁．
故答案为：丁．
15. 已知四边形的对角线垂直平分对角线于点，要使四边形为菱形，则可添加的条件是__________（添加一个条件即可，不添加其他的点和线）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据菱形的判定即可得出答案．
【详解】解：添加，理由如下：
∵四边形的对角线垂直平分对角线于点，
，
，
∴四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
16. 对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为__________．
【答案】或3
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，以及解一元二次方程的方法和步骤．根据题目所给新定义，列出方程求解即可．
详解】解：， ，
∴，即，
解得：，
故答案为：或3．
17. 如图，在中，①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内部交于点；③作射线交于点；④过点作，交于点，交于点．若，则的度数为____________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查角平分线的作法，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理．
根据题意可得平分，再根据，证明，得到，再根据，结合三角形内角和定理得到，进而得到，再利用三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：根据题意可得平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18. 如图，在矩形中，分别是上的点（点分别不与点重合），且，则的最小值为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交于点G，根据相似三角形的判定和性质求出为定值，证明，在中，利用勾股定理求出，再利用三角形三边关系求出的最小值为，即可求解．
【详解】解：分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交于点G，
，
四边形是矩形，
，
矩形中，，
，
，
，，，
，
，
，
，即，
解得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，正确作出辅助线构造相似三角形，及平行四边形是解题的关键．
三、解答题（本大题有8个小题，第19~20题每题6分．第21~22题每题8分，第23~24题每题9分，第25~26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【详解】，
①+②得：5x=15，
解得x=3，
把x=3代入①得：3+y=4，
解得：y=1，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握消元的思想，常用的消元法有代入消元法和加减消元法．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，5
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，将原式进行因式分解化简是解题关键．先计算括号内异分母减法，再将原式的分子、分母进行因式分解，再将除法化乘法，化简后代值求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
21. 为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质．该校对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）该校此次调查共抽取了________名学生，扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为________，并补全条形统计图；
（2）若该校八年级共300名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数，
（3）若“”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率．
【答案】（1）80，，补全条形统计图见解析
（2）105 （3）
【解析】
【分析】（1）由“A组”的学生人数除以所占百分比即可求出一共随机抽取的学生人数，再用“”组的学生人数除以总人数，再乘以即可得到“”组对应的扇形圆心角的度数，最后用总人数减去已知被调查每组七、八年级的学生人数即可把条形统计图补充完整；
（2）300乘以八年级每周锻炼时间达到6小时及以上学生所占比例即可，
（3）画树状图，用恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果数除以总的结果数即可得出结果．
【小问1详解】
解：该校此次调查共抽取的学生人数为：（名），
扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为，
“”组八年级的学生人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：根据题意：（人），
答：八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为105人；
【小问3详解】
解：设七年级和八年级的2名同学分别用字甲，乙，丙，丁表示，
树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果有8种，即甲和丙，甲和丁，乙和丙，乙和丁，丙和甲，丙和乙，丁和甲，丁和乙，
∴恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率为．
【点睛】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
22. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔的高度．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质求出；
（2）延长交的延长线于点，设，用表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可知：，
中，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离问；
【小问2详解】
解：如图，延长交的延长线于点，
则四边形为矩形，
，
设，
则，
在中，，
则，
，
在中，，
，
，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为．
23. 随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务．
（1）求两组员单单独完成此项任务各需多少天；
（2）根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？
【答案】（1）B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天
（2）组至少增加17人
【解析】
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．
（1）设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据两组合作完成，需12天可完成此项任务，列出分式方程求解即可，注意检验；
（2）设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，完成该任务所需时间不能超过8天，列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据题意得：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则（天）
答：B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天；
【小问2详解】
解：设组至少增加m人，则组增加m人后工作效率为，根据题意得：
，即，
解得：，
是正整数，
m最小可取17，
答：组至少增加17人．
24. 如图，为的直径，点为圆上一点，连接，过点作的切线，连接交于点，交于点，连接，且平分．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的性质和相似三角形的性质是解题关键．
（1）先根据圆周角定理可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据圆的切线的性质可得，从而可得，由此即可得证；
（2）先根据等腰三角形的判定与性质可得，根据勾股定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得．
【小问1详解】
证明：∵为的直径，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）已证：，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
所以的半径为．
25. 【问题背景】
已知，在正方形中，为正方形的对角线，为的中点，点为射线上一个动点（不与点重合），分别过点向直线作垂线，垂足分别为点，连接．
【猜想感知】
（1）如图①，当点在线段上时，判断的形状，并说明理由；
【类比探讨】
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，试探究线段之间的数量关系；
【问题解决】
（3）若，求线段的长．
【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见解析（2）（3）或
【解析】
【分析】（1）延长交于点，先证明，得到，再证明，得到，进而推出，三线合一结合斜边上的中线，即可得出结论；
（2）延长交的延长线于点，先证明，得到，再证明，推出为等腰直角三角形，三线合一结合斜边上的中线，推出为等腰直角三角形，根据线段的和差关系，勾股定理即可得出结论；
（3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：
延长交于点，如图：
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）如图2，延长交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段上时，由（1）可知：，是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，由（2）可知：，
∴，
∴，
综上：或．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，斜边上的中线，勾股定理等知识点，正确的作出辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键．
26. 定义：若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线，那么我们称抛物线是的“友好抛物线”，称为“友好值”．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线是的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一动点．
（1）抛物线的表达式为_________；
（2）若点在第四象限，过点作轴于点，交于点，当时，求的长；
（3）是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，然后根据“友好值”为2即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出，用待定系数法求出直线的表达式，设，则，则，然后根据列式即可求解；
（3）分点M在直线上方和点M在直线下方两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：把代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵“友好值”为2，
∴抛物线的解析式为．
故答案为：；
【小问2详解】
解：抛物线的表达式为，
∴．
设直线的表达式为，
将点，C的坐标代入，
得，
解得
，
∴．直线的表达式为．
设，则，
∴
∵
∴
解得或（舍去），
∴当时，，
∴点M的坐标为，
∴；
【小问3详解】
解：当点M在直线上方时，设直线交x轴于点D，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，可得，
∴直线的解析式为，
令，
解得（舍去），，
当时，，
∴；
当点M在直线下方时，设直线交x轴于点E，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，可得，
∴直线的解析式为，
令，
解得（舍去），，
当时，，
∴；
综上可知，当时，点的坐标为或
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，二次函数与几何综合，以及解直角三角形等知识，数形结合是解答本题的关键．
节水量
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
家庭数（户）
2
4
1
2
1
品种
甲
乙
丙
丁
速率平均数
24
25
23
25
方差
76
15.6
6.8
4
课题
测量四门塔的高度
测量工具
测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程
如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为．
说明
点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：）
节水量
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
家庭数（户）
2
4
1
2
1
品种
甲
乙
丙
丁
速率平均数
24
25
23
25
方差
7.6
15.6
6.8
4
课题
测量四门塔的高度
测量工具
测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程
如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为．
说明
点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：）