数学八年级下册（2024）2 等腰三角形多媒体教学ppt课件

这是一份数学八年级下册（2024）2 等腰三角形多媒体教学ppt课件，共88页。PPT课件主要包含了两个底角相等，两腰相等，三条边都相等，等腰三角形，等边三角形，性质定理，2等腰三角形，第二课时，等腰三角形的判定，反证法等内容，欢迎下载使用。
1. 探索并证明等腰三角形、等边三角形的性质定理.2. 能用等腰三角形、等边三角形的性质定理进行计算或证明.
我们曾经探索过等腰三角形的一些性质，请你选择其中一条性质进行证明.
定理 等腰三角形的两个底角相等.
这一定理可以简述为：等边对等角.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.分析：有哪些结论可以证明两个角相等?还记得利用折纸的方法探索等腰三角形的性质吗?这对你有什么启发?
轴对称的性质、全等三角形的对应角相等.构造全等三角形来推导角相等.
知识点1 等腰三角形的性质定理
证明：如图，取BC的中点D，连接AD.∵ AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴ △ABD≌△ACD(SSS).∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
有.如图所示，作等腰三角形ABC顶角的平分线AD.∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴ △ABD≌△ACD(SAS)，∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征?为什么?
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC， AD是中线.根据△ABD≌△ACD，可知∠BAD=∠CAD，所以 AD是等腰三角形ABC 顶角的角平分线.根据△ABD≌△ACD，还可知∠ADB=∠ADC，因为∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°.所以AD⊥BC，即AD是等腰三角形ABC底边上的高.
等腰三角形的性质定理 ：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).
注意：“三线合一”即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.
符号语言：在△ABC中，∵ AB=AC， ∠1=∠2 (已知)，∴ BD=CD，AD⊥BC (“三线合一”).或∵ AB=AC， BD=CD (已知)，∴ ∠1=∠2，AD⊥BC (“三线合一”).或∵ AB=AC， AD⊥BC (已知)，∴ BD=CD，∠1=∠2 (“三线合一”).
跟踪训练 如图，在△ABC中，AB=AC，(1) 如果∠B＝70°，那么∠C＝____，∠A＝____．(2) 如果∠A＝70°，那么∠B＝____，∠C＝____．(3) 如果有一个内角等于120°， 那么∠A＝____ ，∠B＝____ ，∠C ＝____ ．(4) 如果有一个内角等于50°，那么另两个内角等于多少度？解：若∠A=50°，则∠B=∠C=65°；若∠B=∠C=50°，则∠A=80°.
有关等腰三角形性质的一些结论(1) 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等.
(2) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
(3) 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数等于顶角度数的一半.
思考 等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢?请尝试证明你发现的结论.如图，在△ABC中，AB=AC=BC.由AB=AC，可知∠B=∠C；由BA=BC，可知∠C=∠A.所以∠A=∠B=∠C=60°.
知识点2 等边三角形的性质定理
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都重合.
每条边上的中线、高和这边所对的角的平分线都重合(3条)
三个角都相等，且都是60°
轴对称图形(3条对称轴)
轴对称图形(1条对称轴)
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)
等边三角形与等腰三角形的性质归纳
跟踪训练 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，AB=4，则BD=　　，AD=　　 ，∠BAD=　　　°. 
回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形性质的经验？一般会先研究一般图形的性质，然后再研究特殊图形的性质，并围绕其边、角进行研究，若是三角形，还要研究其高、中线、角平分线的性质.
2. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证：DE=DF. 证明：连接AD.∵ AB＝AC，D是BC的中点，∴ AD平分∠BAC (三线合一).又 DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE=DF.
3. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，求证： ∠ADB＝∠BAC．证明：∵ AB＝AC，AD＝BD，∴ ∠B＝∠C，∠B＝∠1.(等边对等角)∴ ∠C＝∠1.∵ ∠ADB是△ADC的外角，∴ ∠ADB＝∠C+∠2.∴ ∠ADB＝∠1+∠2=∠BAC.
4. 如图，已知△ABC为等边三角形，点E，F分别在边AC，BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D.（2）求∠BDF的度数.解：由（1）知△ABE≌△CAF ，∴∠ABE=∠CAF，∴∠BDF=∠ABE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°.
5. 如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
解：∵ △ADE是等边三角形，∴ AD=DE=EA，∠ADE=∠DAE=60°.又D，E是BC的三等分点，∴ BD=DE=EC，∴ AD=BD，∴ ∠B=∠BAD.∵ ∠ADE=∠B+∠BAD=60°，∴ ∠BAD=∠B=30°.同理可得∠EAC=∠C=30°，∴ ∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=30°+60°+30°=120°.
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，简述为“三线合一”
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
等腰三角形的两个底角相等，简述为“等边对等角”
第一章 三角形的证明及其应用
1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理.2. 会利用等腰三角形的判定定理进行证明.3. 通过实例体会反证法的含义，并能够运用反证法来证明一些问题.
问题前面已经证明了等腰三角形的两底角相等. 反过来有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
可以发现：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 如何证明这一结论呢?如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.
知识点1 等腰三角形的判定
如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，∴ △ABD≌△ACD(AAS)，∴ AB=AC(全等三角形的对应边相等).
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
符号语言：在△ABC中，∵ ∠B =∠C ，∴ AB =AC .
注意：（1）“等角对等边”的运用前提是在同一个三角形中.（2）在未判定出三角形是等腰三角形时，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词.
等腰三角形判定方法归纳：
例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.证明：∵ AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴ △ABD≌△DCA(SSS).∴ ∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).∴ AE=DE(等角对等边).∴ △AED是等腰三角形.
解题通法“等角对等边”是证明两条线段相等的常用方法在证明时，往往通过计算三角形各角的度数、利用角的关系或全等三角形得到同一个三角形中的两个角相等，进而得到边相等.
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结论成立吗?
知识点2 反证法
小明的思考过程如下.你能理解他的推理过程吗?如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB=AC，那么根据定理“等边对等角”可得∠C=∠B，这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.
像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
注意：用反证法证明时，如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能的情况一一加以否定，才能肯定原结论是正确的;
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.于是 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
注意：用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是条件.
解题通法 用反证法证明的一般步骤(1) 先假设结论的反面是正确的；(2) 然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已有定理、定义或已知条件相矛盾的结果；(3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
1. 已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．求证：AB＝AC．证明：∵ AD∥BC，∴ ∠EAD=∠B，∠DAC=∠C.∵ AD平分∠EAC，∴ ∠EAD=∠DAC，∴ ∠B=∠C，∴ AB＝AC (等角对等边)．
2. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.
解：△BDE是等腰三角形.理由如下：∵ BD平分∠ABC，∴ ∠EBD=∠CBD.∵ DE∥ BC，∴ ∠EDB=∠CBD，∴ ∠EBD=∠EDB，∴ EB=ED(等角对等边)，∴ △BDE是等腰三角形.
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线BD，CE相交于点O. OB与OC相等吗? 请说明理由.
4. 用反证法证明：“若ab=0，则a，b中至少有一个为0”应假设( )A. a，b都不为0 B. a，b只有一个为0 C. a，b至少有一个为0 D. a，b都为0分析：反证法的第一步是假设结论的反面成立，即假设结论不成立的情况.
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法
有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为“等角对等边”
有两条边相等的三角形是等腰三角形
1. 能从基本事实和已学定理出发，探索并证明等边三角形的判定定理、含30°角直角三角形的性质定理.2. 能利用等边三角形的判定定理进行证明，能利用含30°角直角三角形的性质定理进行计算.
问题一个三角形满足什么条件时是等边三角形?一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?请证明自己的结论.
如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗?为什么?是.理由如下：已知△ABC，∠A=∠B=∠C.求证：△ABC是等边三角形.证明：∵ ∠B=∠C，∴ AB=AC . (等角对等边)同理 BC=AC .∴ AB=AC=BC.∴ △ABC是等边三角形.
知识点1 等边三角形的判定定理
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗?为什么?是.理由如下：已知△ABC，AB=AC，其中一个内角等于60°.求证：△ABC是等边三角形.证明：当∠A=60°时，∵AB=AC，∴∠B=∠C=60°，即∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形.当∠B=60°时，∵AB=AC，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形.
等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
等边三角形与等腰三角形的判定定理归纳：
三条边都相等的三角形是等边三角形
两个角相等的三角形是等腰三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
两条边相等的三角形是等腰三角形
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
例1 如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A =60°，且AB//CD，求证：△OCD是等边三角形.证明： ∵∠A=60°,OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠B=60°.∵ AB//CD，∴ ∠C= ∠A =60°，∠D = ∠B =60°，∴∠COD=60°，∴∠D=∠C=∠COD，∴△OCD是等边三角形.
思考(1) 用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?
两个完全相同的含 30°角的三角尺，可以拼成一个等边三角形.
知识点2 含 30°角的直角三角形的性质定理
(2) 在上述拼接过程中，你发现了什么结论?请证明你的结论.由此可以发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半.
直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
∴ ∠ADC=90°.
1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为(　　)A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2. 已知：如图，BD∥AC，∠C=60°，DA平分∠BDC.求证：△ACD是等边三角形.
3. 如图，△ABC是等边三角形，BD = CE，∠1 =∠2.求证：△ADE是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC，∠BAC=60°.在△ABD与△ACE中，AB=AC，∠1 =∠2，BD = CE,∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠EAD=∠BAC=60°，EA=DA.∴△ADE是等边三角形.
4. 如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线取一点E，使CE＝CD，连接BD，DE. 求证：∠ABD＝∠E.
5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长.
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形