2025-2026学年重庆市璧山中学高二上学期月考数学检测试题（1月期末）含答案

这是一份2025-2026学年重庆市璧山中学高二上学期月考数学检测试题（1月期末）含答案，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等比数列{an}中，若a1=4，a3=36，则公比q=( )
A. 3B. ±3C. 6D. ±6
2.已知双曲线x24+y2m=1的一个焦点坐标为(3,0)，则m的值为( )
A. 5B. −5C. 5D. − 5
3.已知a,b为空间向量且a=(1,−2,2),b=(1,−1,1)，则a在b方向上的投影向量为( )
A. 53aB. 53bC. 59aD. 59b
4.已知{a,b,c}是空间的一个基底，{a+b,a−b,c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底{a+b,a−b,c}下的坐标是( )
A. (4,0,3)B. (3,1,3)C. (1,2,3)D. (2,1,3)
5.入射光线l从P(2,1)出发，经y轴反射后，通过点Q(4,3)，则入射光线l所在直线的方程为( )
A. y=0B. x−3y−5=0C. x+3y−5=0D. x−3y+5=0
6.已知等比数列{an}的首项a12S8”是“数列{an}为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
7.已知点P是直线l1：mx−y−5m+1=0和l2：x+my−5m−1=0的交点，点Q是圆C：(x+1)2+(y+1)2=1上的动点，则|PQ|的取值范围是( )
A. [2 2−1,6 2+1]B. [2 2−1,6 2+1)
C. (2 2−1,6 2+1]D. (2 2−1,6 2+1)
8.若过点(5,0)的直线l与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A，B两点，且A，B关于直线x+y−3=0对称，则该椭圆的离心率为( )
A. 23B. 22C. 33D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S25>0，S270
C. 当Sn取得最大值时，n=13D. |a14|>|a13|
10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，AC1交平面A1BD于点E，点F为棱CD的中点，则( )
A. A1，E，O三点共线
B. 三棱锥A1−BCD的外接球的表面积为3π
C. 直线A1C与平面A1BD所成的角为45°
D. 过点A1，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为98
11.我们通常称离心率为 5−12的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A1，A2，B1，B2为顶点，F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有( )
A. |A1F1|，|F1F2|，|F2A2|为等比数列
B. ∠F1B1A2=90°
C. PF1⊥x轴，且PO/​/A2B1
D. 四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}的前n项和Sn=n2−1，其中n=1，2，3，…，那么通项公式为 ．
13.已知圆C1：x2+y2+2x−2y=0，圆C2：x2+y2−2x+6y=0，则两圆的公共弦的长度为 ．
14.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F2(2,0)，若在圆M：(x+2)2+(y−5)2=4上存在点P，使得PF2的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，S10=65．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{1an⋅an+1}的前n项和为Tn．
16.(本小题15分)
已知点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点P(x0,2)在抛物线C上，且|PF|=2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点D(−1,0)，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且|AB|=12，求△ABD的面积．
17.(本小题15分)
等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列，且a1−a3=3．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=n12|an|，记{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn0，且y1+y2=4t，y1y2=−4，
所以|AB|= 1+t2⋅ (y1+y2)2−4y1y2= 1+t2⋅ 16t2+16=4(1+t2)=12，解得t2=2，
所以点D(−1,0)到直线x=± 2y+1的距离，
d=2 3=2 33，
故△ABD的面积为12×12×2 33=4 3．
17.(1)解：已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列，
则2(a1+a2+a3)=2a1+a2，
即a3=−12a2，
即q=−12，
又a1−a3=3，
则a1−a1(−12)2=3，
则a1=4，
则an=4×(−12)n−1=(−2)3−n，
即数列{an}的通项公式为an=(−2)3−n；
(2)证明：因为bn=n12|an|，
则bn=n×23−n12，
令{n×23−n}的前n项和为Hn，
则Hn=1×22+2×21+3×20+...+n×23−n，①
则12Hn=1×21+2×20+3×2−1+...+n×22−n，②
由①−②可得：12Hn=22+21+20+...+23−n−n×22−n，
即Hn=2[4(1−(12)n)1−12−n×22−n]=16−16×2−n−n×22−n