重庆市璧山中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题（Word版附解析）

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本试卷共 19 题，考试用时 120 分钟，满分 150 分
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 等比数列 中，若 ， ，则公比 （ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 求出 即可求解．
【详解】∵等比数列 中， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选：B．
2. 已知双曲线 的一个焦点坐标为 ，则 的值为（ ）
A. 5 B. -5 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程及参数关系计算即可.
【详解】由题意知，双曲线焦点在 轴上，且 ，因此原方程中 ，即 ， ，
根据 得， ，所以 .
故选：B.
3. 已知 为空间向量且 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】由投影向量定义结合数量积和模长的坐标运算直接计算即可得解.
【详解】由题 在 方向上的投影向量为 .
故选：B
4. 已知 是空间的一个基底， 是空间的另一个基底，向量 在基底 下的坐标
为 ，则向量 在基底 下的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设向量 在基底 下坐标为 ，用该基底表示出向量 ，再由 在基底
下坐标为 ，表示出向量 ，建立等式求出 即可.
【详解】设向量 在基底 下坐标为 ，
则
已知 在基底 下坐标为 ，
即 .
所以 ，
即 ，
则： ，
所以向量 在基底 下的坐标是 ，
故选：B.
5. 入射光线 l 从 出发，经 y 轴反射后，通过点 ，则入射光线 l 所在直线的方程为（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出点 的对称点坐标，然后利用两点式直线方程求出结果即可.
【详解】因为 关于 y 轴的对称点 ，
所以直线
因此入射光线 l 所在直线的方程为 ，
故选：C．
6. 已知等比数列 的首项 ，前 项和为 ，则“ ”是“数列 为递增数列”的
（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】通过化简前 项和的不等式，得到公比 的范围；再分析等比数列递增的公比条件，对比后判断
充分必要关系.
【详解】设等比数列 的公比为 ， ，
，由于 ，所以
.
数列 为递增数列 ，由于 ，
所以 .
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所以“ ”是“数列 为递增数列”的充要条件.
故选：C
7. 已知点 是直线 和 的交点，点 是圆
上的动点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得到直线 过定点 , 过定点 ，点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆，然后判断两个
圆的位置关系为外离，进而分析得到 的取值范围.
【详解】直线 过定点 ， 过定点 ；
由于 与 的斜率乘积为 （ 时也垂直），故 ；
因此，交点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆，圆心为 半径为 ；
圆 圆心为 半径为 ；
圆心距为 ，故两圆外离；
， ，
则 的取值范围是 .
故选：A.
8. 若过点 的直线 与椭圆 相交于 两点，且 关于直线
对称，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】根据“对称”求出直线 斜率，进而求出中点坐标，利用点差法建立 、 的关系，即可求出椭圆
的离心率.
【详解】因为点 关于直线 对称，所以直线 与直线 垂直，
所以 . 所以直线 的方程为 .
设 的中点为 ，则 在直线 与直线 上，则
，解得 ， ，即 .
设 ， ，则 ， ， ，
两式相减得， ，又 ，
所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 .
故选：D.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列 是递增数列 B.
C. 当 取得最大值时， D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由等差数列的前 n 项和公式及等差数列的性质可得 ， ，从而得公差
，即可判断 A，B；
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根据 ， ，可得数列 的前 13 项为正，从第 14 项起为负，即可判断 C；
由 ，可得 ，从而判断 D.
【详解】对于 A，因为 ， ，即 ，所以 ，
，所以 ，所以数列 不是递增数列，故 A 错误；
对于 B，由 A 的分析可知 ，故 B 正确；
对于 C，由 A 的分析可知数列 的前 13 项为正，从第 14 项起为负，所以 最大，故 C 正确；
对于 D，由 C 的分析可知 ，且公差 ，
所以数列 是递减数列，所以 ，即 ，故 D 错误.
故选：BC.
10. 如图，已知正方体 的棱长为 1，O 为底面 ABCD 的中心， 交平面 于点 E，
点 F 为棱 CD 的中点，则（ ）
A. ，E，O 三点共线
B. 三棱锥 的外接球的表面积为
C. 直线 与平面 所成的角为
D. 过点 ，B，F 的平面截该正方体所得截面的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可证得 三点都在平面 与平面 的交线上，可判断 A；由题意可证得
平面 ，从而 ，可判断 B；由题意可证得
平面 ，则直线 与平面 所成的角为 ，根据余弦定理，求解可判断 C；取
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的中点 ，因为 ，所以等腰梯形 就是过点 的平面截该正方体所得
截面，求出面积可判断 D.
【详解】因为 为底面 ABCD 的中心，所以 为 BD 和 AC 的中点，则 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 平面 ，
所以点 是平面 与平面 的公共点；
显然 是平面 与平面 的公共点；
因为 交平面 于点 平面 ，
所以 也是平面 与平面 的公共点，
所以 三点都在平面 与平面 的交线上，即 三点共线，故 A 正确；
三棱锥 的外接球和正方体是同一个外接球，棱长为 1，所以 ，
所以外接球的表面积 ，故 B 正确；
因为 平面 平面 ABCD，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ， 平面
所以平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 在平面 的射影为 ，
即直线 与平面 所成的角为 ，
， ， ，
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,故 C 错误；
取 的中点 ，连 ，因为 ，
所以等腰梯形 就是过点 的平面截该正方体所得截面，如图：
因为 ， ，
所以等腰梯形 的高为 ，
所以等腰梯形 的面积为 ，
即过点 的平面截该正方体所得截面的面积为 ，故 D 正确．
故选：ABD．
11. 我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆 ， 为顶点，
为焦点， 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆 为“黄金椭圆”的有（ ）
A. 为等比数列
B.
C. 轴，且
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D. 四边形 的内切圆过焦点
【答案】BD
【解析】
【分析】若 为等比数列，可得 ，则求出离心率可判断 A；由勾股定
理以及离心率公式可判断 B；根据 结合斜率公式可判断 C；由四边形 的内切圆的半径为
可得 ，求出离心率可判断 D.
详解】解： ，
， ，
对于 A： 为等比数列，
则 ，
， 不满足条件，故 错误；
对于 B： ,
,
即 解得 或 （舍去）满足条件.
故 B 正确；
对于 C： 轴，且 ，
即 解得 ，
不满足题意，故 C 错误；
对于 D：四边形 的内切圆过焦点 ，
即四边形 的内切圆的半径为 ，
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解得 （舍去）或
，故 D 正确.
故选：BD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 已知数列 的前 项和 ，那么数列 的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】运用数列的递推式 即可得到数列通项公式．
【详解】数列 的前 项和 ，
当 时，得 ；
当 时， ；
综上可得
故答案为
【点睛】本题考查数列的通项与前 项和的关系，考查分类讨论思想的运用，求解时要注意把通项公式写
成分段的形式．
13. 已知圆 ，圆 ，则两圆的公共弦长是 ___．
【答案】
【解析】
【分析】设两圆的交点为 M、N，通过联立两圆方程，求解可得公共弦方程 ，再根据垂径定理和
勾股定理求解.
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【详解】根据题意，设两圆的交点为 M、N，即其公共弦所在的直线为 MN，
已知圆 ： ，圆 C ： ，
则 MN 的方程为： ，
变形可得： ，即 ，
圆 ： 的圆心为（-1,1），半径为
则 的圆心到直线 MN 的距离 ，
则 ；
故填： ．
【点睛】本题考查了两个相交圆的公共弦长问题，一般解法有两种：①联立两圆的方程，解出两交点的坐
标，直接应用两点间的距离公式求解；②联立两圆的方程，求出公共弦所在直线方程，再利用垂径定理和
勾股定理求解.
14. 双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若在圆 上存
在点 P，使得 的中点在 C 的渐近线上，则双曲线 C 的离心率的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆 上的一点 ，得到中点坐标为 ，代入双曲线的渐近线方程，得到
，根据直线与圆存在公共点，结合 ，求得 ，进而求得离心率的取值范围.
【详解】由双曲线 的右焦点为 ，则 ，
又由圆 的圆心为 ，半径为 ，
设圆 上的一点 ，可得 的中点坐标为 ，
因为双曲线 的渐近线方程为 ，可得 ，即 ，
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又因为直线 与圆 存在公共点，
则圆心 到直线 距离 ，
即 ，可得 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的离心率的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和为 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法来求和即可.
【小问 1 详解】
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设等差数列 的公差为 ，
则由等差数列求和公式得： ，
又因为 ，所以可得 ，
即数列 的通项公式为 ；
【小问 2 详解】
由 ，
所以 .
16. 已知点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线 上，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）若点 ，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ，求 的面积．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由点 在抛物线上及 ，结合抛物线定义求 ，得到方程；
（2）设直线 ，由 求出 ，由 求解.
【小问 1 详解】
因为点 在抛物线上，所以 ，得 ，
因为抛物线 的准线方程为 ，且 ，
由抛物线的定义可得 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 ；
【小问 2 详解】
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设过点 的直线 的方程为 ，
由 得 ，
设 ，则 ，
所以 ，
解得 ，
所以
17. 等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目条件列出等式求出公比 和首项 ，即可得数列 的通项公式；
（2）先求出数列 的通项公式 ，再利用错位相减法求出其前 项和为 ，即可得证
【小问 1 详解】
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因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
即 ，整理可得 ，所以公比 .
由 ，可得 ，解得 ，
所以 ；
小问 2 详解】
因为 ，
所以 ，
则 ，
，
上面两式相减可得
，
所以 .
又因为 ，所以 ．
18. 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠ACB＝90°，PA⊥平面 ABCD，
， ，F 是 BC 的中点．
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（1）求证：AD⊥平面 PAC；
（2）试在线段 PD 上确定一点 G，使 ∥平面 PAF，请指出点 G 在 PD 上的位置，并加以证明；
（3）求平面 PAF 与平面 PCD 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）G 为 PD 中点，证明见解析；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）证明出 AD⊥PA，AD⊥AC，结合线面垂直的判定定理可得出结论；
（2）当 G 为 PD 的中点时， 平面 PAF，取 PA 的中点 H，连接 GH、FH，证明四边形 CFHG 为平行
四边形，可得出 ，再利用线面平行的判定定理可得出结论；
（3）以点 A 为坐标原点，AC、AD、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法
可求得平面 PAF 与平面 PCD 夹角的余弦值．
【小问 1 详解】
∵PA⊥平面 ABCD， 平面 ABCD，∴AD⊥PA，
∵∠ACB＝90°， ，则∠CAD＝90°，则 AD⊥AC，
∵ ， 平面 PAC，∴AD⊥平面 PAC；
【小问 2 详解】
当 G 为 PD 的中点时， 平面 PAF，
取 PA 的中点 H，连接 GH、FH，如图所示：
因为 G、H 分别为 PD、PA 的中点，则 且 ，
因为四边形 ABCD 为平行四边形，则 且 ，
∵F 为 BC 的中点，则 且 ，所以， 且 ，
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所以，四边形 CFHG 为平行四边形，所以， ，
因为 ， 平面 PAF， 平面 PAF，因此， 平面 PAF，
故当点 G 为 PD 的中点时， 平面 PAF；
【小问 3 详解】
∵PA⊥平面 ABCD，AC⊥AD，以点 A 为坐标原点，AC、AD、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如下图所
示的空间直角坐标系，
∵ ， ， ，则 ，
∵F 为 BC 的中点，则 ，
则 、 、 、 、 ，
， ， ， ，
设平面 PAF 的法向量为 ，设平面 PCD 的法向量为 ，
由 ，得 ，取 ，可得 ，
由 ，得 ，取 ，可得 ，
因为 ，
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因此，平面 PAF 与平面 PCD 夹角的余弦值为 ．
19. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，其离心率为 ，焦点到渐近线的距离为 ，
点 是直线 上一点，直线 的斜率分别是 ， 是坐标原点.
（1）求双曲线 的标准方程.
（2）是否存在实数 ，使得 为定值？若存在，求出 及该定值.若不存在说明理由.
（3）若直线 与双曲线相交于 、 两点，求出点 坐标使得 .
【答案】（1） ；
（2）存在实数 使得 为定值 ；
（3） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据题意得 ，再结合 解方程即可得答案；
（2）结合（1）得 ，进而根据 代入整理得 ，此
时 ，即 时即为定值；
（3）设直线 的方程为 ， ，进而与双曲线联立方程，结合韦达定理化
简整理得所以 ，解方程即可求得 或 ，最后根据 即可求得
坐标.
【小问 1 详解】
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由题知，双曲线的焦点在 轴上，
故焦点为 ，渐近线方程为
因为其离心率为 ，焦点到渐近线的距离为 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ， ， ，
所以双曲线的标准方程为 ，即
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
因为点 是直线 上一点，所以 ，
所以 ，
所以
，
所以，当 ，即 时， ，为定值.
所以，存在实数 使得 为定值 ；
【小问 3 详解】
设直线 的方程为 ，
第 19页/共 20页
联立方程 得 ，
因为直线 与双曲线相交于 、 两点，
所以 ，即 ，
， ，
所以 ，
即 ，整理得 ，即 ，
解得 或 ，满足判别式.
当 时，即 ，解得 ， ，即 ；
当 时，即 ，解得 ， ，即 .
所以，当点 或 时， .