重庆市璧山中学校2025--2026学年高二上册1月月考数学试题【附解析】

这是一份重庆市璧山中学校2025--2026学年高二上册1月月考数学试题【附解析】，共22页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共19题，考试用时120分钟，满分150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 等比数列中，若，，则公比（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据求出即可求解．
【详解】∵等比数列中，，，
∴，
∴，∴．
故选：B．
2. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A. 5B. -5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程及参数关系计算即可.
【详解】由题意知，双曲线焦点在轴上，且，因此原方程中，即，，
根据得，，所以.
故选：B.
3. 已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由投影向量定义结合数量积和模长的坐标运算直接计算即可得解.
【详解】由题在方向上的投影向量为.
故选：B
4. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设向量在基底下坐标为，用该基底表示出向量，再由在基底下坐标为，表示出向量，建立等式求出即可.
【详解】设向量在基底下坐标为，
则
已知在基底下坐标为，
即.
所以，
即，
则：，
所以向量在基底下的坐标是，
故选：B.
5. 入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出点的对称点坐标，然后利用两点式直线方程求出结果即可.
【详解】因为关于y轴的对称点，
所以直线
因此入射光线l所在直线的方程为，
故选：C．
6. 已知等比数列的首项，前项和为，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】通过化简前项和的不等式，得到公比的范围；再分析等比数列递增的公比条件，对比后判断充分必要关系.
【详解】设等比数列的公比为，，
，由于，所以
.
数列为递增数列，由于，
所以.
所以“”是“数列为递增数列”的充要条件.
故选：C
7. 已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得到直线过定点 , 过定点，点P的轨迹是以AB为直径的圆，然后判断两个圆的位置关系为外离，进而分析得到的取值范围.
【详解】直线过定点 ，过定点；
由于 与 的斜率乘积为（ 时也垂直），故 ；
因此，交点P的轨迹是以AB为直径的圆，圆心为半径为 ；
圆圆心为 半径为 ；
圆心距为 ，故两圆外离；
，，
则的取值范围是.
故选：A.
8. 若过点的直线与椭圆相交于两点，且关于直线对称，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“对称”求出直线斜率，进而求出中点坐标，利用点差法建立、的关系，即可求出椭圆的离心率.
【详解】因为点关于直线对称，所以直线与直线垂直，
所以. 所以直线的方程为.
设的中点为，则在直线与直线上，则
，解得，，即.
设，，则，，，
两式相减得，，又，
所以，即，所以.
因为，所以.
故选：D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是递增数列B.
C. 当取得最大值时，D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由等差数列的前n项和公式及等差数列的性质可得，，从而得公差，即可判断A，B；
根据，，可得数列的前13项为正，从第14项起为负，即可判断C；
由，可得，从而判断D.
【详解】对于A，因为，，即，所以，
，所以，所以数列不是递增数列，故A错误；
对于B，由A的分析可知，故B正确；
对于C，由A的分析可知数列的前13项为正，从第14项起为负，所以最大，故C正确；
对于D，由C的分析可知，且公差，
所以数列是递减数列，所以，即，故D错误.
故选：BC.
10. 如图，已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，交平面于点E，点F为棱CD的中点，则（ ）

A. ，E，O三点共线
B. 三棱锥的外接球的表面积为
C. 直线与平面所成的角为
D. 过点，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可证得三点都在平面与平面的交线上，可判断A；由题意可证得平面，从而，可判断B；由题意可证得
平面，则直线与平面所成的角为，根据余弦定理，求解可判断C；取的中点，因为，所以等腰梯形就是过点的平面截该正方体所得截面，求出面积可判断D.
【详解】因为为底面ABCD的中心，所以为BD和AC的中点，则，
因为平面平面，所以平面平面，
所以点是平面与平面的公共点；
显然是平面与平面的公共点；
因为交平面于点平面，
所以也是平面与平面的公共点，
所以三点都在平面与平面的交线上，即三点共线，故A正确；
三棱锥的外接球和正方体是同一个外接球，棱长为1，所以，
所以外接球的表面积，故B正确；

因为平面平面ABCD，所以，
又平面，
所以平面，平面
所以平面平面，平面平面，
所以在平面的射影为，
即直线与平面所成的角为，
，，，
,故C错误；
取的中点，连，因为，
所以等腰梯形就是过点的平面截该正方体所得截面，如图：

因为，，
所以等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，
即过点的平面截该正方体所得截面的面积为，故D正确．
故选：ABD．
11. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A. 为等比数列
B.
C. 轴，且
D. 四边形的内切圆过焦点
【答案】BD
【解析】
【分析】若为等比数列，可得，则求出离心率可判断A；由勾股定理以及离心率公式可判断B；根据结合斜率公式可判断C；由四边形的内切圆的半径为可得，求出离心率可判断D.
详解】解：，
，，
对于A：为等比数列，
则 ，
，不满足条件，故错误；
对于B：,
,
即解得或（舍去）满足条件.
故B正确；
对于C： 轴，且，
即解得，
不满足题意，故C错误；
对于D：四边形的内切圆过焦点，
即四边形的内切圆的半径为，
解得（舍去）或
，故D正确.
故选：BD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知数列的前项和，那么数列的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】运用数列的递推式即可得到数列通项公式．
【详解】数列的前项和，
当时，得；
当时，；
综上可得
故答案为
【点睛】本题考查数列的通项与前项和的关系，考查分类讨论思想的运用，求解时要注意把通项公式写成分段的形式．
13. 已知圆，圆，则两圆的公共弦长是 ___．
【答案】
【解析】
【分析】设两圆的交点为M、N，通过联立两圆方程，求解可得公共弦方程，再根据垂径定理和勾股定理求解.
【详解】根据题意，设两圆的交点为M、N，即其公共弦所在的直线为MN，
已知圆：，圆C：，
则MN的方程为：，
变形可得：，即，
圆：的圆心为（-1,1），半径为
则的圆心到直线MN的距离，
则；
故填：．
【点睛】本题考查了两个相交圆的公共弦长问题，一般解法有两种：①联立两圆的方程，解出两交点的坐标，直接应用两点间的距离公式求解；②联立两圆的方程，求出公共弦所在直线方程，再利用垂径定理和勾股定理求解.
14. 双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆上的一点，得到中点坐标为，代入双曲线的渐近线方程，得到，根据直线与圆存在公共点，结合，求得，进而求得离心率的取值范围.
【详解】由双曲线的右焦点为，则，
又由圆的圆心为，半径为，
设圆上的一点，可得的中点坐标为，
因为双曲线的渐近线方程为，可得，即，
又因为直线与圆存在公共点，
则圆心到直线距离，
即，可得，
所以，解得，
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和为．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法来求和即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
则由等差数列求和公式得：，
又因为，所以可得，
即数列的通项公式为；
【小问2详解】
由，
所以.
16. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点，过点的直线与抛物线交于，两点，且，求的面积．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由点在抛物线上及，结合抛物线定义求，得到方程；
（2）设直线，由求出，由求解.
【小问1详解】
因为点在抛物线上，所以，得，
因为抛物线的准线方程为，且，
由抛物线的定义可得，解得，
所以抛物线的方程为；
【小问2详解】
设过点的直线的方程为，
由得，
设，则，
所以，
解得，
所以
17. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目条件列出等式求出公比和首项，即可得数列的通项公式；
（2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法求出其前项和为，即可得证
【小问1详解】
因为，，成等差数列，所以，
即，整理可得，所以公比.
由，可得，解得，
所以；
小问2详解】
因为，
所以，
则，
，
上面两式相减可得
，
所以.
又因为，所以．
18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABCD，，，F是BC的中点．
（1）求证：AD⊥平面PAC；
（2）试在线段PD上确定一点G，使∥平面PAF，请指出点G在PD上的位置，并加以证明；
（3）求平面PAF与平面PCD夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）G为PD中点，证明见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（1）证明出AD⊥PA，AD⊥AC，结合线面垂直的判定定理可得出结论；
（2）当G为PD的中点时，平面PAF，取PA的中点H，连接GH、FH，证明四边形CFHG为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论；
（3）以点A为坐标原点，AC、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面PAF与平面PCD夹角的余弦值．
【小问1详解】
∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴AD⊥PA，
∵∠ACB＝90°，，则∠CAD＝90°，则AD⊥AC，
∵，平面PAC，∴AD⊥平面PAC；
【小问2详解】
当G为PD的中点时，平面PAF，
取PA的中点H，连接GH、FH，如图所示：
因为G、H分别为PD、PA的中点，则且，
因为四边形ABCD为平行四边形，则且，
∵F为BC的中点，则且，所以，且，
所以，四边形CFHG为平行四边形，所以，，
因为，平面PAF，平面PAF，因此，平面PAF，
故当点G为PD的中点时，平面PAF；
【小问3详解】
∵PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，以点A为坐标原点，AC、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
∵，，，则，
∵F为BC的中点，则，
则、、、、，
，，，，
设平面PAF的法向量为，设平面PCD的法向量为，
由，得，取，可得，
由，得，取，可得，
因为，
因此，平面PAF与平面PCD夹角的余弦值为．
19. 已知双曲线的左右焦点分别为，其离心率为，焦点到渐近线的距离为，点是直线上一点，直线的斜率分别是，是坐标原点.
（1）求双曲线的标准方程.
（2）是否存在实数，使得为定值？若存在，求出及该定值.若不存在说明理由.
（3）若直线与双曲线相交于、两点，求出点坐标使得.
【答案】（1）；
（2）存在实数使得为定值；
（3）或.
【解析】
【分析】（1）根据题意得，再结合解方程即可得答案；
（2）结合（1）得，进而根据代入整理得，此时，即时即为定值；
（3）设直线的方程为，，进而与双曲线联立方程，结合韦达定理化简整理得所以，解方程即可求得或，最后根据即可求得坐标.
【小问1详解】
由题知，双曲线的焦点在轴上，
故焦点为，渐近线方程为
因为其离心率为，焦点到渐近线的距离为，
所以，又因为，
所以，，，
所以双曲线的标准方程为，即
【小问2详解】
由（1）知，
因为点是直线上一点，所以，
所以，
所以
，
所以，当，即时，，为定值.
所以，存在实数使得为定值；
【小问3详解】
设直线的方程为，
联立方程得，
因为直线与双曲线相交于、两点，
所以，即，
，，
所以，
即，整理得，即，
解得或，满足判别式.
当时，即，解得，，即；
当时，即，解得，，即.
所以，当点或时，.