2025-2026学年天津市静海区第一中学高二上学期（12月）学生学业能力调研数学试题 [附解析]

这是一份2025-2026学年天津市静海区第一中学高二上学期（12月）学生学业能力调研数学试题 [附解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，那么是（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数f(x)=若a，b，c均不相等，且f(a)=f(b)= f(c)，则abc的取值范围是
A．（1，10）B．(5，6)C．(10，12)D．(20，24)
二、填空题
8．已知是奇函数，则 ．
9．已知为第四象限角，为其终边上的一点，且，则实数
10．已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为 ．
11．计算：
12．若，则取得最小值时， .
13．已知函数，若函数满足：对于任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是
三、解答题
14．计算：
(1)已知为第二象限角，，求，
(2)已知，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的值.
15．已知函数，其中且．
(1)求的值和函数的定义域；
(2)判断并证明函数的奇偶性；
(3)求不等式的解集．
16．(1)若不等式对于恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围；
(3)已知不等式对满足的一切实数恒成立求的取值范围；
(4)你认为解决恒成立问题的本质是什么？
17．已知．
(1)求证：；
(2)判断的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．
答案
1．C
【详解】解不等式得，所以，
解不等式得，所以，
所以.
故选：C
2．C
【详解】解：命题为全称命题，其否定为，
故选：C
3．B
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
4．D
【详解】对于A：当时，，因此A不是真命题;
对于B：取，，但是，因此B不是真命题，
对于C：取，，此时，但是，因此C不是真命题;
对于D：若，则恒成立，即，
因此D正确
故选：D.
5．C
【详解】因为的定义域为，且，
所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故排除B.
当时，在上单调递增，故排除A.
又，故排除D.
故选：C.
6．B
【详解】，
因为函数为增函数，所以，
又函数在上单调递增，所以，所以.
故选：B
7．C
【详解】作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
则abc=c∈（10，12）
8．
【详解】，
，
则，得，得，
当时，，定义域为，满足奇函数的条件.
所以.
故
9．
【详解】由题知，，解得，
又为第四象限角，所以，所以.
故
10．12
【详解】设该扇形的弧长为，圆心角为，半径为，
所以由，即，解得，
所以.
故12.
11．
【详解】因为，，
所以.
故
12．
【详解】由
可整理得，得，
所以，
当且仅当即时取等号，结合，解得，
故答案为.
13．
【详解】由，即，对于任意的，当时成立，
所以函数是R上的减函数，
又，
所以，解得.
则实数的取值范围是，
故
14．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）因为，，
得或，
又为第二象限角，所以；
（2）因为，所以，
（ⅰ）；
（ⅱ）.
15．(1)，定义域为；
(2)为奇函数，证明见解析；
(3).
【详解】（1）由题设，可得，
又，故，则，
所以，即定义域为.
（2）为奇函数，证明如下：
由（1）知：定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数.
（3）由，而在上递减，在定义域上递增，
所以在上递减，且，
故，有，结合定义域知：解集为.
16．(1)
(2)
(3)
(4)将不等式的恒成立问题，转化为函数的最值问题，数形结合是解决恒成立问题的有效方法.
【详解】（1）因为，所以不等式可化为，
即对任意的恒成立，
令，
所以，当且仅当时等号成立，
即的最小值为，所以，
所以实数k的取值范围为.
（2）因为且，所以函数在定义域上单调递减，
根据复合函数的单调性及对数函数的定义域，由题意可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
（3）不等式可化为，
令，
当时，，满足题意，
当时，，不满足题意，
当时，函数在定义域上单调递增，
由题意可得，解得，
当时，函数在定义域上单调递减，
由题意可得，解得，
综上，的取值范围为.
（4）将不等式的恒成立问题，转化为函数的最值问题，数形结合是解决恒成立问题的有效方法.
17．(1)证明见解析；
(2)在上单调递增，证明见解析；
(3)
【详解】（1）由题意可知；
，
故.
（2）由题意得，其定义域为，
在上单调递增，
证明：任取，不妨设，
，
因为，故，
又，故，即得，
故在上单调递增；
（3）由题意知的定义域为，，即为奇函数；.
所以
等价于，又在上单调递增；
所以在时恒成立，
令
则，
由对勾函数的单调性可知其在单调递增，
当时，，
所以，
即实数的取值范围是