2025-2026学年江西省萍乡市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年江西省萍乡市高二（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过两点A(0,4)，B( 3,1)的直线的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.(1−x)7的展开式中，x3项的系数为( )
A. −21B. −35C. 21D. 35
3.已知空间中三个向量AB=(1,2,3)，AC=(2,−1,−1)，AD=(9,x,−1)共面，则实数x的值为( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
4.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的两倍，则C的离心率是( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
5.设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若X～N(100,1n)(n∈N+)，为使零件的尺寸在(99.5,100.5)内的概率不小于0.9974，则n的值至少是( )
注：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−3σ0,b>0)的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角α的两倍，
可得3α=π，所以α=π3，
可得ba=tanπ3= 3，
所以c2−a2a2=3，解得e=ca=2．
故选：C．
设出渐近线的倾斜角，利用已知条件求解倾斜角，然后求解双曲线的离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意可知，标准差σ=1 n，期望μ=100，
根据正态分布的3σ原则，P(μ−3σ0解得140)的渐近线：y= 3x，
所以ba= 3，所以b= 3a．
设焦距为2c(c>0)，由c2=a2+b2得c=2a．
因为|OF1|=|OF2|=|OM|=|ON|，
所以四边形MF1NF2为矩形，其面积为|MF1|⋅|MF2|=16 3，
由题意可得，△MOF2为等边三角形，所以|MF2|=c．
在直角△MF1F2中，有|MF1|= (2c)2−c2= 3c，
所以|MF1|⋅|MF2|= 3c2=16 3，解得c=4，
因为c=2a，所以a=2，所以b=2 3，
所以双曲线C的标准方程为x24−y212=1；
(2)如图，设直线AB交直线m于点M，连接QA并延长交x轴于点N．
①证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为过点A，B分别作直线m：x=4的垂线(点A，B分别位于m的左、右两侧)，垂足分别为P，Q，
所以P(4,y1)，Q(4,y2).
设直线AB的方程为：x=ty+1．
因为A(x1,y1)，Q(4,y2)，所以kAQ=y1−y2ty1−3，
所以直线AQ的方程为：y−y2=y1−y2ty1−3(x−4)，
化简得：x=ty1−3y1−y2y−ty1y2−3y2y1−y2+4(*)，
联立直线AB与双曲线C的方程并化简得(3t2−1)y2+6ty−9=0，
则y1+y2=−6t3t2−1，y1y2=−93t2−1，则ty1y2=32(y1+y2)．
由Δ>0和y1y2>0解得14