2024-2025学年江西省萍乡市高二上册期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省萍乡市高二上册期中考试数学检测试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了5万辆， 直线过抛物线， 已知O为坐标原点，双曲线C， 在中，若，则的取值范围为， 已知双曲线，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.客观题选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.主观题用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效.
3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第I卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A B. C. D.
2. 设，，是非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 下图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（ ）
A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势
B. 这六年销量第60百分位数为536.5万辆
C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年
D. 2020年销量高于这六年销量的平均值
4. 直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，若使的直线恰有2条，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在平行四边形中，为边上异于端点的一点，且，则（ ）

A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系内，方程对应的曲线为椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A. B. C. D.
9. 在中，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
10. 已知双曲线，则（ ）
A. 的取值范围是
B. 时，的渐近线方程为
C. 的焦点坐标为
D. 可以是等轴双曲线
11. 如图，正方形中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（ ）
A. 是定值
B. 是定值
C. 是定值
D. 是定值
12. 直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ）

A. 点的轨迹的长度为.
B. 直线与平面所成的角为定值．
C. 点到平面的距离的最小值为.
D. 最小值为-2．
第II卷
注意事项：
第II卷共2页，需用黑色墨水签字笔在答题卡上作答，若在试题卷上作答，答题无效.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
13. 已知双曲线离心率分别为和，则的最小值为__________.
14. 的展开式中的系数为______（用数字作答）.
15. 法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程的两个根不同幂的和时，发现了，，…，由此推算______________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
16. 如图所示的五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后的几何体，，，D为的中点，E，F分别为，的中点.

（1）判断BF和CE是否垂直，并说明理由；
（2）设（），是否存在，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
17. 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的向上的点数分别记为，设表示不超过实数x的最大整数，的值为随机变量X.
（1）求在的条件下，的概率；
（2）求X的分布列及其数学期望.
18. 如左图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足.现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右图所示.
（1）求证：；
（2）求异面直线与BE的距离；
（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19. 已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.
20. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：y=fx上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示y=fx在点A处的一阶、二阶导数）
（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
（2）求椭圆在处曲率；
（3）定义为曲线y=fx的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
2024-2025学年江西省萍乡市高二上学期期中考试数学检测试卷
本试卷分和两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.客观题选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.主观题用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效.
3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第I卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先解出集合M，再由子集关系求解集合N即可.
【详解】由得，所以，
因为，所以对恒成立，
所以.
故选：A.
2. 设，，是非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】分别判断充分性和必要性成立情况得出结论.
【详解】若，则，；
若，则，即
“”是“”的必要而不充分条件；
故选：B.
3. 下图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（ ）
A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势
B. 这六年销量第60百分位数为536.5万辆
C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年
D. 2020年销量高于这六年销量的平均值
【正确答案】D
【分析】根据条形图，结合百分位数、平均数求法及各项描述判断正误即可.
【详解】A：由条形图知，我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势，对；
B：由，故第60百分位数为2021年数据，为536.5万辆，对；
C：由图知：2019年到2020年增长率超过了100%，其它都不超过100%，对；
D：由，错；
故选：D
4. 直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，若使的直线恰有2条，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据抛物线方程可得通径长，根据抛物线的焦点弦中通径长最短可确定，由此可得所求范围.
【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为，通径长为，
当垂直于轴时，两点坐标为，
此时，且，
即抛物线的焦点弦中，通径最短，
所以.
故选：A．
5. 已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】分别联立直线和椭圆，利用的坐标相等建立齐次方程，求解离心率即可.
【详解】
设Ax1,y1,Bx2,y2，由题意可知直线AB的方程为，
线段的中点是直线与直线的交点，
联立，解得，所以，
另一方面，联立，得.
易知，由韦达定理得，解得，
所以，故离心率，故D正确.
故选：D.
6. 如图，在平行四边形中，为边上异于端点的一点，且，则（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，利用共线定理设，表示出，，根据建立等式求解，分别求出各边的长度，然后即可求解．
【详解】由，
知为锐角，
又因为，
所以．
设，即，
．
由，
得
，
又，故．
则，
因此，
即．在中，由正弦定理，
以及，
整理计算得．
故选：B．
7. 在平面直角坐标系内，方程对应的曲线为椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，分别将与代入方程解得交点坐标，即可得到，再由离心率的公式代入计算，即可得到结果.
【详解】易得该椭圆的对称中心为，且关于直线对称，
将代入方程，解得两交点的坐标为，，
将代入方程，解得两交点的坐标为，，
所以该椭圆的长半轴长，短半轴长，所以半焦距，
所以其离心率为.
故选：C．
8. 已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，
再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.
【详解】
设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，
所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点.
根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，
所以MO是的中位线，所以，
又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为.
所以，，双曲线C的渐近线方程为，
设，T到两渐近线的距离之和为S，则，
由，即，
又T在上，则，即，解得，，
由，故，即距离之和为.
故选：A.
由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程.
9. 在中，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先由已知条件结合整理得，，，再对进行弦化切，结合换元法、基本不等式、对勾函数性质即可求解取值范围.
【详解】由以及得
，
又由得，
所以，且B，C均为锐角，即，，
所以，
因为，
所以，
设，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，故由对勾函数性质，
则.
故选：B.
思路点睛：解三角形取值范围问题通常结合使用辅助角利用三角函数有界性、一元二次函数单调性、基本不等式等求解.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
10. 已知双曲线，则（ ）
A. 的取值范围是
B. 时，的渐近线方程为
C. 的焦点坐标为
D. 可以是等轴双曲线
【正确答案】ACD
【分析】选项A，利用双曲线的标准方程，即可求解；选项B，根据条件，利用求双曲线渐近线的求法，即可求解；选项C，由选项A知焦点在轴上，再由，即可求解；选项D，利用等轴双曲线的定义，即可求解.
【详解】对于选项A，因为表示双曲线，所以，解得，所以选项A正确；
对于选项B，当时，双曲线方程为，其渐近线方程为，所以选项B错误；
对于选项C，由选项A得0，所以焦点在轴上，设的半焦距为，
则，解得，故其焦点坐标为，所以选项C正确；
对于D，若为等轴双曲线，则，解得，所以选项D正确，
故选：ACD.
11. 如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（ ）
A. 是定值
B. 是定值
C. 是定值
D. 是定值
【正确答案】ABD
【分析】依题意建立以为原点的坐标系，设正方形边长为，圆的半径为，点坐标为，对选项中的表达式进行化简可得选项ABD中的表达式可写成只含有和的式子，结果为定值，而C选项中的结果最终含有，即与点位置有关，不是定值.
【详解】根据题意，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：
不妨设正方形边长为，圆的半径为，点坐标为；
则可得，且；
易知；
所以对于A选项，，为定值，即A正确；
对于B选项，
，为定值，所以B正确；
对于C选项，易知表达式中不能表示成只含有边长和半径的式子，
即与有关，故其不是定值，所以C错误；
对于D选项，
，为定值，故D正确；
故选：ABD
关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的直角坐标系，将向量坐标化，再由向量数量积的坐标表示求解是否为定值.
12. 直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ）

A. 点的轨迹的长度为.
B. 直线与平面所成的角为定值．
C. 点到平面的距离的最小值为.
D. 的最小值为-2．
【正确答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，表示，化简后得点的轨迹方程，得轨迹长度判断A；向量法求线面角判断B，向量法求点到平面距离，结合点的轨迹得最小值判断C；坐标表示向量数量积，结合点的轨迹最小值判断D.
【详解】直四棱柱的所有棱长都为4，则底面为菱形，
又，则和都是等边三角形，
设与相交于点，由，以为原点，为轴，为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，，
点在四边形及其内部运动，设，，
由，有，
即，
所以点的轨迹为平面内，以为圆心，2为半径的半圆弧，
所以点的轨迹的长度为， A选项错误；
平面的法向量为，，
直线与平面所成的角为，则，
又由，则，
所以直线与平面所成的角为定值， B选项正确；
，设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则有，令，得，，
所以点到平面的距离，
，所以时，，
所以点到平面的距离的最小值为，C选项正确；
，
，其几何意义为点到点0,4距离的平方减12，
由，点到点0,4距离最小值，
的最小值为，D选项错误.
故选：BC.
方法点睛：
空间几何体中的相关问题，要利用好几何体本身的结构特征，点线面的位置关系，图形中的角度和距离等，建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，也是常用的方法.
第II卷
注意事项：
第II卷共2页，需用黑色墨水签字笔在答题卡上作答，若在试题卷上作答，答题无效.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
13. 已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为__________.
【正确答案】##1.5
【分析】由双曲线离心率公式结合基本不等式即可求解.
【详解】，，
由题意得，
则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为.
14. 的展开式中的系数为______（用数字作答）.
【正确答案】
【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.
【详解】由于，
所以的展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数为.
故
15. 法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程的两个根不同幂的和时，发现了，，…，由此推算______________.
【正确答案】123
【分析】利用韦达定理及，可先计算立方和，再求五次方和，结合完全平方公式计算即可.
【详解】因为，，，，
所以，
所以，
所以.
故123
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
16. 如图所示的五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后的几何体，，，D为的中点，E，F分别为，的中点.

（1）判断BF和CE是否垂直，并说明理由；
（2）设（），是否存在，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）BF和CE不垂直，理由见解析
（2）存在实数
【分析】（1）根据给定条件，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出即可判断.
（2）利用（1）中坐标系，平面PBF的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.
【小问1详解】
BF和CE不垂直，理由如下：
以点C为坐标原点，直线CA，CB，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，
，，，，
因为，
所以BF和CE不垂直.
【小问2详解】
假设存在使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为，由，得，
显然平面ABC的一个法向量为，，
设平面PBF的法向量为，则，取，得，
设平面ABC与平面PBF的夹角为，
则，而，解得，
所以存在实数，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为.
17. 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的向上的点数分别记为，设表示不超过实数x的最大整数，的值为随机变量X.
（1）求在的条件下，的概率；
（2）求X的分布列及其数学期望.
【正确答案】（1）
（2）分布列见解析，
【分析】（1）列举与的样本点，利用条件概率公式计算即可；
（2）根据离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可.
【小问1详解】
记抛掷骰子的样本点为，则样本空间为，样本空间容量为36，
设事件A为：，事件B为：，
则A为：{，
，
}，其包含的样本点数为21，
，其包含的样本点数为14，
根据条件概率得；
【小问2详解】
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
，，，
，，，，
所以其分布列为：
所以数学期望
18. 如左图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足.现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右图所示.
（1）求证：；
（2）求异面直线与BE的距离；
（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）在图1中，连接CE，证明，，可证平面，即可得证；
（2）过作垂线OM，交于M，则OM即异面直线与BE的距离，求出即可的解；
（3）在图2中延长BE，CD，设，连接AG，则是平面与平面的交线，由面面垂直得性质可得平面，即可得，作，垂足为H，连接CH，证得，则即为平面与平面所成锐二面角的平面角，从而可得出答案.
【小问1详解】
证明：在图1中，连接CE，易求.
∴四边形ABCE为菱形.连接AC交BE于点O，则.
∴在图2中，，.又于O，
∴平面.
又平面，∴；
【小问2详解】
解：由勾股定理可得，∴.
过作的垂线OM，交于M，
则OM即异面直线与BE的距离，
；
【小问3详解】
解：在图2中延长BE，CD，设，连接AG.
∵平面，平面.
又平面，平面.
∴是平面与平面的交线，
∵平面平面BCDE，，平面平面，
∴平面，又平面，∴，
作，垂足为H，连接CH，
又，∴平面OCH，又平面OCH，∴.
∴即为平面与平面所成锐二面角的平面角.
由（1）知，，为等边三角形，
∴，∵，∴，解得.
在中，，∴.
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19. 已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）画出图形，结合题意由双曲线的定义得到点的轨迹是以，为焦点的双曲线，求出即可；
（2）设直线l的方程为，，，直曲联立，表示出韦达定理，然后得出斜率间关系，进而解出或，然后再求直线过定点即可.
【小问1详解】
连接OM，
由题意可得，且M为的中点，又O为的中点，
所以，且|.
因为线段的中垂线与直线相交于点T，
所以，
所以，
由双曲线的定义知动点T的轨迹是以，为焦点的双曲线.
设其方程为，则，，，
故曲线C的方程为.
【小问2详解】
证明：由（1）知
依题意直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，，，
由，得，
，由，得，
所以，
则
，
整理得，
即，
解得或，
当时，直线l的方程为，
直线l过定点；
当时，直线l的方程为，
直线l过定点，不合题意，舍去.
综上所述，直线l过定点.
方法点睛：直线过定点问题可把直线方程中的看成已知，把参数看成未知量，（类似于主元变换的性质）求出所过定点.
20. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：y=fx上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示y=fx在点A处的一阶、二阶导数）
（1）求单位圆上圆心角为60°圆弧的平均曲率；
（2）求椭圆在处的曲率；
（3）定义为曲线y=fx的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
【正确答案】（1）1 （2）
（3）
【分析】（1）依据所给定义求解即可.
（2）直接利用定义求解即可.
（3）合理构造给定式子，转化为一元函数，结合高观点极限方法求解即可.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
，，，
故，，故．
【小问3详解】
，，故，其中，
令，，则，则，其中（不妨）
令，在递减，在递增，故；
令，
，令，
则，当时，恒成立，故在上单调递增，
可得，即，
故有，
则在1,+∞递增，
又，，故，
故．
关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极限方法求得关键函数值域，最终即可求解．
X
0
1
2
3
4
5
6
P