江西省萍乡市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（原卷+解析）

这是一份江西省萍乡市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（原卷+解析），共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过两点，的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 的展开式中，项的系数为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知空间中三个向量，，共面，则实数的值为（ ）
A. 1B. 2C. -1D.
4. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的两倍，则其离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
5. 设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若，为使零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，则n的值至少是（ ）【注：若，则】
A 16B. 25C. 36D. 49
6. 已知某正四棱柱的底面边长为2，高为，为其一条体对角线，点P在该正四棱柱底面上运动，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则最小值为（ ）
A. 3B. C. 2D.
8. 满足的实数对共有（ ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
二、多项选择题：本大题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 已知，则
B. 若，，且，则A，B相互独立
C. 若随机变量，则
D. 二项展开式的所有项的系数和为
10. 已知，是双曲线：与椭圆：的公共焦点，点A是，在第一象限的公共点，则（ ）
A.
B. 若，则的方程为
C. 若，则的渐近线方程为
D. 若的内切圆面积为π，则的离心率为
11. 如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（ ）

A. 满足平面的点的轨迹长度为
B. 满足的点的轨迹长度为
C. 存在唯一的点满足
D. 存在点满足
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答.若在试题卷上作答，答题无效.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则______.
13. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M是椭圆C上一点，直线与轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆C的焦距为______.
14. 有5个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记随机变量X为取出的3次球所对应的数字的极差，则X的数学期望______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，，，.
（1）求的外接圆的标准方程；
（2）已知P为线段上异于A，B的点，Q为线段的延长线上一点，若，请判断点Q与的外接圆的位置关系，并求点Q到直线的距离的最大值.
16. 如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，设，，.M为的中点.
（1）用，，表示向量，并求线段的长；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
17. 某高校安排甲、乙、丙、丁、戊5位同学去A，B，C三家不同的公司实习，每位同学只去一家公司，每家公司至少去1人.
（1）若已知甲、乙在同一家公司实习，则丙、丁也在同一家公司实习概率是多少?
（2）记在A公司实习同学人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
18. 如图，在四棱锥中，底面，，，.
（1）证明：平面；
（2）动点在所在的平面内，且.
①求动点轨迹的长度；
②设直线与平面所成的角为，求的最大值.
19. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：是C的一条渐近线，以为直径的圆与相交于M，N两点，四边形的面积为.
（1）求C的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点，过点A，B分别作直线m：的垂线（点A，B分别位于m的左、右两侧），垂足分别为P，Q，分别记，，的面积为，，.
①求证：直线过定点；
②试问：是否存在常数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 高二数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.
第I卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过两点，的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知可求出直线的斜率，根据直线的倾斜角和斜率的关系，即可求得答案.
【详解】由题意知经过两点，的直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，故，
故选：C
2. 的展开式中，项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式定理可求二项展开式中指定项的系数.
【详解】的展开式的通项为，
令，可得项的系数为.
故选：B
3. 已知空间中三个向量，，共面，则实数的值为（ ）
A. 1B. 2C. -1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据共面向量基本定理可求.
【详解】由题意可知，存在实数使得，
即，
则，得.
故选：D
4. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的两倍，则其离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线渐近线关于轴对称的性质，结合“一条渐近线的倾斜角是另一条两倍”的条件求出渐近线的斜率，再通过斜率与和的关系计算出离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
设一条渐近线的倾斜角为，则另一条为，且，因此，；
由得：，离心率为，且，
代入，，即离心率为.
故选：
5. 设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若，为使零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，则n的值至少是（ ）【注：若，则】
A. 16B. 25C. 36D. 49
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态分布的原则结合条件即可求解.
【详解】因为，所以标准差，期望，
根据正态分布的原则，，
要使，则需满足：
，化简可得：，
解得：，即，得出.
故选：C.
6. 已知某正四棱柱的底面边长为2，高为，为其一条体对角线，点P在该正四棱柱底面上运动，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为正方向建立空间直角坐标系，经计算的几何意义为到的距离的平方减2，则有与重合时最小，在底面端点时最大.
【详解】由题意分别以为正方向建立空间直角坐标系如下：
取对角线，则与重合，与重合，设点，易得，
则，
则，
令，表示点到的距离的平方，
因为点在底面运动，
则当取最小值时，应与重合，即，此时，则，
当取最大值时，应在底面端点，不妨令，则，则.
故的取值范围为，
故选：D.
7. 设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】将的最小值转化为到焦点与点P的距离和的最小值问题，数形结合可得最小值.
【详解】由抛物线C的方程，知其焦点为，准线方程为，
所以，
的最小值，即的最小值，
如图，
，当且仅当与抛物线交于，即三点共线时等号成立，
而的最小值为点到直线：的距离，
所以的最小值为.
故选：C.
8. 满足的实数对共有（ ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
【答案】B
【解析】
【分析】先将已知等式转化为点与点到直线：的距离均为1，以为圆心作半径的圆，以为圆心作半径的圆，判断两圆的位置关系，作出切线，从而可得解.
【详解】由题知，，即点与点到直线：的距离均为1.
以为圆心作半径的圆，以为圆心作半径的圆，
则，即两圆外切，共有三条公切线（如图），
因为，的中点为，
所以有一条切线的斜率为，且过点，其方程为，即，经过原点，
另外两条不过原点.
又因为：不过原点（过原点的切线不符合），
所以有2组这样的实数对（另外两条切线符合），使得点与点到直线：的距离均为1.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 已知，则
B. 若，，且，则A，B相互独立
C. 若随机变量，则
D. 二项展开式的所有项的系数和为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，由组合数性质或即可求得的值，对于B，使用条件概率公式后可得，即A，B相互独立，对于C，由题意得，根据二项分布概率公式即可求解，对于D，令即可求二项展开式所有系数和.
【详解】对于A，由得或，
解得或，故A错误；
对于B，由题意得，
即，A，B相互独立，故B正确；
对于C，由题意得，
则，故C正确；
对于D，令则有二项展开式的所有项的系数和为，故D错误.
故选：BC.
10. 已知，是双曲线：与椭圆：的公共焦点，点A是，在第一象限的公共点，则（ ）
A.
B. 若，则的方程为
C. 若，则的渐近线方程为
D. 若的内切圆面积为π，则的离心率为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆方程得出焦点坐标，在根据双曲线定义，椭圆定义，勾股定理和三角形面积公式，分别对各选项中双曲线的方程、渐近线方程和离心率等进行分析和计算，从而判断各选项是否正确.
【详解】根据题意可得，椭圆：的长半轴为5，短半轴为3，焦距，所以公共焦点，，
在A选项中，双曲线：，有，所以A选项错误，
在B选项中，若，，由椭圆的定义得，
由双曲线的定义得，若，则，
所以由可得，，即，
所以，
所以，，
所以双曲线的方程为：，所以B选项正确，
在C选项中，设，若，则，
由得：，所以，
即，，即，
所以渐近线方程为，所以C选项正确，
在D选项中，若的内切圆面积为，则内切圆的半径，
因为的周长为：，
面积，且，
所以，解得：，
将代入椭圆方程：，则，
又因为在第一象限，所以，
所以，，
所以，，
即离心率为：，所以D选项正确.
故选：BCD.
11. 如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（ ）

A. 满足平面的点的轨迹长度为
B. 满足的点的轨迹长度为
C. 存在唯一的点满足
D. 存在点满足
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹，进而判断A；建立空间直角坐标系，得到，，且，，进而对BCD各个选项进行计算验证即可判断并得到答案．
【详解】对于A，取中点，的中点，又点为的中点，
由正方体的性质知，平面，平面
所以平面，同理平面，，平面，
所以平面平面，又平面，平面，
故点的轨迹为线段，故A正确；

以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，设且，，
，，，

对于B，，即，
又，，则点的轨迹为线段，
，且，故B正确；
对于C，，
显然，只有，时，，即，故存在唯一的点满足，故C正确；
对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，
故，故不存在点满足，故D错误．
故选：ABC．
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答.若在试题卷上作答，答题无效.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则______.
【答案】22
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
所以.
故答案为：22.
13. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M是椭圆C上一点，直线与轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆C的焦距为______.
【答案】
【解析】
【分析】由分析出为直角三角形，由得出是的中点，利用椭圆的定义结合勾股定理得到即可.
【详解】
不妨设M第一象限，由，得.
在中，由得出是的中点，
∵，
∴，所以，且是轴上的点，所以，
∴， 所以，
由椭圆的定义可知：，
所以.
故答案为：.
14. 有5个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记随机变量X为取出的3次球所对应的数字的极差，则X的数学期望______.
【答案】##
【解析】
【分析】先确定所有可能取值，然后求出对应的概率，再利用期望公式求解即可.
【详解】由题意可知，
对于，当3次取到球上的数字仅有或5时，则概率为，
当3次各取到1次且1次或3或4，则概率为，所以；
对于，当3次取到数字仅有或仅有时，则概率为，
当3次各取到1次且1次或3，或当3次各取到1次且1次或4，则概率为，所以；
对于，当3次取到数字仅有或或时，则概率为，
当3次各取到数字恰好为或或 ，则概率为，所以；
对于，当3次取到或或或时，则概率为，所以；
对于，当3次取到相同数字时，则概率为，所以；
因此，，，，.
所以.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，，，.
（1）求的外接圆的标准方程；
（2）已知P为线段上异于A，B的点，Q为线段的延长线上一点，若，请判断点Q与的外接圆的位置关系，并求点Q到直线的距离的最大值.
【答案】（1）
（2）点在的外接圆上，
【解析】
【分析】（1）【方法一】写出，的中垂线方程，两者联立解出圆心坐标，进而求得半径，即可得到的外接圆的标准方程；【方法二】设出圆的一般方程后分别将三个点代入联立后即可求解；
（2）设，由可化简得，则有点在的外接圆上，故点到直线的距离的最大值为半径减去圆心到直线距离.
【小问1详解】
【方法一】依题意：的中垂线方程为，的中垂线方程为，
联立，得，
故的外接圆的圆心为，半径，
所以的外接圆的标准方程为；
【方法二】设的外接圆的一般方程为，
代入，，，
得，解得，
所以外接圆的标准方程为；
【小问2详解】
设，，
由得：，
化简得，所以点在的外接圆上；
直线的方程为，点到直线的距离，
故点到直线的距离的最大值.
16. 如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，设，，.M为的中点.
（1）用，，表示向量，并求线段的长；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据空间向量基本定理，利用基向量，，表示向量，再利用向量的数量积求向量的模.
（2）利用空间向量的数量积求异面直线所成的角.
【小问1详解】
由题知，，
因为，，
所以，
所以，即线段的长为.
【小问2详解】
，，故，
则，
则，
故异面直线与所成角的余弦值为.
17. 某高校安排甲、乙、丙、丁、戊5位同学去A，B，C三家不同的公司实习，每位同学只去一家公司，每家公司至少去1人.
（1）若已知甲、乙在同一家公司实习，则丙、丁也在同一家公司实习的概率是多少?
（2）记在A公司实习的同学人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由题意设甲、乙在同一家公司实习”为事件，“丙、丁在同一家公司实习”为事件，根据条件概率公式可得，其中代表甲、乙在同一家，丙、丁在同一家，戊自己单独在一家公司，即可求得，进而求得；
（2）由题意得的取值可以为1，2，3，代表5人中选1人在A公司，剩下4人13分组或22分组（需去重），代表5人中选2人在A公司，剩下3人12分组，代表5人中选3人在A公司，剩下2人各自在B，C公司，以此求X的分布列和数学期望即可.
【小问1详解】
记“甲、乙在同一家公司实习”为事件，“丙、丁在同一家公司实习”为事件，
“甲、乙、丙、丁、戊5位同学去，，三家不同的公司实习”的所有情形共有种，
则，，
则；
【小问2详解】
的取值可以为1，2，3，
，，，
所以的分布列为：
数学期望.
18. 如图，在四棱锥中，底面，，，.
（1）证明：平面；
（2）动点在所在的平面内，且.
①求动点的轨迹的长度；
②设直线与平面所成的角为，求的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）①②
【解析】
【分析】（1）先由平面得，然后利用题目已知条件求得，再用勾股定理得到，进而证得平面.
（2）①先根据 在平面 内的条件，设出 的坐标为 ；然后由 ，代入坐标整理出圆的方程 ；最后得到这是一个半径为 1 的圆，计算其周长 即为轨迹长度.②先求出平面 的法向量 ；然后写出 的坐标，代入向量公式 ，并联立方程得到的取值范围，最后求出 的最大值
【小问1详解】
因为平面，平面，所以，
过 作 于 ，如图：
因为，，，
所以四边形为正方形，
则，，，
在 中，，
在 中， ，
所以，
则，所以，
又，平面，平面，故平面；
【小问2详解】
以为原点，，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
①，，由得，
故动点的轨迹是平面内以为圆心，1为半径的圆，轨迹的长度为；
②，，，
设平面的法向量，则，取，则，
，
设，在平面内，直线与圆有公共点，联立方程并化简得：，则，解得，
则当时，取得最大值为.
19. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：是C的一条渐近线，以为直径的圆与相交于M，N两点，四边形的面积为.
（1）求C的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点，过点A，B分别作直线m：的垂线（点A，B分别位于m的左、右两侧），垂足分别为P，Q，分别记，，的面积为，，.
①求证：直线过定点；
②试问：是否存在常数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）①证明见解析②存在，
【解析】
【分析】（1）利用渐近线方程得出，利用以焦点为直径的圆与渐近线交点所构成的矩形面积公式，列方程求解和，从而得出标准方程.
（2）①设直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得出交点坐标，再利用，的坐标表示出目标直线方程，代入化简后证明其横截距为常数，从而得到定点坐标.
②将所涉及到的面积用坐标表示，代入面积等式条件，结合韦达定理得到的代数关系进行化简，最终解出的值.
【小问1详解】
由双曲线的渐近线：，得出，即，
设焦距为，由得，
因为，
所以四边形为矩形，其面积为，
由题意可得，为等边三角形，则，
在直角中，有，
则，解得，
则，，
故双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
如图，设直线交直线于点，连接并延长交轴于点.
①设，，则，，
设直线的方程为：，
则，
直线的方程为：，
化简得：（*），
联立直线与双曲线的方程并化简得，
则，（由和解得），
则，
故（*）式可化简，
即直线过定点；
②存在，使得，证明如下：
，，，
则，又，
则，又由得，，
则，
故存在实数，使得.1
2
3