2025-2026学年福建省莆田一中高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年福建省莆田一中高一（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|xaB. c>a>bC. c>b>aD. b>a>c
6.已知单位向量a，b满足a⋅b=0，若向量c= 7a+ 2b，则sin=( )
A. 73B. 23C. 79D. 29
7.若sinθ+sin2θ+sin3θ=0且csθ+cs2θ+cs3θ=0，则cs2θ=( )
A. − 32B. −12C. 12D. 1
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，质点M，N间隔3分钟先后从点P出发．绕原点按逆时针方向作角速度为π6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间为( )
A. 37.5分钟B. 40.5分钟C. 49.5分钟D. 52.5分钟
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sinxcsx，则( )
A. f(π4)=12
B. f(x)的最大值为1
C. f(x)在(0,π2)上单调递增
D. 将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度后与f(x)的图象重合
10.函数f(x)=sinx+acsx(a≠0)在一个周期内的图象可以是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数f(x)图象上存在三个不同的点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)满足x2−x1=x3−x2且y2：y1=y3：y2，则f(x)可以是( )
A. f(x)=tanxB. f(x)=ex+1C. f(x)=x2+xD. f(x)=lnx
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正六边形ABCDEF的边长为1，则AC⋅AD= ．
13.将函数g(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数f(x)的图象，若f(x)在(0,π2)上有最大值无最小值，则ω的取值范围是 ．
14.已知△ABC满足AB=AC，∠BAC=40°，点P在线段AB上，且∠ACP=20°，则BCAP= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面四边形ABCD中，AB=2m−2n，AD=−m+3n，AC=2n，其中m，n为不共线的向量．
(1)判断四边形ABCD的形状并证明；
(2)若|m|=2|n|=1，m与n的夹角为π3，F为BC中点，求∠FAB．
16.(本小题15分)
已知两点(π12,3)、(7π12,−1)是函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0c>a．
故选：A．
根据三角函数的取值情况以及指数函数和对数函数的性质进行大小比较．
本题主要考查对数值比较大小和三角函数的取值，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积及模的计算，同时考查平面向量夹角的求解，属于基础题．
依题意得|a|=b=1，再分别求c和a→·c→，然后利用夹角公式求解即可．
【解答】
解：由题意知 |a|=b=1，a·b=0，
而c= 7a+ 2b2= 7a2+2 14a·b+2b2= 7+2=3，
a·c=a· 7a+ 2b= 7a2+ 2a·b= 7，
则cs=a·c|a|·|c|= 71×3= 73，
而向量的夹角范围为[0,π]，
则sin= 1−cs2= 1− 732= 23．
故选B．
7.【答案】B
【解析】解：因为sinθ+sin2θ+sin3θ=sin(2θ−θ)+sin2θ+sin(2θ+θ)=sin2θcsθ−cs2θsinθ+sin2θ+sin2θcsθ+cs2θsinθ=sin2θ(2csθ+1)=0，
csθ+cs2θ+cs3θ=cs(2θ−θ)+cs2θ+cs(2θ+θ)=cs2θcsθ+sin2θsinθ+cs2θ+cs2θcsθ−sin2θsinθ=cs2θ(2csθ+1)=0，
所以sin22θ(2csθ+1)2+cs22θ(2csθ+1)2=0，
即(2csθ+1)2(sin22θ+cs22θ)=(2csθ+1)2=0，
解得csθ=−12，
故cs2θ=2cs2θ−1=2×(−12)2−1=−12．
故选：B．
利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得出csθ的值，再利用二倍角的余弦公式化简可得出cs2θ的值．
本题考查了二倍角公式，重点考查了两角差正切公式，属中档题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意可得：yN=sin(π6x−π2)=−csπ6x，yM=sin[π6(x+3)−π2]=sinπ6x，计算yM−yN= 2sin(π6x+π4)，即可得出．
【解答】
解：由题意可得：设N的运动时间为x分钟，
yN=sin(π6x−π2)=−csπ6x，yM=sin[π6(x+3)−π2]=sinπ6x，
∴yM−yN=sinπ6x+csπ6x= 2sin(π6x+π4)，
令sin(π6x+π4)=1，
解得：π6x+π4=2kπ+π2，x=12k+32，k∈Z，
∴M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，
N运动的时间=3×12+32=37.5(分钟)．
故选：A．
9.【答案】AD
【解析】解：由题意可知，函数f(x)=sinxcsx=12sin2x，
对于A，f(π4)=12，故A正确；
对于B，f(x)max=12×1=12，故B错误；
对于C，令−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ，k∈Z，
则−π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z，
当k=0时，f(x)在(−π4,π4)上单调递增，故C错误；
对于D，将函数向右平移π个单位，即有12sin[2(x−π)]=12sin(2x−2π)=12sin2x，
所以此时它与原函数图象重合，故D正确．
故选：AD．
由二倍角公式化简f(x)解析式，再由正弦函数的性质及三角函数图象的平移变换逐项判断即可得解．
本题主要考查二倍角公式，正弦函数的性质及三角函数图象的平移变换，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：f(x)=sinx+acsx= a2+1sin(x+θ)，(其中tanθ=a)，
因为a≠0，
所以θ∈(−π2,0)∪(0,π2)，
因为正弦函数的周期为2π，
将y= a2+1sinx的图象向左或者向右平移|θ|(|θ|0，
所以对任意实数x，均能取到d= 2x2+2x+1≠0，满足y22=y1y3，故C正确；
选项D：定义域为(0,+∞).y1=ln(x−d)，y2=lnx，y3=ln(x+d)，
y1y3=ln(x+d)ln(x−d)，y22=(lnx)2，
令g(t)=ln(t+d)ln(t−d)−(lnt)2，
只需证∃d>0，t>d，函数g(t)存在零点即可，取0