鲁科版 (2019)必修 第二册天地力的综合:万有引力定律导学案

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▉题型1 开普勒三大定律
【知识点的认识】
开普勒行星运动三大定律基本内容：
1、开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2、开普勒第二定律（面积定律）：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3、开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即：k=a3T2。
在中学阶段，我们将椭圆轨道按照圆形轨道处理，则开普勒定律描述为：
1．行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心；
2．对于某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度）不变，即行星做匀速圆周运动；
3．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，即：R3T2=k。
1．地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1＝S2，彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.5倍，则关于彗星下列说法错误的是（ ）
A．在近日点的速度大于远日点的速度
B．从a运行到b与从c运行到d的时间相等
C．在近日点的速度大于地球绕太阳运行的速度
D．在近日点加速度大小约为地球的加速度大小
【答案】D
【解答】解：A、根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等面积。近日点距离太阳近，要在相同时间内扫过相同面积，彗星必须具有更大的线速度，因此近日点速度大于远日点速度，故A正确；
B、彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积相等，由开普勒第二定律可知，从a运行到b与从c运行到d的时间相等，故B正确；
C、若在近日点做圆周，根据
GMmr2=mv2r
可得
v=GMr
可知在该圆周上的速度大于地球绕太阳运行的速度；而从该圆周到椭圆轨道要加速做离心运动，可知彗星在近日点的速度大于地球绕太阳运行的速度，故C正确；
D、根据
GMmr2=ma
可得
a=GMr2
可知在近日点加速度大小大于地球的加速度大小，故D错误。
此题选择错误的，故选：D。
2．为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的角速度之比约为（ ）
A．1：4B．4：1C．1：8D．8：1
【答案】C
【解答】解：根据题意可得P与Q的轨道半径之比为：
rP：rQ＝4：1
根据开普勒第三定律有：rP3TP2=rQ3TQ2
可得周期之比为：
TP：TQ＝8：1
根据ω=2πT知角速度之比为1：8
故C正确，ABD错误。
故选：C。
3．如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（ ）
A．夏至时地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积最大
B．从冬至到春分的运行时间等于从春分到夏至的运行时间
C．地球公转的线速度最大值与最小值之比等于地心到太阳中心最大距离与最小距离之比
D．地球公转轨道半长轴的三次方与公转周期平方之比与月球公转轨道半长轴三次方与公转周期平方之比相等
【答案】C
【解答】解：A、由开普勒第二定律可知：地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等，故A错误；
B、依题意可知，冬至为近日点，运行速度最大，夏至为远日点，运行速度最小；所以从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故B错误；
C、在极短时间Δt内地球与太阳的连线扫过的面积为
S=12vΔt⋅l
根据开普勒第二定律可知地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等，可得地球公转的线速度最大值与最小值之比等于地心到太阳中心最大距离与最小距离之比，故C正确；
D、开普勒第三定律仅适用于绕同一中心天体运动的行星或卫星。地球绕太阳运动，月球绕地球运动，中心天体不同，则地球公转轨道半长轴的三次方与公转周期平方之比与月球公转轨道半长轴三次方与公转周期平方之比不相等，故D错误。
故选：C。
4．最近，一颗编号为“2024YR4”的小行星在网络上引起热议，因为它绕太阳运行的椭圆轨道与地球轨道相交，在未来有可能与地球相撞。一旦撞击地球，威力大约相当于几百颗原子弹爆炸，会给地球造成毁灭性的灾难。地球围绕太阳可近似认为是做匀速圆周运动，已知地球围绕太阳运行的轨道半径与运行周期。关于小行星“2024YR4”，下列说法正确的是（ ）
A．小行星在靠近太阳运行时速率越来越小
B．太阳位于小行星椭圆轨道的中心
C．已知小行星的运行周期就能计算出它的轨道半长轴
D．已知小行星的运行周期就能计算出它的轨道半短轴
【答案】C
【解答】解：A、题目中已经告诉了小行星的运行轨道为椭圆，根据开普勒第二定律可知，小行星围绕太阳运行的速度大小是变化的，靠近太阳运行时速率越来越大，远离太阳运行时速率越来越小，故A错误；
B、根据开普勒第一定律可知，太阳位于椭圆轨道的焦点上而不是位于椭圆轨道的中心，故B错误；
CD、因为地球围绕太阳运行的轨道半径和周期已知，根据开普勒第三定律，再知道小行星的运行周期就能计算出它的轨道半长轴，故C正确，D错误。
故选：C。
5．2025年2月28日晚，天空中出现了罕见的“七星连珠”天象，“七星连珠”是指太阳系中的七颗行星运动到了太阳同一侧且恰好都与太阳排列在同一条直线上。地球绕太阳公转的平均轨道半径在天文学上被称作一个天文单位，已知火星绕太阳公转的轨道半径约为1.5个天文单位，则发生地球、火星二星连珠间隔的时间最短为（ ）
A．−1年B．+1年
C．1.53−11.53年D．1.53+11.53年
【答案】A
【解答】解：地球绕太阳运行的周期
T0＝1年
设地球绕太阳公转的平均轨道半径为r，则火星的轨道半径为1.5r，由开普勒第三定律
r3T02=(1.5r)3T2
解得火星周期
T=1.53年
设每隔t年会发生一次连珠现象，则有
(2πT0−2πT)t=2π
可得
t=−1年
故A正确，BCD错误。
故选：A。
6．最近，一颗编号为“2024YR4”的小行星在网络上引起热议，因为它绕太阳运行的椭圆轨道与地球轨道相交，在未来有可能与地球相撞。一旦撞击地球，威力大约相当于几百颗原子弹爆炸，会给地球造成毁灭性的灾难。地球围绕太阳可近似认为是做匀速圆周运动，已知地球围绕太阳运行的轨道半径与运行周期。关于小行星“2024YR4”，下列说法正确的是（ ）
A．小行星在靠近太阳运行时速率越来越小
B．太阳位于小行星椭圆轨道的中心
C．已知小行星的运行周期就能计算出它的轨道半长轴
D．已知小行星的运行周期就能计算出它的轨道半短轴
【答案】C
【解答】解：A、依题分析，小行星围绕太阳运行的速度大小是变化的，靠近太阳运行时速率越来越大，远离太阳运行时速率越来越小，故A错误；
B、太阳位于椭圆轨道的焦点上而不是位于椭圆轨道的中心，故B错误；
CD、因为地球围绕太阳运行的轨道半径和周期已知，根据开普勒第三定律，再知道小行星的运行周期就能计算出它的轨道半长轴，故C正确，D 错误。
故选：C。
▉题型2 万有引力定律的内容、推导及适用范围
【知识点的认识】
1.定义：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方程反比。即F=Gm1m2r2。
2.对表达式F=Gm1m2r2的说明
（1）引力常量G＝6.67×10﹣11N・m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互吸引力。
（2）公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两个球心间的距离。
3.F=Gm1m2r2的适用条件
（1）万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两个物体间的万有引力。
（2）质量分布均匀的球体间的相互作用力，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体的球心到质点的距离。
4.万有引力的四个特性
7．关于万有引力定律，下列说法正确的是（ ）
A．牛顿提出了万有引力定律，并测定了引力常量的数值
B．万有引力定律只适用于天体之间
C．万有引力的发现，揭示了自然界一种基本相互作用的规律
D．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是相同的
【答案】C
【解答】A、牛顿提出了万有引力定律，而万有引力恒量是由卡文迪什测定的，故A错误；
B、C、万有引力定律适用于宇宙万物任意两个物体之间的引力，是自然界一种基本相互作用的规律，故B错误，C正确；
D、根据万有引力公式F＝GMmr2可知，在近日点的距离比远日点的距离小，所以在近日点万有引力大，故D错误。
故选：C。
8．关于万有引力及其计算公式F=Gm1m2r2，下列说法正确的是（ ）
A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间
B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大
C．相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力也会增加到原来的2倍
D．地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则h=(2−1)R
【答案】D
【解答】解：A．万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用，宇宙中各物体之间均存在万有引力，故A错误；
B．万有引力公式只适用于两个可以看成质点的物体，r趋近于0时，不能看作质点，万有引力的公式不适用，故B错误；
C．由万有引力公式F=Gm1m2r2
当质量均变为原来的2倍，则万有引力会增加为原来的4倍，故C错误；
D．在地面上，有F=GMmR2
h处有F2=GMm(R+h)2
联立解得h=(2−1)R
故D正确。
故选：D。
9．关于万有引力公式F=Gm1m2r2，以下说法正确的是（ ）
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
【答案】C
【解答】解：A、万有引力公式适用于两个质点间的万有引力，与物体的质量无关，故A错误；
B、公式适用于两质点间，当两物体间的距离趋近于0时，公式已经不适用，故B错误；
C、两物体间的万有引力大小相等、方向相反、作用在同一直线上，两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律，故C正确；
D、公式中引力常量G的值是卡文迪什第一次在实验室测定的，故D错误；
故选：C。
10．关于万有引力与航天，下列叙述正确的是（ ）
A．牛顿发现了万有引力定律，并测得了万有引力常量，后人将他称作称量地球质量的人
B．开普勒研究第谷的行星观测记录，发现行星绕太阳的运行，并不是匀速圆周运动
C．发射火星卫星，发射速度需达到第三宇宙速度
D．由于地球自转，赤道处重力加速度大于两极处重力加速度
【答案】B
【解答】解：A、牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测得了万有引力常量，后人将他称作称量地球质量的人，故A错误；
B、开普勒通过对第谷的行星观测记录研究，发现行星绕太阳的运行，并不是匀速圆周运动，而是做椭圆运动，总结出了开普勒行星运动规律，故B正确；
C、当火星探测器的速度大于等于第三宇宙速度速度16.7km/s时，将脱离太阳的束缚，逃逸到太阳系以外去，故C错误；
D、由于地球自转，赤道处重力加速度小于两极处重力加速度，故D错误。
故选：B。
（多选）11．下列关于万有引力定律的说法中，正确的是（ ）
A．万有引力定律是卡文迪许在实验室中发现的
B．对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律F＝GMmr2中的r是两质点间的距离
C．对于质量分布均匀的球体，公式中的r是两球心间的距离
D．质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力
【答案】BC
【解答】解：A、万有引力定律是牛顿发现的，故A错误；
B、对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律F＝GMmr2中的r是两质点间的距离，故B正确；
C、对于质量分布均匀的球体，公式中的r是两球心间的距离，故C正确；
D、物体之间的万有引力时作用力和反作用力，不论质量大小，两物体之间的万有引力总是大小相等，故D错误。
故选：BC。
▉题型3 引力常量及其测定
【知识点的认识】
1.引力常量是由英国物理学家卡文迪什通过扭秤实验测定的，其数值为G＝6.67×10﹣11N・m2/kg2。
2.卡文迪什测定引力常量的装置示意图
3.扭秤实验用到的思想是微小量放大法。
12．下列说法正确的是（ ）
A．做匀速圆周运动的物体，所受合力一定不变
B．开普勒将第谷的几千个数据归纳出简洁的行星运动三定律，并在此基础上提出了万有引力定律
C．牛顿根据大量实验数据得出了万有引力定律中的比例系数G的大小
D．卡文迪什采用“微小量放大法”测出万有引力常量，被称为“第一个称出地球的人”
【答案】D
【解答】解：A、做匀速圆周运动的物体，所受合力一定指向圆心，因此合力一定变化，故A错误；
B、开普勒将第谷的几千个数据归纳出简洁的行星运动三定律，牛顿提出了万有引力定律，故B错误；
C、卡文迪什根据大量实验数据得出了万有引力定律中的比例系数G的大小，故C错误；
D、卡文迪什采用“微小量放大法”测出万有引力常量，被称为“第一个称出地球的人”，故D正确。
故选：D。
13．牛顿在前人研究成果的基础上，再加上自己伟大的科学思想与方法，使得牛顿成就非凡。在他建立万有引力定律的过程中（ ）
A．不仅运用了牛顿第二定律，也运用了牛顿第三定律
B．没有运用开普勒关于行星运动的三定律
C．进行了著名的“月—地检验”，证明了月球绕地球沿椭圆轨道运动
D．做了著名的“扭秤实验”，测定了万有引力常量
【答案】A
【解答】解：AB．牛顿在开普勒对行星运动所总结的规律的基础上，利用牛顿第二定律、牛顿第三定律以及开普勒三定律分析太阳对行星引力和行星对太阳引力的大小关系提出了万有引力定律，故A正确，B错误；
C．“月—地检验”是验证地面上的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力，而月球绕地球沿椭圆轨道转动是开普勒证明的，故C错误；
D．牛顿发现了万有引力定律，引力常量则是卡文迪许做了著名的“扭秤实验”测出的，故D错误。
故选：A。
14．小明在考试之前对习题中的一些易错的概念进行了整理和归纳，下列说法中正确的是（ ）
A．做圆周运动的物体所受合力一定指向圆心
B．匀速圆周运动一定是变速运动
C．牛顿提出万有引力定律时，便测出了万有引力常量
D．开普勒第三定律仅适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕地球的运动
【答案】B
【解答】解：A、做圆周运动的物体，所受合力方向不一定指向圆心，如竖直平面内变速圆周运动，故A错误；
B、由于物体做匀速圆周运动时速度的方向不断变化，故匀速圆周运动一定是变速运动，一定具有加速度，故B正确；
C、牛顿发现了万有引力定律，但没有测出引力常量，卡文迪什利用扭秤装置比较准确地测出了万有引力常量，故牛顿提出万有引力定律，卡文迪什测出万有引力常量，故C错误；
D、开普勒第三定律也适用于围绕地球运行的所有卫星，故D错误；
故选：B。
15．牛顿发现万有引力定律后，首次比较准确地测定引力常量的科学家是（ ）
A．第谷B．开普勒C．卡文迪许D．伽利略
【答案】C
【解答】解：发现万有引力定律的科学家是牛顿，他提出了万有引力定律。牛顿发现万有引力定律之后，并没有测得引力常量，引力常量是由卡文迪许用扭秤实验测得的。故C正确，ABD错误。
故选：C。
16．关于万有引力定律和引力常量的发现历程，下列说法正确的是（ ）
A．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由伽利略测定的
B．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
C．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由胡克测定的
D．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
【答案】D
【解答】解：万有引力定律是由牛顿发现的，不是开普勒发现的。
万有引力恒量是由卡文迪许测定的，不是伽利略、胡克测定的。
故选：D。
▉题型4 万有引力的基本计算
【知识点的认识】
1.万有引力定律的内容和计算公式为：
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方程反比。即F=Gm1m2r2
G＝6.67×10﹣11N・m2/kg2
2.如果已知两个物体（可视为质点）的质量和距离就可以计算他们之间的万有引力。
17．万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。在北极沿地轴有个矿井，矿井深度为d，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，下列说法正确的是（ ）
A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＞GMmR2
B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1=GMmR2
C．在北极矿井底部称量时，弹簧测力计读数为F2=GMmR3(R−d)
D．在轨道半径为R+h的空间站称量时，弹簧测力计读数为F3=GMm(R+h)2
【答案】C
【解答】解：A．物体在两极时，万有引力等于重力，则有F0=GMmR2
故A错误；
B．在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上小物体m随地球一起自转所需要的向心力，则有F1＜GMmR2
故B错误；
C．在北极矿井底部称量时，万有引力等于重力，在北极沿地轴有个矿井，矿井深度为d，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则有F2=GM1m(R−d)2=Gm(R−d)2⋅(R−d)3R3M=GMmR3(R−d)
故C正确；
D．在空间站称量时，物体处于完全失重，则有F3=0＜GMm(R+h)2
故D错误。
故选：C。
18．2025年2月11日17时30分，由航天科技集团五院研制的卫星互联网低轨“02组”卫星，在中国文昌航天发射场发射成功，在离地高度不变的低空轨道上围绕地球做匀速圆周运动。下列关于“02组”卫星的说法正确的是（ ）
A．地球对卫星引力为恒力
B．卫星的加速度为零
C．地球引力对卫星不做功
D．地球引力的功率不为零
【答案】C
【解答】解：A、卫星离地高度不变，地球对卫星的引力大小不变，但是引力方向是变化的，万有引力不是恒力，故A错误；
B、卫星离地高度不变，轨道就是一个正圆，卫星线速度的大小不变，但方向时刻在变，所以存在向心加速度，故B错误；
CD、卫星做匀速圆周运动时，速度方向（切线方向）始终与引力方向（径向）垂直，引力不做功，引力的功率为零，故C正确，D错误。
故选：C。
19．两个质点之间万有引力的大小为F，如果将这两个质点之间的距离变为原来的3倍，两个质点的质量都变为原来的2倍，那么它们之间万有引力的大小变为（ ）
A．2F9B．4F9C．2F3D．4F3
【答案】B
【解答】解：设原来两质点的距离为r，质量分别为M、m，则两个质点之间万有引力的大小为
F=GMmr2
如果将这两个质点之间的距离变为原来的3倍，两个质点的质量都变为原来的2倍，那么它们之间万有引力的大小变为
F=G2M⋅2m(3r)2=49GMmr2=49F，故ACD错误，B正确。
故选：B。
20．二十四节气是中华民族的文化遗产。地球沿椭圆形轨道绕太阳运动，所处四个位置分别对应北半球的四个节气，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．夏至时线速度最大
B．可根据夏至和冬至的位置间距离以及地球的公转周期推测出地球的质量
C．夏至时向心加速度最大
D．可根据夏至和冬至的位置间距离以及地球的公转周期推测出太阳的质量
【答案】D
【解答】解：A.夏至时地球离太阳最远，根据开普勒第二定律可知，此时地球的线速度最小，故A错误；
C.夏至时地球离太阳最远，根据a=GMr2可知，夏至时向心加速度最小，故C错误；
BD.若已知夏至和冬至的位置间距离d以及地球的公转周期T，根据开普勒第三定律(d2)3T2=r3T2，以及GMmr2=m4π2T2r，推测出太阳的质量M，故B错误，D正确。
故选：D。
21．2020年12月1日23时11分，肩负到月球“挖土”使命的“嫦娥五号”探测器成功着陆在月球正面西经51.8度、北纬43.1度附近的预选着陆区，并传回如图所示的着陆影像图。若将月球视为质量分布均匀的球体，其质量为M、半径为R，“嫦娥五号”探测器质量为m，引力常量为G，则此时月球对“嫦娥五号”探测器的万有引力大小为（ ）
A．GMmR2B．GMmRC．GMR2D．GMR
【答案】A
【解答】解：根据万有引力的表达式得：F=GMmR2，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（多选）22．如图所示，已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力，如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为O1，质量为8M，今在其内挖去一个半径为R2的小球，形成球形腔的球心为O2，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为O3，图中O1、O2、切点及O3点共线，关于挖去后剩余部分对小球的引力说法正确的是（ ）
A．可以直接利用万有引力定律进行计算大小
B．不可以直接利用万有引力定律进行计算大小
C．大小为23GM29d2
D．大小为25GM27d2
【答案】BC
【解答】解：AB、剩余部分为非均匀球体，不能直接用万有引力定律计算，故A错物，B正确；
CD、根据体积公式
V=43πR3
挖去的个半径为R2的小球的体积为原来球的体积的18，则其质量为原球质量的18，即为M，用没挖之前球对质点的引力，减去被挖部分对质点的引力
F=G8M⋅M(3R2)2−GM⋅MR2=23GM29R2
故C正确，D错误。
故选：BC。题型1 开普勒三大定律
题型2 万有引力定律的内容、推导及适用范围
题型3 引力常量及其测定
题型4 万有引力的基本计算