冀教版（2024）八年级下册（2024）20.4 一次函数的应用评课ppt课件

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问题1:如图，你发现了哪些量? 你还想到了哪些量? 它们之间是否存在一定的数量关系?
根据图片的信息并联想自己亲身经历的乘坐汽车的经历,并提炼出这一过程中的量(乘客人数、票价、总成本等),联想到票价×乘客人数-总成本=盈利,乘客人数≤20(准乘人数)-2(司机和乘务员),这些量之间存在着一定的数量关系,可以用数学符号的方式进行表述.
问题2:你能提出什么样的问题? 你能解答吗?示例:满载时盈利多少这样特殊情况下的问题;承载3人时盈利情况; 在乘客数量不能确定(设承载x人)时是否也可以表达这种盈利关系等问题.分别对应着数量关系:盈利=25×(20-2)-180;盈利=25×(3-2)-180;盈利=25×(x-2)-180.
任务一：函数思想下问题关系的研究
问题1:设乘客人数为x时,客车运营盈利y元,求y与x之间的函数关系式.y=25x-180,因需扣除司机和乘务员,x的取值范围为1≤x≤18.问题2:用求出的函数关系式y=25x-180,(1≤x≤18), 解决下列问题:(1)当客车运营盈利120元时,求乘客人数.盈利y=120,代入得方程120=25x-180.得出x=12,在取值范围内.
(2)要想使客车运营盈利超过170元,则乘客人数至少为多少?提示:盈利超过170元,“超过”对应哪种数学关系?大于.列出不等式25x-180>170,求解得x>14,结合x为整数,得出乘客人数至少为15人.
练习:已知书店售卖某本书时,每本的利润为8元,书店的固定运营成本为20元.设售出书本数量为x本时,书店盈利y元.(1)求x与y之间的函数关系式.y=8x-20.(x为自然数)
(2)利用求出的函数关系式解决下列问题:①当书店盈利100元时,求售出书本数量.依题意有8x-20=100,解得x=15.②要想使书店盈利超过150元,则售出书本数量至少为多少?依题意有8x-20>150,解得x>21.25,根据x的实际意义只能取整数,所以售出书本数量至少为22本.
任务二：构建函数模型，解决实际问题
见教材图20.4-1,某种称量体重的台秤,最大称量是150 kg,称体重时,体重x(kg)与指针按顺时针方向转过的角度y(°)有如下对应数据:
(1)请在平面直角坐标系中,分别以上表中的每对对应数值为横坐标和纵坐标,描点连线,画出图象.
(2)求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.用待定系数法,以(0,0)和(15,36)求得k=2.4,b=0,即y与x之间的函数关系式为y=2.4x.台秤的最大称量为150 kg,即x的取值范围为0≤x≤150.(3)当体重为多少千克时,台秤的指针恰好转到180°的位置?当体重为50 kg时,台秤的指针转过的角度是多少度?由y=180°,可得x=75 kg,即当体重为75千克时,台秤的指针恰好转到180°的位置;由x=50 kg，可得y=120°,即当体重为50 kg时,台秤的指针转过的角度是120°.
练习:某种弹簧测力计,最大测量力是50 N(牛顿),测量力的大小F(N)与弹簧伸长的长度L(cm)有如下对应数值:
(1)请在平面直角坐标系中,分别以上表中的每对对应数值为横坐标(F)和纵坐标(L),描点连线,画出图象.
(2)求L与F之间的函数关系式,并指出自变量F的取值范围.函数关系式为L=0.4F,F的取值范围是0≤F≤50.(3)当弹簧伸长的长度为22 cm时,所测量的力是多少牛顿?当测量的力为30 N时,弹簧伸长的长度是多少厘米?当弹簧伸长的长度为22 cm时,有22=0.4×F,解得F=55;当测量的力为30 N时,有L=0.4×30=12,即弹簧伸长的长度是12 cm.
1.某农场使用抽水机为农田灌溉,抽水量Q(m3)与抽水时间s(min)的对应数据如下表,试写出Q与s之间的函数关系式,并求抽水15 h的抽水量(1 h=60 min).观察表中数据特征易知Q与s成正比例关系,设Q=ks,有20×k=800,所以k=40,得Q=40 s;15 h=900 min,当s=900时,Q=40×900=36 000.即抽水15 h的抽水量为36 000 m3.
2.一个长方形的长、宽分别为60和40.现将它的宽减少10,长增加x.设变化后的长方形的面积为y.(1)写出y与x之间的函数关系式.由题意可知y=(60+x)×(40-10),整理得y=30x+1 800.(2)当x取何值时,变化后的长方形与原来的长方形的面积相等?由题意可得方程30x+1 800=60×40,解得x=20.(3)当x取哪些值时,可以使变化后的长方形的面积比原来的长方形面积的2倍还要大?由题意可得不等式30x+1 800>2×60×40,解得x>100.
提问:回顾本节课解决问题的过程,你能总结出用一次函数解决实际问题的步骤吗?找变量—找数量关系—写表达式—定自变量范围—解决问题—验证结果.追问:在这个过程中,我们用到了哪些数学思想?数形结合思想和建模思想.
基础性作业:教材练习第1,2题;教材习题第2题.提高性作业:教材习题第3,4题.拓展性作业:观察家里的电费缴费单(或水费缴费单),记录用电量(或用水量)与缴费金额的对应数据,尝试建立函数关系式,并计算“每月用电200千瓦·时的电费”.
第二十章 一次函数
20.4 一次函数的应用第2课时　一次函数的应用（2）
思路一问题1:同学们,当我们坐飞机出行时经常需要托运行李,机场会根据行李的质量来收取相应的费用.请大家观察下图,它描述了哪两个量之间的关系? 你能判断出哪个量是主动变化的,哪个量是随之变化的吗?图象描述的是托运行李的质量x(kg)与托运行李的费用y(元)之间的函数关系,其中行李质量x是自变量,托运费用y是随之变化的量.
思路一问题2:从图象中可以看出,当行李超重时,托运费用y随着行李质量x的变化而均匀变化,图象的形状有什么显著特征? 我们之前学过哪种函数可以表示这种关系?图象是一条“上升的直线”,由此判断出两个变量之间的关系是一次函数关系.
思路一从图象中识别出一次函数关系,接下来我们可以求出函数表达式,并利用它来解决教材做一做栏目中的实际问题.从实际问题出发,建立数学模型,并应用模型解决问题——这正是数学建模的过程.今天这节课,我们继续学习如何利用一次函数模型解决实际问题.
思路二问题1:同学们,小明同学外出旅行时,在机场办理托运行李的手续,请你打开行李托运费用计算网页,拖动滑块调整行李质量的大小,观察托运费用的变化,说一说这两个量之间的关系可以用哪种类型的函数来表示?20.4.2行李托运费用计算游戏网页.html
思路二问题2:请你求出y与x之间的函数关系式,并确定该航班可以免费携带行李的质量是多少千克.运用待定系数法将图象上的两个点(40,400)与(50,600)的坐标代入y=kx+b中,求出函数表达式为y=20x-400(x≥20).免费携带行李即y=0,求出x=20,也就是图象与x轴交点(20,0)的实际含义.
思路二刚刚我们从托运行李费用问题中抽象出一次函数模型,运用待定系数法求出函数表达式,并利用它来解决实际问题,这就是一个数学建模过程.今天这节课,我们就来继续学习如何利用一次函数模型解决实际问题.
任务一：抽象模型—从实际问题中抽象出一次函数模型
例 一森林警察驾驶警车沿森林公路巡逻,在公路旁的某加油站加满油后,以40 km/h的速度匀速行驶.已知警车加满油后,油箱内的余油量y(L)与行驶时间x(h)之间的函数关系图象是图中的直线l的一部分(如图).问题1:请同学们用圈出题目中的已知条件和关键词句,说出题目中有哪些量?常量:速度40 km/h；两个变量:余油量y和行驶时间x.
问题2:打开森林警车油量变化函数图象网页,拖动滑块调整行驶时间x,观察画面中油箱中余油量y的变化过程,你能判断出哪个量是自变量,哪个量是自变量的函数吗? 请你结合图中的信息说一说,这两个量之间的关系可以用哪种类型的函数来表示?20.4.2森林警车巡逻油量变化模拟网页.html行驶时间x是自变量,余油量y是自变量的函数,根据图象特征可知两者之间是一次函数关系.归纳:例题中余油量y随着行驶时间x的增加而减少,像这样一个量随着另一个量均匀变化可以用一次函数来表示.
任务二：求解模型——运用待定系数法确定函数表达式
问题1:已知一次函数图象上两个点的坐标,可以运用待定系数法确定函数表达式,你能扮演老师的角色,为大家总结归纳运用待定系数法求一次函数表达式的步骤吗?求一次函数表达式的基本步骤：第一步:设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0);第二步:将已知的两组对应值代入表达式,得到关于k,b的二元一次方程组;第三步:解二元一次方程组,求出k,b的值;第四步:将k,b的值代回所设的表达式,求出一次函数表达式.
问题3:说一说,你的答案和这位同学的做法一样吗? 还有需要补充的地方吗?提示:拖动滑块定格函数图象分别与y轴和x轴相交于(0,60)和(15,0),根据已知条件可以判断该函数图象为线段,与坐标轴的两个交点是图象的两个端点,x的取值范围为0≤x≤15.温馨提示:由实际问题得到的一次函数表达式,需要注意考虑实际问题情境限制,明确自变量的取值范围.
任务三：应用模型——运用一次函数模型解决实际问题
问题1:(1)警车加满油时,油箱中的油量是多少升?思路分析:(1)警车加满油时,行驶时间x=0,代入函数表达式中计算出y的值,即可得到油箱中的油量.注意数形结合思想的应用,在函数图象中可以看出该组对应值是函数图象与y轴的交点.解:(1)当x=0时,代入函数表达式,得y=-4×0+60=60,所以,警车加满油时,油箱中的油量是60 L.
问题1:(2)警车加满油后,在巡逻过程中若将油全部消耗,最长行驶时间是多少?思路分析:(2)警车将油全部消耗时,余油量y=0,首先代入函数表达式中求出行驶时间x,该组对应值是函数图象与x轴的交点.解：(2)当y=0时,代入函数表达式,得0=-4x+60,解得x=15,所以,警车若将油全部消耗,最长行驶时间为15 h.
问题1:(3)已知警车往返的耗油量相同.若要求警车按原路返回加油站时油箱中的余油量不少于10 L,则其巡逻的最远路程是多少千米?思路分析:(3)警车返回时余油量不少于10 L,则往返的总耗油量小于初始油量60 L减去余油量10 L,即小于50 L.由于往返耗油量相同,单程耗油量为总耗油量的一半,即25 L.当警车行驶到最远点时,已耗油25 L,此时余油量为60-25=35(L).将结果代入函数表达式可以求出行驶时间,进而计算出最远巡逻路程.
点P在x轴上,其纵坐标始终为0;点Q在y轴上,其横坐标始终为0.温馨提示:在运用一次函数模型解决实际问题的过程中,要明确一次函数图象与x轴、y轴交点的实际意义.
1.某品牌鞋子的长度y与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm,44码鞋子的长度为27 cm,则38码鞋子的长度为 （ ）A.23 cm B.24 cm C.25 cm D.26 cm 2.某超市开展国庆节促销活动,店前公告如下:凡是一次性购买3件某种服装,每件售价80元,如超过3件,则其超过部分打8折,顾客所付款y(元)与所购买的件数x(x≥3)之间的函数关系式为_________(x≥3).
3.星期天,小明上午8:00从家里出发,骑车到图书馆去借书,再骑车回到家.他离家的距离y(千米)与时间t(分)的关系如图所示,则上午8:45小明离家的距离是____千米.
1.通过本节课的学习,你学到了哪些内容?2.学习了本节课你有何感想? 请畅所欲言.3.请你梳理本课所学,总结利用一次函数模型解决实际问题的步骤.步骤如下:从实际问题中抽象出一次函数模型—用待定系数法求解该模型—运用模型得出问题结果—为结果赋予实际含义,回归实际问题.4.结束语:从实际问题到数学,再回归实际问题的循环,正是典型的数学建模过程.希望通过本课的学习,你能逐步掌握用一次函数建模解决实际问题的方法.
基础性作业:教材练习第1题;教材习题第1,2题.提高性作业:教材练习第2题;教材习题第3,4题.拓展性作业:请你利用生成式人工智能技术,搜集现实世界中运用一次函数模型解决问题的生活实例,设计一个基于实际生活的一次函数问题,并解答它.
20.4 一次函数的应用第3课时　一次函数的应用（3）
思路一问题:同学们,校园运动会的竞走比赛中,小明和小红同时出发,小明的速度是60米/分,小红的速度是50米/分,出发时小明在小红身后20米处.大家想想,多少分钟后小明能追上小红呢? 如果设时间为x分,两人的路程y和时间x的函数关系是怎样的呢?(1)可以用算术方法计算.(2)建立函数关系式. 小明的路程y1=60x,小红的路程y2=50x+20,然后通过60x=50x+20求解.
思路二现在AI智能设备很流行,小华为自己制定了健身计划,AI给出的运动消耗热量y(大卡)与运动时间x(分)的函数关系式是y=8x+20(20是热身消耗的基础热量),小华自己记录的消耗热量与时间的关系式是y=10x.大家觉得多久后,小华自己记录的消耗热量会超过AI规划的呢?画出函数y=8x+20和y=10x图象后,能直观看到图象交点,进而分析出时间节点, 观察交点坐标,结合图象分析“超过”的时间,然后用方程或不等式求解验证.
任务一：分析追及问题，建立一次函数模型
问题:甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶,出发3 h后,乙骑摩托车从同一地点出发沿同一公路与甲同向行驶,速度为25 km/h.(1)设甲离开出发地的时间为x(h),求甲、乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.提示：路程=速度×时间,乙行驶的时间是(x-3)h.解:(1)甲的函数关系式为y=10x,自变量x的取值范围为x≥0;乙的函数关系式为y=25(x-3)=25x-75,自变量x的取值范围为x≥3;
问题:甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶,出发3 h后,乙骑摩托车从同一地点出发沿同一公路与甲同向行驶,速度为25 km/h.(2)在同一平面直角坐标系中,画出两个函数的图象,并结合实际问题,解释两图象交点的意义.解:(2)图象如图所示.两图象交点坐标是(5,50),实际意义是甲出发5 h后被乙追上(或乙出发2 h后追上甲),此时两人距离出发地50 km.
任务二：数形结合，探究追及问题的延伸与多元解法
问题:对于上述问题中甲、乙行驶的情况,借助图象解释“乙出发多长时间后可以超过甲”这一问题,同时思考其他解答方法.以下两个方向分组讨论:方向一:分析函数图象,解释“乙超过甲”的图象特征,结合图象数据计算时间.方向二:尝试用解一元一次方程、解一元一次不等式的方法解决“乙超过甲”的问题,并对比与函数图象法的联系.
思考:从图象角度,“乙超过甲”时两个函数图象的位置关系是怎样的? 如何从图中读取时间信息? 用方程或不等式解决时,等量关系或不等关系如何建立?结论:方法一:图象法从图中可知,两函数图象交点坐标是(5,50),表示甲出发5h后被乙追上,乙出发时间为5-3=2(h),当时间超过2 h后,乙的函数图象在甲的上方,说明乙出发2 h后可以超过甲.
方法二:方程法(先求追上时间,再分析超过的情况)设乙出发th后超过甲,此时甲出发的时间为(t+3)h.当乙超过甲时,乙的路程大于甲的路程,即25t>10(t+3).先解方程25t=10(t+3), 25t=10t+ 30,15t=30,t=2.所以当t>2时,25t>10(t+3),即乙出发2 h后可以超过甲.方法三:不等式法设乙出发th后超过甲,甲的路程为y甲=10(t+3),乙的路程为y乙=25t.根据“乙超过甲”可得不等式25t>10(t+3),25t>10t+30,15t>30,t>2.所以乙出发2 h后可以超过甲.
任务三：解决租赁方案选择问题，对比一次函数应用
问题:某电脑工程师张先生租房问题,现有甲、乙两家出租屋,甲家已经装修好,每月租金为3 000元;乙家未装修,每月租金为2 000元,但若装修成与甲家房屋同样的规格,则需要花装修费4万元.(1)设租用时间为x个月,承租房屋所付租金为y元,分别求租用甲、乙两家的租金y与租用时间x之间的函数关系式.解:(1)甲的函数关系式为y=3 000x.乙的函数关系式为y=2 000x+ 40 000.
(2)根据求出的两个函数表达式,试判断租用哪家的房屋更合算.解:(2)方法一:①由3 000x=2 000x+40 000,解得x=40.即当租用40个月时,无论是租用哪一家,租金都相同.②由3 000x>2 000x+40 000,解得x>40.即当租用时间超过40个月时,租乙家的房屋更合算.③由3 000x